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数学史在数学教学中的运用一直是教师教学中关注的重要研究课题之一。笔者认为数学史在激发初中学生学习数学的兴趣、培养初中学生数学思维和方法等方面的教育教学价值已经逐渐被人们所认同，但是在实际课堂教学中数学史的运用却非常有限，或只停留于简单复制和简单介绍的层面，暂时还没有真正体现“融入”的本意。因此笔者本着以数学史融入初中数学教学的实践与探索为研究对象，尝试性的进行了分析与探索。
1.激发学生学习数学的兴趣
我国著名教育家陶行知曾说过：“兴趣是最好的老师。”兴趣是学生学习的内部驱动力，学生对所学内容的感兴趣程度将会直接影响到其学习效果，因此教师需要最大限度地激发学生的学习兴趣。而数学史中数学家的趣闻轶事、颇具趣味的数学名题、古今数学方法的比较等都是激发学生学习兴趣的有用材料。数学学科的历史知识对于数学课堂就好比是“使面包和黄油能够更加可口的蜂蜜”，它能帮助我们的初中数学课堂更具有吸引力、激发学生学习数学的兴趣、改变学生的数学观、以及培养数学的德育价值等。美国数学史家卡约黎在他的《数学史》前言中指出，数学史对于教师具有重要价值：“如果用历史回顾和历史轶事点缀枯燥的问题求解和几何证明，学生的学习兴趣就会大大增加。通过历史的解说，教师可以让学生明白：数学并不是一门枯燥呆板的学科，而是一门不断进步的生动有趣的学科。”
2.感受历史过程、掌握基本原理
笔者认为数学学科的历史便是数学这门学科的教学指南，卡约黎还说“学生所遭遇的困难往往是相关学科的创建者经过长期思索和探讨后所克服的实际困难”。的确，在我们的教学过程中，学生所遇到的问题、学生解决问题的方法以及学生对问题的理解等都有可能与历史相似。通过了解数学史，学生将会理解到数学史是通过人的劳动已经并仍在继续发展的方法与知识体系，而不是奇怪的、没道理的、随意的法则和定理的结合。
3.培养学生创新意识
培养学生学会像历史上数学家那样思维方式，也是数学史融入初中数学教学所要达到的目的之一。我们的课改将培养学生的创新意识作为一个重要目标，历史上数学家的思维方式能给我们最大的启示便是创新性，数学史中的许多猜想及定理的证明能让学生体验数学发现和创造的历史，是培养学生创新意识的有用材料。
4.培养学生德育价值，树立正确的情感态度价值观
数学史融入初中数学教学，有利于帮助学生培养正确的世界观、价值观和人生观。可以通过介绍中国古代的著作如《九章算术》等、介绍中国古代有名的数学家刘徽、祖冲之等的故事，可以使学生了解到中国人在世界数学发展过程中做出了巨大的贡献，培养学生民族自豪感。当然教师在教学过程中也可以介绍一些古代数学家刻苦专研、坚忍不拔等的优秀品质，将他们的事迹、故事等穿插设计在我们的教学过程中，从而达到耳濡目染，使学生的人格受到了最大程度的启发。
1.四种方式
結合我国数学教学课堂的特点，在西方学者研究的基础上，从实践层面提出了将数学史融入到数学课堂教学中，一般可以运用四种方式：附加式、复制式、顺应式和重构式。笔者从这四种方式入手，选取了有关历史上的一些问题进行教学过程的设计，然后将该教学设计实施到课堂，在这些精神的指导下，笔者尝试上了一些HPM公开课，尝试寻求如何将数学史与数学教学有效融合。
（1）附加式
附加式的主要特点是把数学史作为课堂教学的一个有益补充，讲述与数学史有关的历史故事。在初中数学课堂中加入这些有意义并且与教学内容相关的数学故事，不但能够激发学生学习数学的兴趣，而且可以使得数学教学更加具有人文色彩。
