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【摘要】
多数学生觉得数学难学，“一听就会，一做就错”，关键在于一个“悟”字，只要学会悟数学，用内心的体念与创造来学习数学，就会使学生获取一个善于思考的脑袋。而数学的悟性不是天生俱来的，而是后天培养获得的，正确认识、科学培养和合理训练可以有效地提高学生的数学的悟性。要学好高中数学，应在平时的教学中抓住数学的本质，多从概念、性质、内容、数学问题本身的特征，以及猜想、归纳、转化之中多思多想，定能发现解题的捷径，使问题简单。我们应在平时的教学中注重培养学生数学学习的悟性，养成善思、勤奋的好习惯。
【关键词】高中数学 科学培养 数学学习 悟性
如今多数学生觉得高中数学难学，拿到一道习题往往无从下手，常听学生说：一听就会，一做就错。这是什么原因呢？就是因为自己没有把老师讲的悟透。悟性的培养重在一个“悟”字。美国国家数学教育委员会在《人人关心数学教育的未来》的报告中指出：“实在说来，没有人能教好数学，好的数学老师不是在教数学，而是激发学生自己去学数学”，“学生要牢固地掌握数学，就必须用内心的创造与体念来学习数学”。因此，学生来到学校决不是为了领取一只知识的行囊，而是为了获取一个善于思考的脑袋，即充分培养学生的悟性。而数学的悟性不是天生俱来的，而是后天培养获得的，正确认识、科学培养和合理训练可以有效地提高学生的数学的悟性。下面就自己从几个方面谈谈数学悟性的培养：
1.从定义、定理、公式中培养
悟性并不神秘，它源于基础又回归基础，尽管在表面上它与以前获得的知识相差甚远，但实际上却是对以前积累起来的知识、经验、方法、技能的再现、迁移、重组、变换、改造和升华。只有夯实了基础，才能在关键时刻“眉头一皱、‘悟’上心来”。
例1：判断函数
f（x）=x+2 （x＜-1）
0 （-1 ≤x≤1） 的奇偶性。
-x+2（x＞1）
分析：此函数为一分数函数，判断函数的奇偶性，还得从函数奇偶性定义入手，考虑整个定义域，在整个定义域上是奇函数还是偶函数。
解：该函数的定义域为R，定义域关于原点对称：
当x＜-1时，-x＞1
f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）
当|x|≤1时，|-x|≤1
f（-x）=0=f（x）
当x＞-1时，-x＜1
f（-x）=-x+2=f（x）
∴对一切x∈R,都有f（-x）=f（x），因此函数f（x）是偶函数。
2.从图象中培养
有些数学问题，用定义、公式无法解出来，若结合函数的图象，就能找准思维起点，再加上合理推理，就能使问题的解决简洁明了。
例2：已知函数
f（x）= |logx|， 0 ＜x≤10
-12c+b, x＞10
若a、b、c互不相等，且f（a）= f（b）= f（c）,则abc的取值范围是
解：作出此函数的图象：
不妨设a＜b＜c，由f（a）= f（b）= f（c）及f（x）图象知：
110＜a＜1＜b＜10＜c＜12，-loga=logb=-12c+b
∴ab=1
∴abc取值范围为（10，12）
3.从相关性质中培养
许多数学问题，除了从定义、图象抓中求解的方法之外，还应从数学问题本身的性质考虑解题的方法，可能会使问题迎刃而解：
例3：已知{an}为等差数列，若a11a10＜-1，且它的前n和Sn有最大值，那么，Sn取得最小值时，n等于
解：由可知条件可知，等差数列{an}是首项为正，公差为负的递减数列，由a11a10＜-1，可得a11＜0，a10＞0，且a10+a11＜0，
∴S20=(a1+a20)×202=20(a10+a11)2＜0
∴S19=19(a1+a19)2=19a10 ＞0
∴当Sn取得最小值时，n=19
4.从问题的转化中培养
