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入手点作为解题之始，思维之初，对解题至关重要。教师在教学中不乏对入手点的归纳、提炼、指导、训练，但学生们缺乏对多入手点的灵活机动的分析、比较、衔接、切换、调整、综合的处理能力。
一、入手点的“前进性”思维特征与立足长远入手解题
从教育学分析，解题是一个系统过程。我们在问题分析教学中不能就入手点讲入手点，割裂入手点与整体解题的联系，而应深入地剖析入手点与整体解题的联系。这种开创性的功能铸就了入手点统领整个解题的全局性、战略性地位。
例1：求f(x)＝■的值域。
分析：学生易想到分离常数，得f(x)＝2+■，此时入手于何处？源头在哪里？不难看到解析式的核心是2x，它能成为入手破题的源头吗？请看它的前进性功能：2x∈(0， +∞)?圯2x+1∈(1，+∞）?圯■∈(0，1)?圯■∈(-1，0)?圯f(x)∈(-1,1)
二、入手点的“后退性”思维特征与后退一步解题法
华罗庚先生曾说：“解题要善退，要退到我们熟悉的知识，熟悉的方法，熟悉的起点中来，再以它们为基础向前探索前进，就能到达综合创新的彼岸。”
例2：M={a0,a1,a2,a3}，规定ai?茚aj=ak，其中k是i+j被4除的余数。令N={ai|ai?茚ai=a2,ai∈M}，则N的元素为多少。
说明：1.本题考查新运算符?茚，这类题目集中考查学生对新运算符的自主探究、尝试、理解、创新应用的能力，是近几年高考的热点。2.学生总想一蹴而就地理解掌握新符号，但对新事物理解总有一个过程，因此,困难也随之出现了。3.理解是一个过程，用过程去理解。教学中，要指导学生，理解新符号，“贵”在“退”字，后退到理解的起点入手，再发展深入，就能成功了。
三、入手点解题的阶段性特征
事物总是发展变化的，新入手点不断地引入，带动解题不断发展，推动解题走向成功。
例3：已知3a=4b=6c，试探究a、b、c的关系。
分析：已知条件中的a、b、c局于指数位置，看看结论，它指引我们把它们“取”出来，探寻其间的直接的等量关系。
本题的解决呈现阶段性特征：
阶段一：入手点
分离出a、b、c，令3a=4b=6c=N，得a=log3N,b=log4N,c=log6N
阶段二：新入手点
解决当前的首要问题：不同底，换底得：
a=■ b=■ c=■
阶段三：新入手点
寻找原始的等量关系：lg6=lg2+lg3
进而：■=■=■
∴■=■+■即为所求。
这样，不断发展的入手点依次产生了。
四、入手点的多样性与多样性的入手解题法
（一）知识点入手解题法
数学学科的基本知识点是解答数学问题的基石，是理所当然的入手点。每一个数学知识点都有其独具的特征，独有的功能，在入手破题时显示出独特的魅力。
例4：已知a2+b2=1，c2+d2=4，求ac+bd的取值范围。
分析本题的条件与结论，它们的结构有明显的知识特征。
方法一：与三角知识特征相符，入手点：三角换元，令a=cos?琢,b=sin?琢,c=2cos?茁,d=2sin?茁,进而得ac+bd=2cos(?琢-?茁)∈[-2, 2]。
方法二：本题也符合向量内积的知识特征，入手点：引入向量，设：■=(a,b)，■=(c,d)，由已知|■|=1，|■|=2
进而：ac+bd=■·■=|■||■|cos<■,■>∈[-2,2]
两种解法都显示出知识点入手解题的巨大魅力。
（二）数学思想（方法、模型）入手解题法
数学思想是数学学科的思维核心，它充满了数学学科的每一角落，是数学学科最有力的武器。从数学思想入手破题，我们的解题就有了灵魂，有了方向。
例5：已知ax>■x2,x∈[-1,1]，a>0且a≠1，求a的范围。
分析：（1）本题既考查指数函数ax，又考查二次函数■x2，两者的解析式不易结合，但两者的图像都易获得，数形结合是入手点一。
（2）本题的指数函数y=ax（a>0且a≠1）具备不确定性，故适于分类讨论，即入手点二。
两大数学思想相结合，分类作图，即可解得答案。
五、入手点的辩证统一，灵活多变与立体式、交互式、网络式发展
（一）解剖入手点的功能、作用，它们是入手点相互结合的根源
事实上：（1）定义域的功能是提供保障，保障函数有意义，保障单调性有意义；（2）单调性的分析合成是问题的主体，“同增异减”法则是解题的根本途径；（3）结合点：单调性的合成需要接受定义域的保障，这种保障是必须的，但不是主要的，那学生解题时可以把这种保障放在前面来做，也可以放在后面来做，还可以借助图像法，将两个入手点一并解决。
（二）入手点的切换，“学得无助感”与“逃脱性学习法”
这种情形，关系重大，一定要指点学生自主“逃生”。
第一步：指点学生将刚才的想法（通分法）密封起来，坚决不用，打破思维的惯性。
第二步：学生清醒过来，重新入手，重新定位，多角度找入手点，或采用后退法找入手点，一定可以找到新的入手点。