附加式是笔者在将数学史融入课堂的方式中最常使用的一种。例如笔者在《平方差公式》这节课中引用了数学家赵爽打柴之余钻研数学问题的故事；在《分数指数幂》这节课中讲述了分数指数幂的符号经历了三百余年的发展史；在《三角形内角和》这节课中再现古希腊数学家泰勒斯发现三角形内角和的过程等都运用了附加式这一方式。实践证明，附加式与“情感、态度、价值观”目标之间的关联是最为密切的。
（2）复制式
复制式的主要特点是在数学教学中直接呈现历史上的数学问题，其优点在于能够让学生直接与历史上的先哲们“对话”，体会原汁原味的数学史。
笔者在上《列方程》这节课的练习设计中选择了历史上的三道题用复制式的方式进行融入，其选题分别是：
题1：小强的爸爸和小强做数学游戏。爸爸让小强在心里随便选定一个数（但不要说出来），按如下步骤做计算：将这个数乘以5，再将所得乘积加上6，再将所得和乘以4，再将所得乘积加上9，最后，将所得的和乘以5。经过计算，小强得到465。小强爸爸立刻说出小强心里选定的那个数。你知道这个数是多少吗？在解决该题时，虽然题目很长很繁琐，但是学生表示很顺利就能根据题目中所给的信息列出方程 。
题2：空中飞过一群雁，迎面又飞来一只雁，说：“您好，你们有100只吗？”雁队队长说：“不，现有数加上现有数，再加上现有数的一半、再加上现有数的四分之一，连您算在内，才是100只。”问：雁群有几只雁？由于有了之前的引入环节的铺垫，学生在完成此题练习时十分顺利，并能一致列出方程 ，可见大部分学生已经习惯用方程来解决应用题了。
题3：今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫、雁俱起，问何日相逢？在完成练习3的教学中，首先学生遇到的是读题上的障碍，教师在请一位学生解释完题目的意思后学生开始列方程，学生表示这是他们熟悉的行程问题中的相遇问题，但是由于路程的未知又一次给他们带来了阻碍，在教师的提醒下知道当路程未知的情况下可以将其看作1来解决问题，最后终于列出方程 。 笔者以趣味性和可学性为前提从历史上一元一次方程进行选题，将以上三题用复制式的方式加入到练习巩固环节，以此达到培养学生用列方程来解决实际问题的能力，提升学生学习数学的兴趣，培养方程思想。数学史在这种方式的融入下真正做到了不生硬、不突兀，自然融入并且恰到好处。
（3）顺应式
顺应式的主要特点是根据课堂教学的需求对原始文献进行改编。数学史材料的功能是古为今用、推陈出新；这类材料从表面上看已经没有了历史的痕迹，但它们既传承了历史的精神，又顺应了时代的要求。
在运用数学史引入《列方程》这节课时，考虑到了趣味性和可学性原则，笔者选择了历史上有名的古希腊墓志铭上的“丢番图墓志铭”问题，采用了顺应式的方式将其改编：“如果取蒋老师年龄的一半，加上蒋老师年龄的三分之一，再加上蒋老师年龄的四分之一后再加1年，蒋老师就到了不惑之年。现在你能算出我的年龄了吗？”改编成老师的年龄问题更能激发学生学习这节课的兴趣，从而渗透方程思想，学生能以此来感受到相比较算术方法运用方程来解决问题的优越性。
练习题中也将一道《计算之书》之“三兽食羊”问题改编：“已知灰太狼4小时吃掉一只羊，红太狼5小时，小灰灰6小时。问：把一只羊扔给它们，几小时可吃完？”由于题目的背景学生十分喜欢，对题目意思的理解也十分容易，因此学生在分析出这是他们熟悉的合作问题后便愉快的列出方程 。此题的改编除了加深了题目的趣味性外，学生在应用题阅读上的障碍也随之消失了。
以上两处笔者成功运用了顺应式这一形式将数学史融入，历史上的材料在此古为今用、推陈出新，效果十分显著。
（4）重构式
重构式的特点是借鉴数学的发展历史，将核心的数学思想、方法用今天的方式表达出来，从而呈现出数学知识的自然发生过程。那么，数学教学中如何才能做到“自然”发生呢？首先，新知识的引入应建立在学生已有的生活经验和认知基础之上；其次，新知识的引入并非强加于学生，而要突出其重要性，从而激发学生的学习动机。借鉴历史、重构历史、再现知识的自然发生过程便是重构式的精髓。
