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笔者在去年的“百师讲坛”和今年的“千课万人”全国小学数学课堂教学研讨观摩活动中，两次执教了《鸡兔同笼》这一内容。尽管是同一课题，但处理的不同却产生了截然不同的效果。现将两次执教的课堂实录呈现如下：
案例再现一：(百师讲坛)
一、图文并茂，介绍鸡兔同笼
课件出示《孙子算经》。
师：听说过这本书吗?
师：它的来头可不小，一是它问世的时间早，早在一千五百年前就问世了，二是它的内容精，里边记录了许多经典的数学问题，至今人们还在学习，他是我国古代著名的数学专著。在《孙子算经》中记载了这样一道数学趣题：
今有雉(zhi)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?
师：什么意思?
师板书：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只?
师：这就是著名的“鸡兔同笼”问题。板书课题。
二、分层要求，自主探究
师：要研究这个问题我们可以化繁为简，把数据变小一点来研究。
师出示：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只?
师：会解决这个问题吗?部分学生举手示意。
师：你想用什么方法答?
生1：假设法。
生2：列方程。
师：那好，待会你们就用自己的方法进行解答。但还有这么多的孩子不会怎么办?
师：不要紧，老师给你们准备了学习材料，(展台出示)你可以画图来思考，也可以列表来解答。明白吗?
师提供的材料：一是画图，二是表格。
生独立解答，师巡视指导。
三、汇报交流，沟通思路
1.交流图解法：
我先画8只鸡，发现脚数少了10只，再给5只鸡分别添上2只脚，就正好是26只脚，所以兔有5只，鸡有3只。
2.交流列表法：
首先交流按顺序列表的，再交流不完全按顺序列表的。
师问后者：你为什么不向他一样逐一列举呢?
生：脚数差得太多，可以多假设几只兔。
3.交流算术法：
生：假设笼子里都是鸡，出示
那么就有8×2=16只脚，这样就比实际少了多少只脚?
26-16=10只脚，为什么会少10只脚?接下来该怎么办?
生：我们假设全部都是鸡，实际笼子有兔，每只兔比鸡多2只脚，所以脚数少了。我们需要把一部分鸡换成兔。
师：真好。把一只鸡换成一只兔，脚数会增加……2只。增加的脚数用红色表示。
师：想想看，要把几只鸡换成兔，脚数才与实际相等。怎样列式?
10÷2=5只兔，8-5=3只鸡
师：这种算术方法叫假设法。它是用算式来表达我们的解题过程。想想看，它和画图、列表有什么相同?
小结：思路相同，表示的形式不同。
案例再现二：(千人万课)
一、图文并茂，介绍鸡兔同笼
(略)
二、化繁为简，体验作图、列表
出示课题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?”
师：这是我国古代著名的数学问题，有谁知道它的名字?
生：“鸡兔同笼”。同学们抢着答道。
师：能说一说这个题目的意思吗?
学生说，教师板书：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只?
师：会解决这个问题吗?
(问题提出后，刚刚还十分活跃的学生，一下子安静下来，能接招的孩子寥寥无几。)
师(话锋一转)：老师变两个数字你们马上就都会了，信不信?
学生们表现出一副似信非信的样子。
师：真的不信?
生：不信!
师：那我们来试一试。
教师在黑板上画了一个小圆圈，问：“如果上有1个头，下有2只脚，鸡、兔各几何?”“一只鸡，零只兔”学生立即回答。
“如果上有3个头，下有8只脚，鸡、兔各几何?”不一会儿，学生纷纷说道：“2只鸡，一只兔。”有的学生还解释道：“如果全部都是鸡，就只有6只脚，说明肯定有兔。减少一只鸡，增加一只兔，正好就是8只脚了。”
师：能把你的想法画出来吗?
学生很快在黑板上边画边讲解，获得孩子们一片掌声。
师：咦，不是说不相信吗?怎么都会解答呢?”
生(豁然开朗地)：把大数变成小数容易想，把复杂的问题变得简单，有利于我们找到解决问题的方法。
三、独立尝试，理解假设法
师：如果“上有8头，下有26脚，鸡兔各几只?”你能用自己的方法解答了吗?
