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摘 要：学习路径图由约瑟夫·D·诺瓦科和D·鲍勃·格文在“概念图绘制技术”教学策略中提出，指用概念图的形式，以促进学生的数学学习为目标而设计的综合学习方案。学习路径图应用到小学数学教学中，至少有三个功能：目标功能、支架功能、评价功能。在小学数学教学中，学习路径图应该是怎样的呢？如何运用学习路径图促进学生的数学学习呢？本文将详细阐述。
关键词：学习;路径;目标;联系
一、 精选学习路径图的内容，让学习有目标、有支架、有联系
企业培训和网络课程学习的学习路径图，一般包含内容章节目录、学习课时，并链接学习目标或任务、在线教学视频、练习、交流与反馈、测评等。
小学数学的学习路径图，既要有目标价值、支架作用，又要表示知识间的联系，应该包含几个方面的内容呢？
1. 根据章节目录，具体化为学习目标。如人教版五下教材第一单元目录为：1小数乘法—1.1小数乘整数—1.2小数乘小数—1.3积的近似值—1.4整数乘法运算定律推广到小数。如果把这些章节标题看作内容的话，则可以在下一级内容（意义、法则、算理、取近似值、灵活计算等）上具体化为学习目标。
2. 标出方法，提供支架。如上例，小数乘法单元要用到的思维方法主要是迁移、转化等。
3. 理清知识间的关系，如小数乘法单元学习路径图，可用概念图表示如下：
二、 绘制三个层级的学习路径图，让学习在有意义的背景中展开
根据备一节课、备单元、备整册教材的思路，我们可以绘制三个层级的学习路径图。
1. 从数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践等四个方面，对整册教材内容进行分析、整合，理清知识间的关系，形成学习路径总图。
2. 标出学习单元的主要概念和其他核心知识，勾勒结构，绘制单元学习路径图。
3. 标示一节课的知识结构，绘制课时学习路径图。
在此基础上，用不同框线标示最底层的课时学习路径图，用不同色块标示单元学习路径图，整合成整个学期的学习路径总图，绘制在大张的纸上，贴在教室里，和孩子们“天天见面”。
这样，教师在引导学生数学学习时，可以在学习路径图中找到所學知识点，根据其中的结构关系，创设情境，引入学习;可以在概念学习时，根据学习路径图，找到相关联的概念，建立联系;也可以在复习阶段，找到所复习的知识点，根据其中的结构关系，组织比较、辨析，深化认识，形成有利于分化、巩固、迁移的活的知识。不管何种学习，都能将知识镶嵌在学习路径图这一宽广的背景中，成为其中一个不可或缺的节点，纵横交错，贯通一气。
三、 尝试学习路径图的绘制，让学习更深入、有创新
（一）从基本关系入手，让学生逐步掌握概念图的基本绘制方法
概念之间的基本关系有六种：同一关系、包含关系、交叉关系、全异关系、矛盾关系、反对关系。其中，常用的四种关系可以用以下习惯的方式分别图示：
在学习路径图中，则常表示为以下形式，方便组合成学习路径总图：
学习这些基本关系的概念图绘制方法，就有了绘制学习路径图的基础。这些基本关系概念图，不必进行概念基本关系的抽象说教，而应以实际例子的形式，让学生意会即可。可以在某段时间里贴在教室显眼位置，或者让学生画在数学书的扉页上，“和学生天天见面”，以便在绘制学习路径图时，有个参照，有所启发。
（二）让学生在预习的时候尝试绘制学习路径图
针对小学生的学习特点，应以任务驱动方式，促进数学预习的深入。而绘制学习路径图，则是一个很有意义的任务，能驱动学生在深入预习的基础上，尝试发现知识间的联系，自主建构知识。