在《平方差公式》一课中笔者尝试运用重构式设计了平方差公式的引入、推导和应用：首先以古希腊发生的欺骗性土地分配事件改编成庄园主与佃户的故事引入新课并产生问题，由此突出平方差公式的必要性；接着直接采用了公元3世纪中国古代数学家赵爽的“面积割补法”来证明平方差公式，再让学生设法用不同的拼接方式证明平方差公式；最后再将平方差公式得以应用。
1.效果与反馈
笔者的课堂里数学史的相关知识经常给大多数的学生留下了较深刻的印象。笔者认为数学史的融入在技能方面做到了对学生学习的帮助；在情感方面也给学生们带来了不少正能量。因此每次在HPM的公开课后笔者总会对学生进行问卷，以此来研究数学史的融入对教学设计的帮助和达到的效果如何。
例如，在《列方程》这节课后，笔者及时对全班45名学生进行了问卷调查。当被问及能否理解课堂上的应用题的题意时，37人表示完全同意，7人同意，只有1人表示没意见；在被问到课堂上的应用题是否有趣这个问题时，37人表示十分有趣，5人认为有趣，另外3人表示没意见。可见，该课在应用题的选题和数学史的融入上应该是成功的，绝大部分学生喜欢这种模式和类似这样有趣的数学题。
学生对该课印象最深刻的问题是三只狼吃羊问题以及老师的年龄问题，这充分说明了采用了顺应式这种形式将历史上的数学题改编是相当成功并且被学生所接受的。在问卷最后的选择一道最感兴趣的问题并将其改编成一道有意思的应用题中学生也发挥了他们的想象，并再一次将数学史的顺应延续下去，加深了对学习内容的印象，培养了学生的数学素养。
学生在问卷中还提及关于用列方程解应用题有以下优点：思路清晰，简单并且能够提高他们的做题速度，这也充分证明了该课教学目标落实的有效性；大多学生认为该课所选的应用题与平时有所不同，他们认为题目十分有趣，引起了他们学习的兴趣；他们认为题目有难度和一定的挑战性；他们认为这些都是比较实际的问题，十分贴近生活中的问题等。这又充分证明了该课所选取的历史问题能够充分提升他们的学习兴趣、拓展了大家的知识面、缓解了紧张的学习氛围、加深了对所学内容的印象以及给枯燥的数学知识注入了人文元素。
2.评价与改进
一份研究的实践与探索往往会伴随着一次次的成功与失败，失败并不可怕，只要不断吸取经验然后改进变成越做越好，因此每节HPM课的课后反思是必不可少的，当然如若有更多的专家和同行的指点则更是锦上添花。
例如，在《列方程》这节课的课后点评中，不少教师指出本节课以选取的五大类问题作为暗线十分成功，但在合作问题和行程问题两题安排的前后顺序上还有待商榷。此外，执教者如果能够在这五大类问题的背景讲述中加大篇幅可能效果会更好，更有助于学生了解和掌握数学史的发展，以及对历史上的数学问题将会产生更大的兴趣。
每节HPM课的缺点都会让笔者感到知识的不足，因此开发更完善精彩的HPM案例，还需要阅读更多的数学史书籍、积累更丰富的数学史素材，在教学设计环节，更要与研究者进行深入教学交流研讨。
3.展望与发展
数学史融入初中数学教学，笔者希望相关教育部门能够做到大力推广、教师数学史知识能够得到更多的培训、优秀教学案例与材料能被更多地开发出来、教材中应增加更多数学史的内容，以便学生更加了解数学中的历史。
笔者认为我们需要将数学史融入初中数学教学并且我們所追求的“融入”不能仅仅将数学史作为数学课堂的补充，或作为一个花瓶，而是要将中学数学教学与数学史有机结合，作为一种更高层次的发挥数学史价值的教学活动。这样的“融入”，无论是对于数学教育研究者、数学史学家，或是一线数学教师来说都还有很长的路要走。
[1]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育.科学出版社，2017：237-252