学生埋头独立尝试，然后指名讲解。
生l边讲边板书：2×8=16(只)
26-16=10(只)
10÷(4-2)=5(只) 兔
8-5=3(只) 鸡
(此处略去学生的具体语言，该生对10÷(4-2)的算理讲解的并不清楚，同学们都表示没有听明白。)
师：有没有想法和她一样，但你能保证让每个孩子都听I董你的想法?
生2：我的想法跟她差不多，但我是用画图的方法。(边画边讲)我先画了8只鸡。
这样，一共有16只脚，比实际的26只脚少了10只，算式是“2×8=16(只)”和“26-16=10(只)”。比实际的26只脚少了10只脚，说明笼子里面肯定有兔。如果把其中一只鸡换成一只兔，增加了2只脚。这样就需要看10里面有多少个2，所以要用10÷(4-2)来求兔的只数。
(学生们纷纷表示弄明白算式的意思了)
师：还有其他方法吗?
生3：我用的是列表法。
生4：我假设全部都是兔。
生5：我列的是方程。
(学生的具体过程略)
评析：
两次试教《鸡兔同笼》都顺利完成了任务，这两节课的共同点在于都力求引导学生通过介绍数学历史文化激发学生的学习数学的欲望，通过作图、列表初步渗透假设的思想，在此基础上让学生通过自主尝试，独立探究“鸡兔同笼”问题的典型解法，最终实现数学建模。应该说，在两节课中，都充分利用了图形和列表来帮助学生数形结合地理解抽象的算理，都立足于将复杂、抽象的知识简单化、形象化、具体化。这一流程符合小学生思维处于“具体运算阶段”的年龄特点。
但仔细分析，在处理的过程中却体现出很大的不同。第一节课，当教师调查到任课班级中只有少数学生会解决“鸡兔同笼”问题的时候，直接告诉这些不会的学生：“老师给你们准备了学习材料，你可以画图来思考，也可以列表来解答。”并对作图进行了示范。在学生独立用各种方法尝试后，按照“作图法——列表法——算术法”的流程依次进行了评讲。看似很正常的教学流程的背后，不难看出教者领着学生按照课前设计的程序亦步亦趋进行，“引”的痕迹很重。而第二节课中，充分尊重了学生认知结构。教师在出示了“鸡兔同笼”的原题之后，绝大多数学生表示不会解答。这时，教师设置了一个悬念：“如果我改两个数，你一定会。”一下子就调动了学生的兴趣，学生纷纷表示“不信”。于是，教师把数据改成最简单的，让学生一下子就能“猜出”鸡和兔的只数。并让学生想办法把自己的想法画出来，或记录下来，非常自然地渗透了作图法和列表法。在学生独立尝试以后进行反馈时，也没有严格按照“作图法——列表法——算术法”的预设程序，而是由学生自己进行讲解。此时的学生，通过前期较小数据的理解，在作图和列表的过程中，对假设法已经有了初步的认识，已经有了“跃跃欲试”的冲动。于是，教师就任由学生充分表达自己的想法。当学生用自己的语言实在无法解释清楚假设法的算理时，再引导学生借助作图或列表来阐明算理，充分体现了“导”在困惑处。在这个过程中，作图和列表不再是由教师硬生生地递给学生，而是在学生最需要的时候主动地采用的一种手段，在教师巧妙的引导下，几种方法有机地融为一个整体。
“亲亲”课堂“亲”的质就是要尊重学生，以学生为主体。他不是简单的摸摸学生的头哪种肌肤之亲，或者简单的“你真棒”那种形式浅薄之亲，更不是老师满堂课眉飞色舞、汗流浃背地按照自己的预设按部就班地“辛勤劳动”之亲。我们的课堂应该从学生的需要出发，因势利导，让他们在活动中去发现问题，通过师生互动、生生互动，不断地在思想的碰撞中去解决问题，进而点燃学生创新的火花。这样的课堂才是情感灵动，思绪飘扬的课堂，这样的课堂才是“亲亲课堂”要努力追求的教学境界。
(作者单位：重庆市南岸区珊瑚实验小学)
(责任编校：白水)
案例再现一：(百师讲坛)
一、图文并茂，介绍鸡兔同笼
课件出示《孙子算经》。
师：听说过这本书吗?