“数学家们往往不是对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直到把它转化成能够得到解决的问题。”这就是专家们提到的转化的思想。事实上，并非所有的问题只要一审题，就来了思路，有时对问题的条件和结论进行不断转化就能求解。
例4：X∈R，求函数y=x2+2x+2+x2+4x+8的最小值
分析：求这样的无理函数的最小值，用代数法较难，作如下变形：
y=(x+1)2+(0+1)2+(x－2)2+(0－2)2y
设P（x,0）,A（-1,-1）,B（2,2），如图：于是求y的最小值转化为求x轴上的一点P，使|PA|+|PB|最小，显然|PA|+|PB|≥|AB|=(2+1)2+(2+1)2=32上式中当x=0时，等号成立，故当x=0时，y的最小值为32。
5.从问题的讨论中培养
解题的过程是从题目的条件不断向问题的结果变形靠近。数学知识的最大特点就是系统性强，新知识是旧知识的延伸、拓展。许多新知，学生均能依赖原有的知识迁移规律类推而得到解决，这时适当展开讨论，不仅增强了学生参与学习的兴趣，而且有助于学生理解和掌握新知，收到事倍功半的效果。
例如：在学习基本不等式：a+b≥2ab(a>0,b>0)求有关非二次函数极值时，我们必须强调它使用的条件是“一正二定三相等”。“一正”是指a,b满足正数条件，“二定”是指a,b两数的和或积有一个是定值，“三相等”是指等号能否成立。为此，我拟了三个求函数最值的题目供大家讨论加深对条件的理解和应用：
（1）f(x)=x+1x(x>0)
(2) f(x) =x+1x(x<0)
(3)f(x)=x2+5x2+4
其结果是多数学生较轻松地完成（1）、（2）两题。对于（3）有的学生作了如下的分析：f(x)=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4≥2.
因此f(x)的最小值为2.“有没有问题？”我问，一石激起千层浪，同学们大多显出惊讶与不解，“能取到2吗？”我又乘势追问。经过一番激烈的讨论，大家从x2+4=1x2+4，即x+4=1，此方程无解，因此等号不能成立，但大于号是成立的，大家从中检验到“相等”的重要性。此刻的顿悟所带来的满足感溢于言表。接着，在师生的共同参与下，利用f(t)=t+1t在［1，+∞）上的单调性求出了f(x)的最小值为2.5。这不仅使学生拓宽了视野，还加强了前后的联系。在相互的学习讨论中也提高了思维能力。
6.从大胆的猜想中培养
俗话说：大胆的猜想，是创造发明的先导，没有猜想，就永远不能得出新的结论。
例6：在计算“1×2+2×3+…n(n+1)”时，有同学用到了如下一种方法：
k(k+1)=13［k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)］
因此：1×2+2×3+…n(n+1)
=13［1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+…+ n（n+1)（n+2）-（n-1)n（n+1)］
=13n（n+1)（n+2）
你可猜想：1×2×3+2×3×4+…n(n+1)(n+2)=
分析：根据求1×2+2×3+…n(n+1)的解法可大胆猜想：
1×2×3+2×3×4+…n(n+1)(n+2)=14 n（n+1)（n+2）（n+3）
通过以上的分析，我们可以看到，数学悟性不是“空中楼阁”，而是扎根于“三基”沃土之中的，只有熟练地掌握了基础知识、基本方法、基本技能后，在解决问题时，用联想变化的观点观察问题、分析问题，在解题的过程中才会产生顿悟。
总之，要学好高中数学，应在平时的教学中抓住数学的本质，多从概念、性质、内容、数学问题本身的特征，以及猜想、归纳、转化之中多思多想，定能发现解题的捷径，使问题简单。我们应在平时的教学中注重培养学生数学学习的悟性，养成善思、勤奋的好习惯。多挖掘数学解题的规律，学会感悟数学，正确认识、科学培养和合理训练可以有效地提高学生的悟性，学生就会发现数学题迎刃而解了。
