高中数学几大易错典型题的解析

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  高中数学中有许多题目,求解的思路不难,但解题时,对某些特殊情形的讨论,却很容易被忽略.也就是在转化过程中,没有注意转化的等价性,会经常出现错误.本文通过以下例子,剖析致错原因,希望能对同学们的学习有所帮助.加强思维的严密性训练.
  例1 (1)设等比数列
  {an}的前n项和为Sn.若
  S3+S6=2S9,求数列的公比q.
  错解:因为S3+S6=
  2S9,所以a1(1-q3)1-q
  +a1(1-q6)1-q
  =2·a1(1-q9)
  1-q,
  整理得 q3(2q6-q3-1)=0.
  由q≠0得方程2q6-q3-1=0.所以(2q3+1)(q3-1)=0,所以q=-
  342或q=1.
  错误分析:在错解中,由
  a1(1-q3)1-q+
  a1(1-q6)1-q
  =2·a1(1-q9)1-q.
  整理得q3(2q6-q3-1)=0时,应有a1≠0和q≠1.
  在等比数列中,a1≠0是显然的,但公比q完全可能为1,因此,在解题时应先讨论公比q=1的情况,再在q≠1的情况下,对式子进行整理变形.
  正解:若q=1,则有S3=2a1,S6=6a1,S9=9a1.但
  a1≠0,即得S3+S6≠2S9与题设矛盾,故q≠1.
  又依题意S3+S6=2S9
  a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q=
  2·a1(1-q9)
  1-q
  q3(2q6-q3-1)=0,即
  (2q3+1)(q3-1)=0,因为
  q≠1,所以
  q3-1≠0,所以2q3+1=0.解得
  q=-342.
  例2 求y=2sin2x+
  8cos2x的最小值.
  错解1:
  y=2sin2x
  +8cos2x≥2
  ·2sin2x·
  8cos2x
  =8|sinxcosx|
  =16|sin2x|≥16,所以ymin
  =16.
  错解2 :
  y=(2
  sin2x
  +sin2x)+(8
  cos2x
  +cos2x)-1≥22
  +28-1=-1+62.
  错误分析:在解法1中,y=16的充要条件是
  2sin2x
  =8cos2x且|sin2x|=1.
  即|tanx|=12且|sinx|=1.这是自相矛盾的.
  所以ymin≠16.
  在解法2中,
  y=-1+62的充要条件是
  2sin2x=sin2x且8
  cos2x=cos2x,即sin2x=2,
  cos2x=22,
  这是不可能的.
  正解1: y=
  2csc2x+8sec2x
  =2(1+cot2x)+8(1+tan2x)
  =10+2(cot2x+4tan2x)
  ≥10+2·2cot2x·4tan2x=18.
  其中,当cot2x=4tan2x,即cot2x=2时,y=18.所以ymin=18.
  正解2: 取正常数k,易得
  y=(2sin2x+ksin2x)+
  (8cos2x
  +kcos2x)-k≥2·2k+2·
  8k-k=6·2k-k.
  其中“≥”取“=”的充要条件是
  2sin2x=ksin2x且8
  cos2x=kcos2x,即tan2x=
  12且k=18.
  因此,当 tan2x=12时,y=6·2k
  -k=18.所以ymin=18.
  数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式,它是数学求解的核心.以已知的真实数学命题,即定义、公理、定理、性质等为依据,选择恰当的解题方法,达到解题目标,得出结论的一系列推理过程.在推理过程中,必须注意所使用的命题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等),做到思考缜密、推理严密.
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