师：它的来头可不小，一是它问世的时间早，早在一千五百年前就问世了，二是它的内容精，里边记录了许多经典的数学问题，至今人们还在学习，他是我国古代著名的数学专著。在《孙子算经》中记载了这样一道数学趣题：
今有雉(zhi)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?
师：什么意思?
师板书：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只?
师：这就是著名的“鸡兔同笼”问题。板书课题。
二、分层要求，自主探究
师：要研究这个问题我们可以化繁为简，把数据变小一点来研究。
师出示：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只?
师：会解决这个问题吗?部分学生举手示意。
师：你想用什么方法答?
生1：假设法。
生2：列方程。
师：那好，待会你们就用自己的方法进行解答。但还有这么多的孩子不会怎么办?
师：不要紧，老师给你们准备了学习材料，(展台出示)你可以画图来思考，也可以列表来解答。明白吗?
师提供的材料：一是画图，二是表格。
生独立解答，师巡视指导。
三、汇报交流，沟通思路
1.交流图解法：
我先画8只鸡，发现脚数少了10只，再给5只鸡分别添上2只脚，就正好是26只脚，所以兔有5只，鸡有3只。
2.交流列表法：
首先交流按顺序列表的，再交流不完全按顺序列表的。
师问后者：你为什么不向他一样逐一列举呢?
生：脚数差得太多，可以多假设几只兔。
3.交流算术法：
生：假设笼子里都是鸡，出示
那么就有8×2=16只脚，这样就比实际少了多少只脚?
26-16=10只脚，为什么会少10只脚?接下来该怎么办?
生：我们假设全部都是鸡，实际笼子有兔，每只兔比鸡多2只脚，所以脚数少了。我们需要把一部分鸡换成兔。
师：真好。把一只鸡换成一只兔，脚数会增加……2只。增加的脚数用红色表示。
师：想想看，要把几只鸡换成兔，脚数才与实际相等。怎样列式?
10÷2=5只兔，8-5=3只鸡
师：这种算术方法叫假设法。它是用算式来表达我们的解题过程。想想看，它和画图、列表有什么相同?
小结：思路相同，表示的形式不同。
案例再现二：(千人万课)
一、图文并茂，介绍鸡兔同笼
(略)
二、化繁为简，体验作图、列表
出示课题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?”
师：这是我国古代著名的数学问题，有谁知道它的名字?
生：“鸡兔同笼”。同学们抢着答道。
师：能说一说这个题目的意思吗?
学生说，教师板书：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只?
师：会解决这个问题吗?
(问题提出后，刚刚还十分活跃的学生，一下子安静下来，能接招的孩子寥寥无几。)
师(话锋一转)：老师变两个数字你们马上就都会了，信不信?
学生们表现出一副似信非信的样子。
师：真的不信?
生：不信!
师：那我们来试一试。
教师在黑板上画了一个小圆圈，问：“如果上有1个头，下有2只脚，鸡、兔各几何?”“一只鸡，零只兔”学生立即回答。
“如果上有3个头，下有8只脚，鸡、兔各几何?”不一会儿，学生纷纷说道：“2只鸡，一只兔。”有的学生还解释道：“如果全部都是鸡，就只有6只脚，说明肯定有兔。减少一只鸡，增加一只兔，正好就是8只脚了。”
师：能把你的想法画出来吗?
学生很快在黑板上边画边讲解，获得孩子们一片掌声。
师：咦，不是说不相信吗?怎么都会解答呢?”
生(豁然开朗地)：把大数变成小数容易想，把复杂的问题变得简单，有利于我们找到解决问题的方法。
三、独立尝试，理解假设法
师：如果“上有8头，下有26脚，鸡兔各几只?”你能用自己的方法解答了吗?