[2]皇甫华，汪晓勤.HPM视角下一元一次方程概念的教学设计.中学数学教学参考，2008（3）：55-57
[3]汪晓勤.历史上的一元一次方程（一）.中学数学教学参考，2007（11）
一、数学史融入初中数学课堂的意义
1.激发学生学习数学的兴趣
我国著名教育家陶行知曾说过：“兴趣是最好的老师。”兴趣是学生学习的内部驱动力，学生对所学内容的感兴趣程度将会直接影响到其学习效果，因此教师需要最大限度地激发学生的学习兴趣。而数学史中数学家的趣闻轶事、颇具趣味的数学名题、古今数学方法的比较等都是激发学生学习兴趣的有用材料。数学学科的历史知识对于数学课堂就好比是“使面包和黄油能够更加可口的蜂蜜”，它能帮助我们的初中数学课堂更具有吸引力、激发学生学习数学的兴趣、改变学生的数学观、以及培养数学的德育价值等。美国数学史家卡约黎在他的《数学史》前言中指出，数学史对于教师具有重要价值：“如果用历史回顾和历史轶事点缀枯燥的问题求解和几何证明，学生的学习兴趣就会大大增加。通过历史的解说，教师可以让学生明白：数学并不是一门枯燥呆板的学科，而是一门不断进步的生动有趣的学科。”
2.感受历史过程、掌握基本原理
笔者认为数学学科的历史便是数学这门学科的教学指南，卡约黎还说“学生所遭遇的困难往往是相关学科的创建者经过长期思索和探讨后所克服的实际困难”。的确，在我们的教学过程中，学生所遇到的问题、学生解决问题的方法以及学生对问题的理解等都有可能与历史相似。通过了解数学史，学生将会理解到数学史是通过人的劳动已经并仍在继续发展的方法与知识体系，而不是奇怪的、没道理的、随意的法则和定理的结合。
3.培养学生创新意识
培养学生学会像历史上数学家那样思维方式，也是数学史融入初中数学教学所要达到的目的之一。我们的课改将培养学生的创新意识作为一个重要目标，历史上数学家的思维方式能给我们最大的启示便是创新性，数学史中的许多猜想及定理的证明能让学生体验数学发现和创造的历史，是培养学生创新意识的有用材料。
4.培养学生德育价值，树立正确的情感态度价值观
数学史融入初中数学教学，有利于帮助学生培养正确的世界观、价值观和人生观。可以通过介绍中国古代的著作如《九章算术》等、介绍中国古代有名的数学家刘徽、祖冲之等的故事，可以使学生了解到中国人在世界数学发展过程中做出了巨大的贡献，培养学生民族自豪感。当然教师在教学过程中也可以介绍一些古代数学家刻苦专研、坚忍不拔等的优秀品质，将他们的事迹、故事等穿插设计在我们的教学过程中，从而达到耳濡目染，使学生的人格受到了最大程度的启发。
二、如何将数学史与数学课堂有效融合
1.四种方式
結合我国数学教学课堂的特点，在西方学者研究的基础上，从实践层面提出了将数学史融入到数学课堂教学中，一般可以运用四种方式：附加式、复制式、顺应式和重构式。笔者从这四种方式入手，选取了有关历史上的一些问题进行教学过程的设计，然后将该教学设计实施到课堂，在这些精神的指导下，笔者尝试上了一些HPM公开课，尝试寻求如何将数学史与数学教学有效融合。
（1）附加式
附加式的主要特点是把数学史作为课堂教学的一个有益补充，讲述与数学史有关的历史故事。在初中数学课堂中加入这些有意义并且与教学内容相关的数学故事，不但能够激发学生学习数学的兴趣，而且可以使得数学教学更加具有人文色彩。
附加式是笔者在将数学史融入课堂的方式中最常使用的一种。例如笔者在《平方差公式》这节课中引用了数学家赵爽打柴之余钻研数学问题的故事；在《分数指数幂》这节课中讲述了分数指数幂的符号经历了三百余年的发展史；在《三角形内角和》这节课中再现古希腊数学家泰勒斯发现三角形内角和的过程等都运用了附加式这一方式。实践证明，附加式与“情感、态度、价值观”目标之间的关联是最为密切的。
（2）复制式