可先让学生用“质疑法”预习。在数学阅读的基础上，提出两个问题，并通过阅读检索方法，或者查阅资料、请教别人等方式，尝试解决问题。
其次让学生用“练习法”预习。尝试完成课后“做一做”和配套练习的基础题。练习时，学生可能根据例题，用模仿方法完成练习;也可能是通过再次阅读，明确方法，用习得的方法完成练习。
在此基础上，进一步理清知识间的关系，通过浏览“基本关系概念图”例子，尝试绘制学习路径图，交流、展示预习成果。
（三）让学生用学习路径图表示思考的结果，促进交流的深入
在探索学习活动时，往往会在独立思考的基础上，先组织小组讨论。为使小组讨论更有成效，可以用完善学习路径图的方式作为任务，让学生拿出预习时各自绘制的学习路径图，进行交流、比较、优化、完善，重新绘制出代表小组学习、讨论成果的学习路径图，在班级里展示、交流。以学习路径图为抓手的讨论，能让话题围绕概念、法则、规律等核心知识，围绕知识间的关系展开，促进讨论的深入，保证讨论的有效性。
班级展示、交流的过程中，也应围绕“学习路径图”，通过比较、优化、完善，绘制出体现班级学习成果的“学习路径图”，标上绘制的主要贡献者姓名，张贴在学习栏里，让绘制者体验成功，让大家有学习、参考的另一有效资源。
（四）让学生在复习的时候尝试绘制学习路径图
让学生在复习的时候尝试绘制学习路径图，要体现“由扶到放”过程，经历三个阶段。
第一阶段应是有意义的接受学习，宜采用“潜科学教学法”。运用潜科学教学法的作用是“示范”，老师把自己在绘制学习路径图时的原始思考过程，“原原本本”地在课堂上向学生展示出来，不但展示正确的抽象、概括，灵感迸发的过程，更要展示其中所走的弯路，以及怎样发现弯路，怎样及时调整思路，直至完成路径图的绘制过程，让看不见、摸不着的内隐思维活动成为可视可听的样子暴露在学生面前，为学生提供模仿学习的具体参照。上课时，教师先罗列单元或学期的学习内容，再一个部分一个部分地分析：“哦，这里的两个概念是属于矛盾关系的，包含在前一个概念之下，先画一个大括号……”边想、边讲、边画，画错了就擦，擦了再画，画不下去的时候，就改变思路，重画，重讲，不断调整，直至成功绘制出学习路径图。学习始于模仿，潜科学教学法的实施过程就是学生绘制学习路径图的模仿过程、起始阶段。 第二阶段应是“半扶半放”，宜采用“内容不完全教学法”。教师在复习时，利用“概念图绘制方法”对单元或全册内容进行结构化处理，展示在学生面前，但不把整个学习路径图和盘托出，而是将路径图的某个分支留白，让学生自己思考这部分路径图的表示方法。通过展示、交流、修正，形成完整的学习路径图。最后，让学生比对、反思，体验概念图的绘制方法。这种方法有点像“填空”式教学，适合过渡阶段的学习指导。
第三阶段是“放”，宜采用“尝试教学法”。教师先不讲，先让学生大胆绘制学习路径图，再组织展示和交流、比较和反思，以不断完善路径图。这种方法给学生绘制学习路径图以很大的创造空间，有利于生成众多适合学生认知特点的资源。虽是“放”了，但并非不管。所谓“众人拾柴火焰高”，学生在借鉴别人优秀成果的基础上，通过教师的点拨，慢慢地就能提高绘制概念图的能力。
（五）在反馈、评价时让学生尝试绘制学习路径图
让学生提交个人绘制的学习路径图，可以获得学生学习情况的反馈信息，可以评價学生的学习成果。根据由扶到放的原则，可视情况调整难度。一种是只布置绘制任务，没有任何提示的;一种是有提示的。