不断交汇发展，创新的问题变式教学不但可以向学生深刻展现数学问题的形成过程，还可以培养学生灵活、发展、综合、辩证地入手解题。
一、入手点的“前进性”思维特征与立足长远入手解题
从教育学分析，解题是一个系统过程。我们在问题分析教学中不能就入手点讲入手点，割裂入手点与整体解题的联系，而应深入地剖析入手点与整体解题的联系。这种开创性的功能铸就了入手点统领整个解题的全局性、战略性地位。
例1：求f(x)＝■的值域。
分析：学生易想到分离常数，得f(x)＝2+■，此时入手于何处？源头在哪里？不难看到解析式的核心是2x，它能成为入手破题的源头吗？请看它的前进性功能：2x∈(0， +∞)?圯2x+1∈(1，+∞）?圯■∈(0，1)?圯■∈(-1，0)?圯f(x)∈(-1,1)
二、入手点的“后退性”思维特征与后退一步解题法
华罗庚先生曾说：“解题要善退，要退到我们熟悉的知识，熟悉的方法，熟悉的起点中来，再以它们为基础向前探索前进，就能到达综合创新的彼岸。”
例2：M={a0,a1,a2,a3}，规定ai?茚aj=ak，其中k是i+j被4除的余数。令N={ai|ai?茚ai=a2,ai∈M}，则N的元素为多少。
说明：1.本题考查新运算符?茚，这类题目集中考查学生对新运算符的自主探究、尝试、理解、创新应用的能力，是近几年高考的热点。2.学生总想一蹴而就地理解掌握新符号，但对新事物理解总有一个过程，因此,困难也随之出现了。3.理解是一个过程，用过程去理解。教学中，要指导学生，理解新符号，“贵”在“退”字，后退到理解的起点入手，再发展深入，就能成功了。
三、入手点解题的阶段性特征
事物总是发展变化的，新入手点不断地引入，带动解题不断发展，推动解题走向成功。
例3：已知3a=4b=6c，试探究a、b、c的关系。
分析：已知条件中的a、b、c局于指数位置，看看结论，它指引我们把它们“取”出来，探寻其间的直接的等量关系。
本题的解决呈现阶段性特征：
阶段一：入手点
分离出a、b、c，令3a=4b=6c=N，得a=log3N,b=log4N,c=log6N
阶段二：新入手点
解决当前的首要问题：不同底，换底得：
a=■ b=■ c=■
阶段三：新入手点
寻找原始的等量关系：lg6=lg2+lg3
进而：■=■=■
∴■=■+■即为所求。
这样，不断发展的入手点依次产生了。
四、入手点的多样性与多样性的入手解题法
（一）知识点入手解题法
数学学科的基本知识点是解答数学问题的基石，是理所当然的入手点。每一个数学知识点都有其独具的特征，独有的功能，在入手破题时显示出独特的魅力。
例4：已知a2+b2=1，c2+d2=4，求ac+bd的取值范围。
分析本题的条件与结论，它们的结构有明显的知识特征。
方法一：与三角知识特征相符，入手点：三角换元，令a=cos?琢,b=sin?琢,c=2cos?茁,d=2sin?茁,进而得ac+bd=2cos(?琢-?茁)∈[-2, 2]。
方法二：本题也符合向量内积的知识特征，入手点：引入向量，设：■=(a,b)，■=(c,d)，由已知|■|=1，|■|=2
进而：ac+bd=■·■=|■||■|cos<■,■>∈[-2,2]
两种解法都显示出知识点入手解题的巨大魅力。
（二）数学思想（方法、模型）入手解题法
数学思想是数学学科的思维核心，它充满了数学学科的每一角落，是数学学科最有力的武器。从数学思想入手破题，我们的解题就有了灵魂，有了方向。
例5：已知ax>■x2,x∈[-1,1]，a>0且a≠1，求a的范围。
分析：（1）本题既考查指数函数ax，又考查二次函数■x2，两者的解析式不易结合，但两者的图像都易获得，数形结合是入手点一。
（2）本题的指数函数y=ax（a>0且a≠1）具备不确定性，故适于分类讨论，即入手点二。
两大数学思想相结合，分类作图，即可解得答案。
五、入手点的辩证统一，灵活多变与立体式、交互式、网络式发展
（一）解剖入手点的功能、作用，它们是入手点相互结合的根源
事实上：（1）定义域的功能是提供保障，保障函数有意义，保障单调性有意义；（2）单调性的分析合成是问题的主体，“同增异减”法则是解题的根本途径；（3）结合点：单调性的合成需要接受定义域的保障，这种保障是必须的，但不是主要的，那学生解题时可以把这种保障放在前面来做，也可以放在后面来做，还可以借助图像法，将两个入手点一并解决。
（二）入手点的切换，“学得无助感”与“逃脱性学习法”
这种情形，关系重大，一定要指点学生自主“逃生”。
第一步：指点学生将刚才的想法（通分法）密封起来，坚决不用，打破思维的惯性。
第二步：学生清醒过来，重新入手，重新定位，多角度找入手点，或采用后退法找入手点，一定可以找到新的入手点。
不断交汇发展，创新的问题变式教学不但可以向学生深刻展现数学问题的形成过程，还可以培养学生灵活、发展、综合、辩证地入手解题。