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【摘 要】工程结构的优化设计旨在寻找既安全又经济的结构模式，通常包括尺寸、形状与拓扑信息等，对于研究发明生产超出设计者已有经验的新型工程结构来说，对工程结构进行优化是一种很有价值的工具。结构优化的主要目的通常是求解具有最小重量的结构，并且满足相应的约束条件， 以获得最佳静力和动力形态特征。解决的问题从减轻结构重量扩展到降低应力水平、改进结构性能和提高安全寿命等更多方面。
【关键词】结构优化；安全；经济
引言
多层框架是工程中常见的一种简单结构，对其进行优化设计能够很好的反应结构在满足相应的承载力条件下，如何减少钢筋和混凝土等材料的使用，以梁高宽、柱高宽为设计变量，利用矩阵位移法计算出构件的内力，进而再计算构件在满足承载力和构造要求下的钢筋面积。
一、模型的建立
利用多面体法对框架结构进行优化设计，以框架结构造价最低的数学模型表示为：
MinC=+
S.t. Vi（x）≤0 （i=1，2，…，L）
目标函数：设框架中梁、柱的数目分别为m，n，以整个框架造价最低可建立如下的目标函数：
MinC=+
式中 lbi，lcj——梁、柱的长度；X2i-1，X2i——梁的宽度和高度；
Agi，Agj——梁和柱的钢筋截面积；X2j-1X2j——柱的宽度与高度； Ch，Cg——钢筋和混凝土的价格。
二、约束条件
在工程结构优化的设计过程中，我们需要保证构件可以承受荷载设计值，也就是满足承载力的需求，设计者通常根据构件的截面尺寸和材料性能计算出构件的最大承载力；用矩阵位移法计算多层框架结构在荷载设计值下各构件的内力。但要求构件最大承载力需要大于或等于构件在相应载荷作用下的构件的内力，同时，构件尺寸大小需要满足规范上的一些要求，所以，约束条件设置为：
（1） 梁纵筋最小的配筋率：Agi≥uminX2i-1X2i i=1，2，…，m；umin=0.2%（2） 梁的超筋限制：ρ≤ρmax（3） 梁截面最小宽度：X2i-1≥200 i=1，2，…，m（4） 梁高的限制：400≤X2i≤800 i=1，2，…，m（5） 柱的最大配筋率：Agj≤0.03X2j-1X2j j=1，2，…，n（6） 柱的最小配筋率：Agj≥0.006X2j-1X2j j=1，2，…，n（7） 柱的最小截面尺寸：X2j-1，X2j≥350 j=1，2，…，n
三、多面体方法计算要素
1. 根据已经给出的满足约束条件的初始设置X0（i），i=1，2，3，···，N与初始边长t，构成一个以X0（i）为形心的边长为t的原始正多面体。各个顶点设为X1，X2，X3，…，XN+1。
2. 算形心点X0处目标函数值F0=f（X0）。
3. 一次判断正多面体各顶点Xi（i=1，2，···，N+1）取值能否满足各个约束条件，如果都不满足约束条件，则需要转到第（10）步，否则转到第（4）步。
4. 计算在满足各個约束条件下的各顶点XK（下标K表示在满足各个约束条件下的各顶点的标号）目标函数值FK=f（XK），找到其中函数值的最小的点XL及其所对应的函数值FL=minf（XK），如果FL≥F0，转到第（6）步，否则转到第（5）步。
5. 沿X0XL方向继续搜索。
6. 找出正多面体其余所有旁心XN+2，XN+3，… ，X2N+2。并且判定各旁心点处的取值XN+1+i，j可否满足约束条件，如果所有都不满足则转第（10）步，其余则转到第（7）步。
7. 计算满足相应剪应力约束条件的所有旁心XK点处目标函数FK=f（XK），找到最优旁心XL1及其所对应的相应的目标函数结果FL1=f（XL1）=minf（XK），如果FL1≥F0，转第（10）步，其余转到第（8）步。
8. 用XL1代替X0，并以FL1代替F0，对正多面体进行翻转。新的顶点XL′的每个坐标的分量计算如下：XL′j=x0j+xL1，j-xLj （j=1，2，···，N）计算XL′点处的目标函数值FL′=f（XL′）。如果：FL′≥F0，则转到第（6）步，否则转到第（9）步。
9.当FL′≤F0时，转到第（5）步对结构进行平移。
10.精度的检验，如果t≤ε（ε为预先给定的精度），停止搜索；否则，对正多面体，让其向形心收缩，收缩后该正多面体各个顶点的坐标分量按下式计算：xij′=12（xij+x0j） （j=1，2，···，N）再令t=0.5×t，转第（3）步。
四、程序优化设计
实例程序优化设计的内容主要如下：