多数学生觉得数学难学，“一听就会，一做就错”，关键在于一个“悟”字，只要学会悟数学，用内心的体念与创造来学习数学，就会使学生获取一个善于思考的脑袋。而数学的悟性不是天生俱来的，而是后天培养获得的，正确认识、科学培养和合理训练可以有效地提高学生的数学的悟性。要学好高中数学，应在平时的教学中抓住数学的本质，多从概念、性质、内容、数学问题本身的特征，以及猜想、归纳、转化之中多思多想，定能发现解题的捷径，使问题简单。我们应在平时的教学中注重培养学生数学学习的悟性，养成善思、勤奋的好习惯。
【关键词】高中数学 科学培养 数学学习 悟性
如今多数学生觉得高中数学难学，拿到一道习题往往无从下手，常听学生说：一听就会，一做就错。这是什么原因呢？就是因为自己没有把老师讲的悟透。悟性的培养重在一个“悟”字。美国国家数学教育委员会在《人人关心数学教育的未来》的报告中指出：“实在说来，没有人能教好数学，好的数学老师不是在教数学，而是激发学生自己去学数学”，“学生要牢固地掌握数学，就必须用内心的创造与体念来学习数学”。因此，学生来到学校决不是为了领取一只知识的行囊，而是为了获取一个善于思考的脑袋，即充分培养学生的悟性。而数学的悟性不是天生俱来的，而是后天培养获得的，正确认识、科学培养和合理训练可以有效地提高学生的数学的悟性。下面就自己从几个方面谈谈数学悟性的培养：
1.从定义、定理、公式中培养
悟性并不神秘，它源于基础又回归基础，尽管在表面上它与以前获得的知识相差甚远，但实际上却是对以前积累起来的知识、经验、方法、技能的再现、迁移、重组、变换、改造和升华。只有夯实了基础，才能在关键时刻“眉头一皱、‘悟’上心来”。
例1：判断函数
f（x）=x+2 （x＜-1）
0 （-1 ≤x≤1） 的奇偶性。
-x+2（x＞1）
分析：此函数为一分数函数，判断函数的奇偶性，还得从函数奇偶性定义入手，考虑整个定义域，在整个定义域上是奇函数还是偶函数。
解：该函数的定义域为R，定义域关于原点对称：
当x＜-1时，-x＞1
f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）
当|x|≤1时，|-x|≤1
f（-x）=0=f（x）
当x＞-1时，-x＜1
f（-x）=-x+2=f（x）
∴对一切x∈R,都有f（-x）=f（x），因此函数f（x）是偶函数。
2.从图象中培养
有些数学问题，用定义、公式无法解出来，若结合函数的图象，就能找准思维起点，再加上合理推理，就能使问题的解决简洁明了。
例2：已知函数
f（x）= |logx|， 0 ＜x≤10
-12c+b, x＞10
若a、b、c互不相等，且f（a）= f（b）= f（c）,则abc的取值范围是
解：作出此函数的图象：
不妨设a＜b＜c，由f（a）= f（b）= f（c）及f（x）图象知：
110＜a＜1＜b＜10＜c＜12，-loga=logb=-12c+b
∴ab=1
∴abc取值范围为（10，12）
3.从相关性质中培养
许多数学问题，除了从定义、图象抓中求解的方法之外，还应从数学问题本身的性质考虑解题的方法，可能会使问题迎刃而解：
例3：已知{an}为等差数列，若a11a10＜-1，且它的前n和Sn有最大值，那么，Sn取得最小值时，n等于
解：由可知条件可知，等差数列{an}是首项为正，公差为负的递减数列，由a11a10＜-1，可得a11＜0，a10＞0，且a10+a11＜0，
∴S20=(a1+a20)×202=20(a10+a11)2＜0
∴S19=19(a1+a19)2=19a10 ＞0
∴当Sn取得最小值时，n=19
4.从问题的转化中培养
“数学家们往往不是对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直到把它转化成能够得到解决的问题。”这就是专家们提到的转化的思想。事实上，并非所有的问题只要一审题，就来了思路，有时对问题的条件和结论进行不断转化就能求解。