复制式的主要特点是在数学教学中直接呈现历史上的数学问题，其优点在于能够让学生直接与历史上的先哲们“对话”，体会原汁原味的数学史。
笔者在上《列方程》这节课的练习设计中选择了历史上的三道题用复制式的方式进行融入，其选题分别是：
题1：小强的爸爸和小强做数学游戏。爸爸让小强在心里随便选定一个数（但不要说出来），按如下步骤做计算：将这个数乘以5，再将所得乘积加上6，再将所得和乘以4，再将所得乘积加上9，最后，将所得的和乘以5。经过计算，小强得到465。小强爸爸立刻说出小强心里选定的那个数。你知道这个数是多少吗？在解决该题时，虽然题目很长很繁琐，但是学生表示很顺利就能根据题目中所给的信息列出方程 。
题2：空中飞过一群雁，迎面又飞来一只雁，说：“您好，你们有100只吗？”雁队队长说：“不，现有数加上现有数，再加上现有数的一半、再加上现有数的四分之一，连您算在内，才是100只。”问：雁群有几只雁？由于有了之前的引入环节的铺垫，学生在完成此题练习时十分顺利，并能一致列出方程 ，可见大部分学生已经习惯用方程来解决应用题了。
题3：今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫、雁俱起，问何日相逢？在完成练习3的教学中，首先学生遇到的是读题上的障碍，教师在请一位学生解释完题目的意思后学生开始列方程，学生表示这是他们熟悉的行程问题中的相遇问题，但是由于路程的未知又一次给他们带来了阻碍，在教师的提醒下知道当路程未知的情况下可以将其看作1来解决问题，最后终于列出方程 。 笔者以趣味性和可学性为前提从历史上一元一次方程进行选题，将以上三题用复制式的方式加入到练习巩固环节，以此达到培养学生用列方程来解决实际问题的能力，提升学生学习数学的兴趣，培养方程思想。数学史在这种方式的融入下真正做到了不生硬、不突兀，自然融入并且恰到好处。
（3）顺应式
顺应式的主要特点是根据课堂教学的需求对原始文献进行改编。数学史材料的功能是古为今用、推陈出新；这类材料从表面上看已经没有了历史的痕迹，但它们既传承了历史的精神，又顺应了时代的要求。
在运用数学史引入《列方程》这节课时，考虑到了趣味性和可学性原则，笔者选择了历史上有名的古希腊墓志铭上的“丢番图墓志铭”问题，采用了顺应式的方式将其改编：“如果取蒋老师年龄的一半，加上蒋老师年龄的三分之一，再加上蒋老师年龄的四分之一后再加1年，蒋老师就到了不惑之年。现在你能算出我的年龄了吗？”改编成老师的年龄问题更能激发学生学习这节课的兴趣，从而渗透方程思想，学生能以此来感受到相比较算术方法运用方程来解决问题的优越性。
练习题中也将一道《计算之书》之“三兽食羊”问题改编：“已知灰太狼4小时吃掉一只羊，红太狼5小时，小灰灰6小时。问：把一只羊扔给它们，几小时可吃完？”由于题目的背景学生十分喜欢，对题目意思的理解也十分容易，因此学生在分析出这是他们熟悉的合作问题后便愉快的列出方程 。此题的改编除了加深了题目的趣味性外，学生在应用题阅读上的障碍也随之消失了。
以上两处笔者成功运用了顺应式这一形式将数学史融入，历史上的材料在此古为今用、推陈出新，效果十分显著。
（4）重构式
重构式的特点是借鉴数学的发展历史，将核心的数学思想、方法用今天的方式表达出来，从而呈现出数学知识的自然发生过程。那么，数学教学中如何才能做到“自然”发生呢？首先，新知识的引入应建立在学生已有的生活经验和认知基础之上；其次，新知识的引入并非强加于学生，而要突出其重要性，从而激发学生的学习动机。借鉴历史、重构历史、再现知识的自然发生过程便是重构式的精髓。
在《平方差公式》一课中笔者尝试运用重构式设计了平方差公式的引入、推导和应用：首先以古希腊发生的欺骗性土地分配事件改编成庄园主与佃户的故事引入新课并产生问题，由此突出平方差公式的必要性；接着直接采用了公元3世纪中国古代数学家赵爽的“面积割补法”来证明平方差公式，再让学生设法用不同的拼接方式证明平方差公式；最后再将平方差公式得以应用。
