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高中数学中有许多题目,求解的思路不难,但解题时,对某些特殊情形的讨论,却很容易被忽略.也就是在转化过程中,没有注意转化的等价性,会经常出现错误.本文通过以下例子,剖析致错原因,希望能对同学们的学习有所帮助.加强思维的严密性训练.
例1 (1)设等比数列
{an}的前n项和为Sn.若
S3+S6=2S9,求数列的公比q.
错解:因为S3+S6=
2S9,所以a1(1-q3)1-q
+a1(1-q6)1-q
=2·a1(1-q9)
1-q,
整理得 q3(2q6-q3-1)=0.
由q≠0得方程2q6-q3-1=0.所以(2q3+1)(q3-1)=0,所以q=-
342或q=1.
错误分析:在错解中,由
a1(1-q3)1-q+
a1(1-q6)1-q
=2·a1(1-q9)1-q.
整理得q3(2q6-q3-1)=0时,应有a1≠0和q≠1.
在等比数列中,a1≠0是显然的,但公比q完全可能为1,因此,在解题时应先讨论公比q=1的情况,再在q≠1的情况下,对式子进行整理变形.
正解:若q=1,则有S3=2a1,S6=6a1,S9=9a1.但
a1≠0,即得S3+S6≠2S9与题设矛盾,故q≠1.
又依题意S3+S6=2S9
a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q=
2·a1(1-q9)
1-q
q3(2q6-q3-1)=0,即
(2q3+1)(q3-1)=0,因为
q≠1,所以
q3-1≠0,所以2q3+1=0.解得
q=-342.
例2 求y=2sin2x+
8cos2x的最小值.
错解1:
y=2sin2x
+8cos2x≥2
·2sin2x·
8cos2x
=8|sinxcosx|
=16|sin2x|≥16,所以ymin
=16.
错解2 :
y=(2
sin2x
+sin2x)+(8
cos2x
+cos2x)-1≥22
+28-1=-1+62.
错误分析:在解法1中,y=16的充要条件是
2sin2x
=8cos2x且|sin2x|=1.
即|tanx|=12且|sinx|=1.这是自相矛盾的.
所以ymin≠16.
在解法2中,
y=-1+62的充要条件是
2sin2x=sin2x且8
cos2x=cos2x,即sin2x=2,
cos2x=22,
这是不可能的.
正解1: y=
2csc2x+8sec2x
=2(1+cot2x)+8(1+tan2x)
=10+2(cot2x+4tan2x)
≥10+2·2cot2x·4tan2x=18.
其中,当cot2x=4tan2x,即cot2x=2时,y=18.所以ymin=18.
正解2: 取正常数k,易得
y=(2sin2x+ksin2x)+
(8cos2x
+kcos2x)-k≥2·2k+2·
8k-k=6·2k-k.
其中“≥”取“=”的充要条件是
2sin2x=ksin2x且8
cos2x=kcos2x,即tan2x=
12且k=18.
因此,当 tan2x=12时,y=6·2k
-k=18.所以ymin=18.
数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式,它是数学求解的核心.以已知的真实数学命题,即定义、公理、定理、性质等为依据,选择恰当的解题方法,达到解题目标,得出结论的一系列推理过程.在推理过程中,必须注意所使用的命题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等),做到思考缜密、推理严密.
例1 (1)设等比数列
{an}的前n项和为Sn.若
S3+S6=2S9,求数列的公比q.
错解:因为S3+S6=
2S9,所以a1(1-q3)1-q
+a1(1-q6)1-q
=2·a1(1-q9)
1-q,
整理得 q3(2q6-q3-1)=0.
由q≠0得方程2q6-q3-1=0.所以(2q3+1)(q3-1)=0,所以q=-
342或q=1.
错误分析:在错解中,由
a1(1-q3)1-q+
a1(1-q6)1-q
=2·a1(1-q9)1-q.
整理得q3(2q6-q3-1)=0时,应有a1≠0和q≠1.
在等比数列中,a1≠0是显然的,但公比q完全可能为1,因此,在解题时应先讨论公比q=1的情况,再在q≠1的情况下,对式子进行整理变形.
正解:若q=1,则有S3=2a1,S6=6a1,S9=9a1.但
a1≠0,即得S3+S6≠2S9与题设矛盾,故q≠1.
又依题意S3+S6=2S9
a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q=
2·a1(1-q9)
1-q
q3(2q6-q3-1)=0,即
(2q3+1)(q3-1)=0,因为
q≠1,所以
q3-1≠0,所以2q3+1=0.解得
q=-342.
例2 求y=2sin2x+
8cos2x的最小值.
错解1:
y=2sin2x
+8cos2x≥2
·2sin2x·
8cos2x
=8|sinxcosx|
=16|sin2x|≥16,所以ymin
=16.
错解2 :
y=(2
sin2x
+sin2x)+(8
cos2x
+cos2x)-1≥22
+28-1=-1+62.
错误分析:在解法1中,y=16的充要条件是
2sin2x
=8cos2x且|sin2x|=1.
即|tanx|=12且|sinx|=1.这是自相矛盾的.
所以ymin≠16.
在解法2中,
y=-1+62的充要条件是
2sin2x=sin2x且8
cos2x=cos2x,即sin2x=2,
cos2x=22,
这是不可能的.
正解1: y=
2csc2x+8sec2x
=2(1+cot2x)+8(1+tan2x)
=10+2(cot2x+4tan2x)
≥10+2·2cot2x·4tan2x=18.
其中,当cot2x=4tan2x,即cot2x=2时,y=18.所以ymin=18.
正解2: 取正常数k,易得
y=(2sin2x+ksin2x)+
(8cos2x
+kcos2x)-k≥2·2k+2·
8k-k=6·2k-k.
其中“≥”取“=”的充要条件是
2sin2x=ksin2x且8
cos2x=kcos2x,即tan2x=
12且k=18.
因此,当 tan2x=12时,y=6·2k
-k=18.所以ymin=18.
数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式,它是数学求解的核心.以已知的真实数学命题,即定义、公理、定理、性质等为依据,选择恰当的解题方法,达到解题目标,得出结论的一系列推理过程.在推理过程中,必须注意所使用的命题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等),做到思考缜密、推理严密.