1.依次输入框架所承受荷载的原始数据、材料等级和梁柱的截面尺寸；并对各截面的承载力情况进行判断，不满足的则需要进行相应的截面调整。
2.用矩阵位移法计算该多层框架的内力（如弯矩、剪力和轴力），并且利用内力计算法计算多层框架构件所需要满足承载力要求下钢筋的截面面积。判断他是否已经超筋，若已经超筋，则需要调整截面的尺寸和大小。
3. 建立框架结构所需造价最低时的目标函数，然后再用正多面体方法对已有多层框架结构构件进行优化设计。
4. 对优化后的钢筋截面进行检验，观察其能否满足承载力约束条件和构造的要求。
5. 在保证其满足精度要求后，输出结构优化后的截面大小和所需总造价。
对钢筋混凝土多层框架结构的优化设计以构件的各控制截面为代表进行计算，因而对其它钢筋混凝土多层框架结构也适用。对一个3跨3层钢筋混凝土框架，梁的截面积为250 mm×500 mm，柱为450 mm×450 mm，梁、柱混凝土等级均为C25，采用Ⅰ级箍筋，Ⅱ级主筋，混凝土单价300元/m3，钢筋单价3700元/t。
五、结果优化分析
1. 输入多层框架的荷载原始数据包括材料等级，梁柱的截面尺寸等；对截面进行判断，不满足则需要进行截面调整。
2.用矩阵位移法计算钢筋混凝土多层框架的内力（如弯矩、剪力和轴力），然后利用内力计算方法计算多层框架构件在能够满足承载力要求下所需的钢筋面积。判断其是否超筋，若超筋，则需要调整截面大小。
3.建立框架结构所需造价最低时的目标函数，然后用正多面体方法对该框架结构的构件进行优化设计。
4.检验最后优化后的截面能否满足结构承载力约束条件和所需构造要求。
5.在其满足相应精度要求后，最后输出结构优化后的截面大小和所需造价。
用优化程序对本例进行了优化计算，优化前的工程造价为9734.90元，优化后为9143.55元，降低了6.07%。
六、结论
通过对简单的多层框架结构进行优化设计，能够在合理的范围内降低工程成本。结构优化的方式方法是一种有待提高、完善、改进的方法，为现代结构的发展提供了重要保障。
参考文献：
[1]钱令希，《工程结构优化设计》，科学出版社，2011年6月第一版.
[2]程文瀼，《混凝土结构》，中国建筑工业出版社，2008年11月第四版.
[3]江爱川.结构优化设计[M].北京：清华大学出版社，1986.
[4]龙驭球，包世华.结构力学教程[M].北京：高等教育出版社，1988.
[5]GB20010-2002，混凝土结构设计规范[S].北京：中国建筑工业出版社，2002.
【关键词】结构优化；安全；经济
引言
多层框架是工程中常见的一种简单结构，对其进行优化设计能够很好的反应结构在满足相应的承载力条件下，如何减少钢筋和混凝土等材料的使用，以梁高宽、柱高宽为设计变量，利用矩阵位移法计算出构件的内力，进而再计算构件在满足承载力和构造要求下的钢筋面积。
一、模型的建立
利用多面体法对框架结构进行优化设计，以框架结构造价最低的数学模型表示为：
MinC=+
S.t. Vi（x）≤0 （i=1，2，…，L）
目标函数：设框架中梁、柱的数目分别为m，n，以整个框架造价最低可建立如下的目标函数：
MinC=+
式中 lbi，lcj——梁、柱的长度；X2i-1，X2i——梁的宽度和高度；
Agi，Agj——梁和柱的钢筋截面积；X2j-1X2j——柱的宽度与高度； Ch，Cg——钢筋和混凝土的价格。
二、约束条件
在工程结构优化的设计过程中，我们需要保证构件可以承受荷载设计值，也就是满足承载力的需求，设计者通常根据构件的截面尺寸和材料性能计算出构件的最大承载力；用矩阵位移法计算多层框架结构在荷载设计值下各构件的内力。但要求构件最大承载力需要大于或等于构件在相应载荷作用下的构件的内力，同时，构件尺寸大小需要满足规范上的一些要求，所以，约束条件设置为：
（1） 梁纵筋最小的配筋率：Agi≥uminX2i-1X2i i=1，2，…，m；umin=0.2%（2） 梁的超筋限制：ρ≤ρmax（3） 梁截面最小宽度：X2i-1≥200 i=1，2，…，m（4） 梁高的限制：400≤X2i≤800 i=1，2，…，m（5） 柱的最大配筋率：Agj≤0.03X2j-1X2j j=1，2，…，n（6） 柱的最小配筋率：Agj≥0.006X2j-1X2j j=1，2，…，n（7） 柱的最小截面尺寸：X2j-1，X2j≥350 j=1，2，…，n
三、多面体方法计算要素