提示的方式有三类：第一类是将单元（学期）内容罗列出来，让学生根据内容间的关系，绘制学习路径图。有点像给孩子一堆积木，让孩子根据积木，摆出一栋房子来。第二类和第一类是互逆的，给学生一个绘制好路径的概念图，但每个节点的方框里是空白的，让学生在路径图中标出每个节点方框中的内容。好比是给孩子一张房子图，让孩子找积木，把房子搭出来。第三类是给学生一个“半成品”的路径图，让学生接着完成。这是“内容不完全教学法”在评价阶段的运用。
这三类提示方法，可以有多种组合方式。比如，可以罗列一半的内容，绘制好一半的路径，在某个分支上是“成品”，让大部分学生都能在这些支架的帮助下，成功绘制出学习路径图。
（六）让学生在课外阅读时尝试绘制学习路径图
语文目的的课外阅读，往往让学生摘抄好词好句，写写感想心得。数学目的的课外阅读，则仍应以绘制学习路径图为主要任务。
在用质疑法进行课外阅读的时候，可以从检索、理解、运用、评价与鉴赏、质疑与创新等五个维度出发，绘制半成品的学习路径图，让学生按图索骥，填空式地完成路径图的绘制。
故事阅读，可以故事情节为主干，串联相关人物，完成路径图的绘制。数学历史阅读，可以用中外两条线的对比，完成路径图的绘制。科学家传记阅读，则以人物为中心，联系其成长过程中的关键人物和主要事件，完成路径图绘制。
课外阅读时让学生绘制学习路径图，要适可而止，分类要求，鼓励为主，以防磨灭学生的阅读兴趣。如，一些学生只需完成部分路径图的绘制，路径图的绘制可以加入卡通等元素，学生可以尽情发挥，充分展示自己的个性等等。
学习路径图在小学数学教学中的应用，还是一个没有完全解决的问题，还需大量的教学实践与探索，以更好地发挥学习路径图的作用，帮助学生进行有效的数学学习。
参考文献：
[1]何宇敏.思维导图在小学数学课堂教学中的应用[J].科学咨询：教育科研，2018（11）.
[2]樊斌.思维导图在小学数学课堂教学中的运用探究[J].科学咨询：教育科研，2018（9）.
[3]张艳.例谈思维导图在小学数学教学中的运用[J].学周刊，2014（12）：294-295.
[4]诸红霞.思维导图在小学数学教学中的应用[J].求知导刊，2015（22）：71-72.
作者简介：
张锦发，福建省龙岩市，福建省龙岩市永定区高陂中心小学。
关键词：学习;路径;目标;联系
一、 精选学习路径图的内容，让学习有目标、有支架、有联系
企业培训和网络课程学习的学习路径图，一般包含内容章节目录、学习课时，并链接学习目标或任务、在线教学视频、练习、交流与反馈、测评等。
小学数学的学习路径图，既要有目标价值、支架作用，又要表示知识间的联系，应该包含几个方面的内容呢？
1. 根据章节目录，具体化为学习目标。如人教版五下教材第一单元目录为：1小数乘法—1.1小数乘整数—1.2小数乘小数—1.3积的近似值—1.4整数乘法运算定律推广到小数。如果把这些章节标题看作内容的话，则可以在下一级内容（意义、法则、算理、取近似值、灵活计算等）上具体化为学习目标。
2. 标出方法，提供支架。如上例，小数乘法单元要用到的思维方法主要是迁移、转化等。
3. 理清知识间的关系，如小数乘法单元学习路径图，可用概念图表示如下：
二、 绘制三个层级的学习路径图，让学习在有意义的背景中展开
根据备一节课、备单元、备整册教材的思路，我们可以绘制三个层级的学习路径图。
1. 从数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践等四个方面，对整册教材内容进行分析、整合，理清知识间的关系，形成学习路径总图。
2. 标出学习单元的主要概念和其他核心知识，勾勒结构，绘制单元学习路径图。
3. 标示一节课的知识结构，绘制课时学习路径图。