例4：X∈R，求函数y=x2+2x+2+x2+4x+8的最小值
分析：求这样的无理函数的最小值，用代数法较难，作如下变形：
y=(x+1)2+(0+1)2+(x－2)2+(0－2)2y
设P（x,0）,A（-1,-1）,B（2,2），如图：于是求y的最小值转化为求x轴上的一点P，使|PA|+|PB|最小，显然|PA|+|PB|≥|AB|=(2+1)2+(2+1)2=32上式中当x=0时，等号成立，故当x=0时，y的最小值为32。
5.从问题的讨论中培养
解题的过程是从题目的条件不断向问题的结果变形靠近。数学知识的最大特点就是系统性强，新知识是旧知识的延伸、拓展。许多新知，学生均能依赖原有的知识迁移规律类推而得到解决，这时适当展开讨论，不仅增强了学生参与学习的兴趣，而且有助于学生理解和掌握新知，收到事倍功半的效果。
例如：在学习基本不等式：a+b≥2ab(a>0,b>0)求有关非二次函数极值时，我们必须强调它使用的条件是“一正二定三相等”。“一正”是指a,b满足正数条件，“二定”是指a,b两数的和或积有一个是定值，“三相等”是指等号能否成立。为此，我拟了三个求函数最值的题目供大家讨论加深对条件的理解和应用：
（1）f(x)=x+1x(x>0)
(2) f(x) =x+1x(x<0)
(3)f(x)=x2+5x2+4
其结果是多数学生较轻松地完成（1）、（2）两题。对于（3）有的学生作了如下的分析：f(x)=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4≥2.
因此f(x)的最小值为2.“有没有问题？”我问，一石激起千层浪，同学们大多显出惊讶与不解，“能取到2吗？”我又乘势追问。经过一番激烈的讨论，大家从x2+4=1x2+4，即x+4=1，此方程无解，因此等号不能成立，但大于号是成立的，大家从中检验到“相等”的重要性。此刻的顿悟所带来的满足感溢于言表。接着，在师生的共同参与下，利用f(t)=t+1t在［1，+∞）上的单调性求出了f(x)的最小值为2.5。这不仅使学生拓宽了视野，还加强了前后的联系。在相互的学习讨论中也提高了思维能力。
6.从大胆的猜想中培养
俗话说：大胆的猜想，是创造发明的先导，没有猜想，就永远不能得出新的结论。
例6：在计算“1×2+2×3+…n(n+1)”时，有同学用到了如下一种方法：
k(k+1)=13［k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)］
因此：1×2+2×3+…n(n+1)
=13［1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+…+ n（n+1)（n+2）-（n-1)n（n+1)］
=13n（n+1)（n+2）
你可猜想：1×2×3+2×3×4+…n(n+1)(n+2)=
分析：根据求1×2+2×3+…n(n+1)的解法可大胆猜想：
1×2×3+2×3×4+…n(n+1)(n+2)=14 n（n+1)（n+2）（n+3）
通过以上的分析，我们可以看到，数学悟性不是“空中楼阁”，而是扎根于“三基”沃土之中的，只有熟练地掌握了基础知识、基本方法、基本技能后，在解决问题时，用联想变化的观点观察问题、分析问题，在解题的过程中才会产生顿悟。
总之，要学好高中数学，应在平时的教学中抓住数学的本质，多从概念、性质、内容、数学问题本身的特征，以及猜想、归纳、转化之中多思多想，定能发现解题的捷径，使问题简单。我们应在平时的教学中注重培养学生数学学习的悟性，养成善思、勤奋的好习惯。多挖掘数学解题的规律，学会感悟数学，正确认识、科学培养和合理训练可以有效地提高学生的悟性，学生就会发现数学题迎刃而解了。