学生埋头独立尝试，然后指名讲解。
生l边讲边板书：2×8=16(只)
26-16=10(只)
10÷(4-2)=5(只) 兔
8-5=3(只) 鸡
(此处略去学生的具体语言，该生对10÷(4-2)的算理讲解的并不清楚，同学们都表示没有听明白。)
师：有没有想法和她一样，但你能保证让每个孩子都听I董你的想法?
生2：我的想法跟她差不多，但我是用画图的方法。(边画边讲)我先画了8只鸡。
这样，一共有16只脚，比实际的26只脚少了10只，算式是“2×8=16(只)”和“26-16=10(只)”。比实际的26只脚少了10只脚，说明笼子里面肯定有兔。如果把其中一只鸡换成一只兔，增加了2只脚。这样就需要看10里面有多少个2，所以要用10÷(4-2)来求兔的只数。
(学生们纷纷表示弄明白算式的意思了)
师：还有其他方法吗?
生3：我用的是列表法。
生4：我假设全部都是兔。
生5：我列的是方程。
(学生的具体过程略)
评析：
两次试教《鸡兔同笼》都顺利完成了任务，这两节课的共同点在于都力求引导学生通过介绍数学历史文化激发学生的学习数学的欲望，通过作图、列表初步渗透假设的思想，在此基础上让学生通过自主尝试，独立探究“鸡兔同笼”问题的典型解法，最终实现数学建模。应该说，在两节课中，都充分利用了图形和列表来帮助学生数形结合地理解抽象的算理，都立足于将复杂、抽象的知识简单化、形象化、具体化。这一流程符合小学生思维处于“具体运算阶段”的年龄特点。
但仔细分析，在处理的过程中却体现出很大的不同。第一节课，当教师调查到任课班级中只有少数学生会解决“鸡兔同笼”问题的时候，直接告诉这些不会的学生：“老师给你们准备了学习材料，你可以画图来思考，也可以列表来解答。”并对作图进行了示范。在学生独立用各种方法尝试后，按照“作图法——列表法——算术法”的流程依次进行了评讲。看似很正常的教学流程的背后，不难看出教者领着学生按照课前设计的程序亦步亦趋进行，“引”的痕迹很重。而第二节课中，充分尊重了学生认知结构。教师在出示了“鸡兔同笼”的原题之后，绝大多数学生表示不会解答。这时，教师设置了一个悬念：“如果我改两个数，你一定会。”一下子就调动了学生的兴趣，学生纷纷表示“不信”。于是，教师把数据改成最简单的，让学生一下子就能“猜出”鸡和兔的只数。并让学生想办法把自己的想法画出来，或记录下来，非常自然地渗透了作图法和列表法。在学生独立尝试以后进行反馈时，也没有严格按照“作图法——列表法——算术法”的预设程序，而是由学生自己进行讲解。此时的学生，通过前期较小数据的理解，在作图和列表的过程中，对假设法已经有了初步的认识，已经有了“跃跃欲试”的冲动。于是，教师就任由学生充分表达自己的想法。当学生用自己的语言实在无法解释清楚假设法的算理时，再引导学生借助作图或列表来阐明算理，充分体现了“导”在困惑处。在这个过程中，作图和列表不再是由教师硬生生地递给学生，而是在学生最需要的时候主动地采用的一种手段，在教师巧妙的引导下，几种方法有机地融为一个整体。
“亲亲”课堂“亲”的质就是要尊重学生，以学生为主体。他不是简单的摸摸学生的头哪种肌肤之亲，或者简单的“你真棒”那种形式浅薄之亲，更不是老师满堂课眉飞色舞、汗流浃背地按照自己的预设按部就班地“辛勤劳动”之亲。我们的课堂应该从学生的需要出发，因势利导，让他们在活动中去发现问题，通过师生互动、生生互动，不断地在思想的碰撞中去解决问题，进而点燃学生创新的火花。这样的课堂才是情感灵动，思绪飘扬的课堂，这样的课堂才是“亲亲课堂”要努力追求的教学境界。
(作者单位：重庆市南岸区珊瑚实验小学)
(责任编校：白水)