在此基础上，用不同框线标示最底层的课时学习路径图，用不同色块标示单元学习路径图，整合成整个学期的学习路径总图，绘制在大张的纸上，贴在教室里，和孩子们“天天见面”。
这样，教师在引导学生数学学习时，可以在学习路径图中找到所學知识点，根据其中的结构关系，创设情境，引入学习;可以在概念学习时，根据学习路径图，找到相关联的概念，建立联系;也可以在复习阶段，找到所复习的知识点，根据其中的结构关系，组织比较、辨析，深化认识，形成有利于分化、巩固、迁移的活的知识。不管何种学习，都能将知识镶嵌在学习路径图这一宽广的背景中，成为其中一个不可或缺的节点，纵横交错，贯通一气。
三、 尝试学习路径图的绘制，让学习更深入、有创新
（一）从基本关系入手，让学生逐步掌握概念图的基本绘制方法
概念之间的基本关系有六种：同一关系、包含关系、交叉关系、全异关系、矛盾关系、反对关系。其中，常用的四种关系可以用以下习惯的方式分别图示：
在学习路径图中，则常表示为以下形式，方便组合成学习路径总图：
学习这些基本关系的概念图绘制方法，就有了绘制学习路径图的基础。这些基本关系概念图，不必进行概念基本关系的抽象说教，而应以实际例子的形式，让学生意会即可。可以在某段时间里贴在教室显眼位置，或者让学生画在数学书的扉页上，“和学生天天见面”，以便在绘制学习路径图时，有个参照，有所启发。
（二）让学生在预习的时候尝试绘制学习路径图
针对小学生的学习特点，应以任务驱动方式，促进数学预习的深入。而绘制学习路径图，则是一个很有意义的任务，能驱动学生在深入预习的基础上，尝试发现知识间的联系，自主建构知识。
可先让学生用“质疑法”预习。在数学阅读的基础上，提出两个问题，并通过阅读检索方法，或者查阅资料、请教别人等方式，尝试解决问题。
其次让学生用“练习法”预习。尝试完成课后“做一做”和配套练习的基础题。练习时，学生可能根据例题，用模仿方法完成练习;也可能是通过再次阅读，明确方法，用习得的方法完成练习。
在此基础上，进一步理清知识间的关系，通过浏览“基本关系概念图”例子，尝试绘制学习路径图，交流、展示预习成果。
（三）让学生用学习路径图表示思考的结果，促进交流的深入
在探索学习活动时，往往会在独立思考的基础上，先组织小组讨论。为使小组讨论更有成效，可以用完善学习路径图的方式作为任务，让学生拿出预习时各自绘制的学习路径图，进行交流、比较、优化、完善，重新绘制出代表小组学习、讨论成果的学习路径图，在班级里展示、交流。以学习路径图为抓手的讨论，能让话题围绕概念、法则、规律等核心知识，围绕知识间的关系展开，促进讨论的深入，保证讨论的有效性。
班级展示、交流的过程中，也应围绕“学习路径图”，通过比较、优化、完善，绘制出体现班级学习成果的“学习路径图”，标上绘制的主要贡献者姓名，张贴在学习栏里，让绘制者体验成功，让大家有学习、参考的另一有效资源。
（四）让学生在复习的时候尝试绘制学习路径图
让学生在复习的时候尝试绘制学习路径图，要体现“由扶到放”过程，经历三个阶段。
第一阶段应是有意义的接受学习，宜采用“潜科学教学法”。运用潜科学教学法的作用是“示范”，老师把自己在绘制学习路径图时的原始思考过程，“原原本本”地在课堂上向学生展示出来，不但展示正确的抽象、概括，灵感迸发的过程，更要展示其中所走的弯路，以及怎样发现弯路，怎样及时调整思路，直至完成路径图的绘制过程，让看不见、摸不着的内隐思维活动成为可视可听的样子暴露在学生面前，为学生提供模仿学习的具体参照。上课时，教师先罗列单元或学期的学习内容，再一个部分一个部分地分析：“哦，这里的两个概念是属于矛盾关系的，包含在前一个概念之下，先画一个大括号……”边想、边讲、边画，画错了就擦，擦了再画，画不下去的时候，就改变思路，重画，重讲，不断调整，直至成功绘制出学习路径图。