1. 根据已经给出的满足约束条件的初始设置X0（i），i=1，2，3，···，N与初始边长t，构成一个以X0（i）为形心的边长为t的原始正多面体。各个顶点设为X1，X2，X3，…，XN+1。
2. 算形心点X0处目标函数值F0=f（X0）。
3. 一次判断正多面体各顶点Xi（i=1，2，···，N+1）取值能否满足各个约束条件，如果都不满足约束条件，则需要转到第（10）步，否则转到第（4）步。
4. 计算在满足各個约束条件下的各顶点XK（下标K表示在满足各个约束条件下的各顶点的标号）目标函数值FK=f（XK），找到其中函数值的最小的点XL及其所对应的函数值FL=minf（XK），如果FL≥F0，转到第（6）步，否则转到第（5）步。
5. 沿X0XL方向继续搜索。
6. 找出正多面体其余所有旁心XN+2，XN+3，… ，X2N+2。并且判定各旁心点处的取值XN+1+i，j可否满足约束条件，如果所有都不满足则转第（10）步，其余则转到第（7）步。
7. 计算满足相应剪应力约束条件的所有旁心XK点处目标函数FK=f（XK），找到最优旁心XL1及其所对应的相应的目标函数结果FL1=f（XL1）=minf（XK），如果FL1≥F0，转第（10）步，其余转到第（8）步。
8. 用XL1代替X0，并以FL1代替F0，对正多面体进行翻转。新的顶点XL′的每个坐标的分量计算如下：XL′j=x0j+xL1，j-xLj （j=1，2，···，N）计算XL′点处的目标函数值FL′=f（XL′）。如果：FL′≥F0，则转到第（6）步，否则转到第（9）步。
9.当FL′≤F0时，转到第（5）步对结构进行平移。
10.精度的检验，如果t≤ε（ε为预先给定的精度），停止搜索；否则，对正多面体，让其向形心收缩，收缩后该正多面体各个顶点的坐标分量按下式计算：xij′=12（xij+x0j） （j=1，2，···，N）再令t=0.5×t，转第（3）步。
四、程序优化设计
实例程序优化设计的内容主要如下：
1.依次输入框架所承受荷载的原始数据、材料等级和梁柱的截面尺寸；并对各截面的承载力情况进行判断，不满足的则需要进行相应的截面调整。
2.用矩阵位移法计算该多层框架的内力（如弯矩、剪力和轴力），并且利用内力计算法计算多层框架构件所需要满足承载力要求下钢筋的截面面积。判断他是否已经超筋，若已经超筋，则需要调整截面的尺寸和大小。
3. 建立框架结构所需造价最低时的目标函数，然后再用正多面体方法对已有多层框架结构构件进行优化设计。
4. 对优化后的钢筋截面进行检验，观察其能否满足承载力约束条件和构造的要求。
5. 在保证其满足精度要求后，输出结构优化后的截面大小和所需总造价。
对钢筋混凝土多层框架结构的优化设计以构件的各控制截面为代表进行计算，因而对其它钢筋混凝土多层框架结构也适用。对一个3跨3层钢筋混凝土框架，梁的截面积为250 mm×500 mm，柱为450 mm×450 mm，梁、柱混凝土等级均为C25，采用Ⅰ级箍筋，Ⅱ级主筋，混凝土单价300元/m3，钢筋单价3700元/t。
五、结果优化分析
1. 输入多层框架的荷载原始数据包括材料等级，梁柱的截面尺寸等；对截面进行判断，不满足则需要进行截面调整。
2.用矩阵位移法计算钢筋混凝土多层框架的内力（如弯矩、剪力和轴力），然后利用内力计算方法计算多层框架构件在能够满足承载力要求下所需的钢筋面积。判断其是否超筋，若超筋，则需要调整截面大小。
3.建立框架结构所需造价最低时的目标函数，然后用正多面体方法对该框架结构的构件进行优化设计。
4.检验最后优化后的截面能否满足结构承载力约束条件和所需构造要求。
5.在其满足相应精度要求后，最后输出结构优化后的截面大小和所需造价。
用优化程序对本例进行了优化计算，优化前的工程造价为9734.90元，优化后为9143.55元，降低了6.07%。
六、结论
通过对简单的多层框架结构进行优化设计，能够在合理的范围内降低工程成本。结构优化的方式方法是一种有待提高、完善、改进的方法，为现代结构的发展提供了重要保障。
参考文献：
[1]钱令希，《工程结构优化设计》，科学出版社，2011年6月第一版.
[2]程文瀼，《混凝土结构》，中国建筑工业出版社，2008年11月第四版.
[3]江爱川.结构优化设计[M].北京：清华大学出版社，1986.
[4]龙驭球，包世华.结构力学教程[M].北京：高等教育出版社，1988.
[5]GB20010-2002，混凝土结构设计规范[S].北京：中国建筑工业出版社，2002.