三、数学史融入数学课堂的效果与展望
1.效果与反馈
笔者的课堂里数学史的相关知识经常给大多数的学生留下了较深刻的印象。笔者认为数学史的融入在技能方面做到了对学生学习的帮助；在情感方面也给学生们带来了不少正能量。因此每次在HPM的公开课后笔者总会对学生进行问卷，以此来研究数学史的融入对教学设计的帮助和达到的效果如何。
例如，在《列方程》这节课后，笔者及时对全班45名学生进行了问卷调查。当被问及能否理解课堂上的应用题的题意时，37人表示完全同意，7人同意，只有1人表示没意见；在被问到课堂上的应用题是否有趣这个问题时，37人表示十分有趣，5人认为有趣，另外3人表示没意见。可见，该课在应用题的选题和数学史的融入上应该是成功的，绝大部分学生喜欢这种模式和类似这样有趣的数学题。
学生对该课印象最深刻的问题是三只狼吃羊问题以及老师的年龄问题，这充分说明了采用了顺应式这种形式将历史上的数学题改编是相当成功并且被学生所接受的。在问卷最后的选择一道最感兴趣的问题并将其改编成一道有意思的应用题中学生也发挥了他们的想象，并再一次将数学史的顺应延续下去，加深了对学习内容的印象，培养了学生的数学素养。
学生在问卷中还提及关于用列方程解应用题有以下优点：思路清晰，简单并且能够提高他们的做题速度，这也充分证明了该课教学目标落实的有效性；大多学生认为该课所选的应用题与平时有所不同，他们认为题目十分有趣，引起了他们学习的兴趣；他们认为题目有难度和一定的挑战性；他们认为这些都是比较实际的问题，十分贴近生活中的问题等。这又充分证明了该课所选取的历史问题能够充分提升他们的学习兴趣、拓展了大家的知识面、缓解了紧张的学习氛围、加深了对所学内容的印象以及给枯燥的数学知识注入了人文元素。
2.评价与改进
一份研究的实践与探索往往会伴随着一次次的成功与失败，失败并不可怕，只要不断吸取经验然后改进变成越做越好，因此每节HPM课的课后反思是必不可少的，当然如若有更多的专家和同行的指点则更是锦上添花。
例如，在《列方程》这节课的课后点评中，不少教师指出本节课以选取的五大类问题作为暗线十分成功，但在合作问题和行程问题两题安排的前后顺序上还有待商榷。此外，执教者如果能够在这五大类问题的背景讲述中加大篇幅可能效果会更好，更有助于学生了解和掌握数学史的发展，以及对历史上的数学问题将会产生更大的兴趣。
每节HPM课的缺点都会让笔者感到知识的不足，因此开发更完善精彩的HPM案例，还需要阅读更多的数学史书籍、积累更丰富的数学史素材，在教学设计环节，更要与研究者进行深入教学交流研讨。
3.展望与发展
数学史融入初中数学教学，笔者希望相关教育部门能够做到大力推广、教师数学史知识能够得到更多的培训、优秀教学案例与材料能被更多地开发出来、教材中应增加更多数学史的内容，以便学生更加了解数学中的历史。
笔者认为我们需要将数学史融入初中数学教学并且我們所追求的“融入”不能仅仅将数学史作为数学课堂的补充，或作为一个花瓶，而是要将中学数学教学与数学史有机结合，作为一种更高层次的发挥数学史价值的教学活动。这样的“融入”，无论是对于数学教育研究者、数学史学家，或是一线数学教师来说都还有很长的路要走。
参考文献：
[1]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育.科学出版社，2017：237-252
[2]皇甫华，汪晓勤.HPM视角下一元一次方程概念的教学设计.中学数学教学参考，2008（3）：55-57
[3]汪晓勤.历史上的一元一次方程（一）.中学数学教学参考，2007（11）