学习始于模仿，潜科学教学法的实施过程就是学生绘制学习路径图的模仿过程、起始阶段。 第二阶段应是“半扶半放”，宜采用“内容不完全教学法”。教师在复习时，利用“概念图绘制方法”对单元或全册内容进行结构化处理，展示在学生面前，但不把整个学习路径图和盘托出，而是将路径图的某个分支留白，让学生自己思考这部分路径图的表示方法。通过展示、交流、修正，形成完整的学习路径图。最后，让学生比对、反思，体验概念图的绘制方法。这种方法有点像“填空”式教学，适合过渡阶段的学习指导。
第三阶段是“放”，宜采用“尝试教学法”。教师先不讲，先让学生大胆绘制学习路径图，再组织展示和交流、比较和反思，以不断完善路径图。这种方法给学生绘制学习路径图以很大的创造空间，有利于生成众多适合学生认知特点的资源。虽是“放”了，但并非不管。所谓“众人拾柴火焰高”，学生在借鉴别人优秀成果的基础上，通过教师的点拨，慢慢地就能提高绘制概念图的能力。
（五）在反馈、评价时让学生尝试绘制学习路径图
让学生提交个人绘制的学习路径图，可以获得学生学习情况的反馈信息，可以评價学生的学习成果。根据由扶到放的原则，可视情况调整难度。一种是只布置绘制任务，没有任何提示的;一种是有提示的。
提示的方式有三类：第一类是将单元（学期）内容罗列出来，让学生根据内容间的关系，绘制学习路径图。有点像给孩子一堆积木，让孩子根据积木，摆出一栋房子来。第二类和第一类是互逆的，给学生一个绘制好路径的概念图，但每个节点的方框里是空白的，让学生在路径图中标出每个节点方框中的内容。好比是给孩子一张房子图，让孩子找积木，把房子搭出来。第三类是给学生一个“半成品”的路径图，让学生接着完成。这是“内容不完全教学法”在评价阶段的运用。
这三类提示方法，可以有多种组合方式。比如，可以罗列一半的内容，绘制好一半的路径，在某个分支上是“成品”，让大部分学生都能在这些支架的帮助下，成功绘制出学习路径图。
（六）让学生在课外阅读时尝试绘制学习路径图
语文目的的课外阅读，往往让学生摘抄好词好句，写写感想心得。数学目的的课外阅读，则仍应以绘制学习路径图为主要任务。
在用质疑法进行课外阅读的时候，可以从检索、理解、运用、评价与鉴赏、质疑与创新等五个维度出发，绘制半成品的学习路径图，让学生按图索骥，填空式地完成路径图的绘制。
故事阅读，可以故事情节为主干，串联相关人物，完成路径图的绘制。数学历史阅读，可以用中外两条线的对比，完成路径图的绘制。科学家传记阅读，则以人物为中心，联系其成长过程中的关键人物和主要事件，完成路径图绘制。
课外阅读时让学生绘制学习路径图，要适可而止，分类要求，鼓励为主，以防磨灭学生的阅读兴趣。如，一些学生只需完成部分路径图的绘制，路径图的绘制可以加入卡通等元素，学生可以尽情发挥，充分展示自己的个性等等。
学习路径图在小学数学教学中的应用，还是一个没有完全解决的问题，还需大量的教学实践与探索，以更好地发挥学习路径图的作用，帮助学生进行有效的数学学习。
参考文献：
[1]何宇敏.思维导图在小学数学课堂教学中的应用[J].科学咨询：教育科研，2018（11）.
[2]樊斌.思维导图在小学数学课堂教学中的运用探究[J].科学咨询：教育科研，2018（9）.
[3]张艳.例谈思维导图在小学数学教学中的运用[J].学周刊，2014（12）：294-295.
[4]诸红霞.思维导图在小学数学教学中的应用[J].求知导刊，2015（22）：71-72.
作者简介：
张锦发，福建省龙岩市，福建省龙岩市永定区高陂中心小学。