论文部分内容阅读
不等式含参数恒成立问题是一类常见问题，在高中的各类考试中经常出现，由于这类问题考查的知识面广，涉及到不等式、导数、函数等章节的多个知识点，而且对数学基本思想（划归思想、分类讨论思想、方程思想、分离变量思想）的应用提出了很高的要求，很多同学对此类问题无从下手。事实上，这类问题也是有一定规律的，本文就列举了几种基本的解题思路。
一、恒成立不等式中一边为常数（或可以化为常数）的形式
例1.已知函数ｆ（ｘ）＝■ｘ２－ｌｎｘ＋ａ（ａ为常数），若对任意ｘ∈（０，＋∞）均有ｆ（ｘ）＞１成立，求实数ａ的取值范围。
分析：本题的不等式结构形式并不复杂，只要ｆ（ｘ）＞１恒成立即可，左边是含参数ａ的函数，右边是一个常数1，只要求出ｆ（ｘ）的最小值大于1即可。
解：要使ｆ（ｘ）＞１恒成立
只要使[ｆ（ｘ）＞１]min＞１①
下面只要求出ｆ（ｘ）的最小值即可。
ｆ'（ｘ）=x-■，令ｆ'（ｘ）=0
即x-■=0，解出x=1，x=-1，（舍）
当0＜x＜1时，ｆ'（ｘ）＜0，ｆ（ｘ）单调递减；
当x＞1时，ｆ'（ｘ）＞0，ｆ（ｘ）单调递增。
因此，ｆ（ｘ）在x=1处有最小值。
[ｆ（ｘ）＞１]min=ｆ（１）＝■＋ａ②
把②式代入①式，得：■＋ａ＞1，ａ＞■即
解后反思：若不等式一边出现常数或通过恒等变形使不等式一边出现常数，则可将恒成立问题转化为函数最值问题来求解，可运用以下结论：
ｆ（ｘ）＜ｍ←→■
ｆ（ｘ）＞ｍ←→■
ｆ（ｘ）≤ｍ←→■
ｆ（ｘ）≥ｍ←→■
二、恒成立不等式一边是含参数的函数，一边是另一个不含参数函数的形式
例2.已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ＞■，ｇ（ｘ）＝ｘ＋ｌｎｘ，其中ａ≥１。若对任意的ｘ１，ｘ２∈[1，e]（为自然对数的底数）都有ｆ（ｘ1）≥ｇ（ｘ2）成立，求实数a的取值范围。
分析：本题的不等式结构形式比第一题的形式稍复杂，一边是含参数的函数，一边是另一个函数，本题也可以转化为第一种形式，因为ｘ１，ｘ２， 在同一个区间里，要使ｘ１，ｘ２∈[1，e]ｆ（ｘ1）≥ｇ（ｘ2）恒成立，可以等价于[ｆ（ｘ）-ｇ（ｘ）]min＞0，ｘ∈[1，e]，这样不等式右边就是常数0了，可以用第一种方法解出。但ｘ１，ｘ２， 如果不在同一个区间里，就不能这种方法了，我们可以把不等式划归为
[ｆ（ｘ）]min＞[g（ｘ）]min，分别求出ｆ（ｘ）最小值和g（ｘ）的最大值即可。
解：要使当ｘ１，ｘ２∈[1，e] ｆ（ｘ1）≥ｇ（ｘ2）恒成立
只要使当ｘ１，ｘ２∈[1，e]都有[ｆ（ｘ）]min＞[g（ｘ）]min①
下面只要求出ｆ（ｘ1）的最小值和ｇ（ｘ2）的最大值即可。
当ｘ∈[1，e]时g'（ｘ）=1+■＞0，所以函数ｇ（ｘ）在[1，e]上是增函数。
所以[g（ｘ）]min =ｇ（e）=e+1 ②
又由ｆ'（ｘ）=1-■=■，且ｘ∈[1，e]，a≥1
（1）当1≤a≤e时，若1≤x≤a，则ｆ'（ｘ）=■＜0
若ａ≤ｘ≤ｅ，则ｆ'（ｘ）=■＞0
所以函数ｆ（ｘ）在（１，ａ）上是减函数，在（ａ，ｅ）上是增函数。
所以[ｆ（ｘ）]min＝ｆ（ａ）＝２ａ③
把②、③式代入①式，得：２ａ≥ｅ＋１→ａ≥■
又因为１≤ａ≤ｅ，所以■≤ａ≤ｅ
（2）当ａ＞ｅ且ｘ∈[1，e]时，ｆ'（ｘ）=■＜0，
所以函数ｆ（ｘ）在[1，e]上是减函数。
所以[ｆ（ｘ）]min＝ｆ（ｅ）＝ｅ+■ ④
把②、④式代入①式，得：ｅ+■≥ｅ＋１→ａ≥■
又因为ａ＜ｅ，所以ａ＞ｅ。
综上所述，a的取值范围为（■，∞）
解后反思：若不等式一边为含参数的函数，另一边是不含参数的函数，则可将恒成立问题转化为两函数各自求最值来求解，可运用以下結论：
ｆ（ｍ）＞ｇ（ｎ）恒成立←→[ｆ（ｘ）]min＞[g（ｘ）]min
ｆ（ｍ）＜ｇ（ｎ）恒成立←→[ｆ（ｘ）]min＜[g（ｘ）]min
三、恒成立不等式两边都是含参数的函数的形式
例3.设函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋２，ｇ（ｘ）＝ａ２ｘ２（ｘ＞０），其中ａ∈Ｒ，ｘ＞０。是否存在负数ａ，使ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ）对一切正数ｘ都成立？若存在，求出ａ的取值范围；若不存在，请说明理由。
分析：不等式两边都是含参数的函数，就不能用第二种方法了，这个时候就要借用辅助函数的形式把它化为第一种的形式去解，本题可以设ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝ａｘ＋ｌｎｘ－ａ２ｘ２（ｘ＞０），这样只要[ｈ（ｘ）]min≤０即可，这样不等式右边为常数０，可以用第一种方法求解了。
解：设函数ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝ａｘ＋ｌｎｘ－ａ２ｘ２（ｘ＞０）
假设存在负数ａ，使得ｆ（ｘ）＜g（ｘ）对一切正数ｘ都成立。
即当ｘ＞０时[ｈ（ｘ）]min≤０，
ｈ＇（ｘ）＝ａ＋■－２ａ２ｘ＝■（ｘ＞０）
令ｈ＇（ｘ）＝０可得ｘ１－■，ｘ２＝■（舍）
当０＜ｘ＜－■时，ｈ＇（ｘ）＞０，ｈ（ｘ）单调递增；
当ｘ＞－■时，ｈ＇（ｘ）＜０，ｈ（ｘ）单调递减。
所以ｈ（ｘ）在ｘ＝－■处有极大值，也是最大值。
∴[ｈ（ｘ）]min＝ｈ（－■）≤０，解得：ａ≤－■ｅ■
所以负数ａ存在，它的取值范围为：ａ≤－■ｅ■。
解后反思：本题不能第二种方法，只能用构造辅助函数的形式把不等式转化为第一种方法的形式，辅助函数主要用作差法构造或分离变量后再构造。
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
一、恒成立不等式中一边为常数（或可以化为常数）的形式
例1.已知函数ｆ（ｘ）＝■ｘ２－ｌｎｘ＋ａ（ａ为常数），若对任意ｘ∈（０，＋∞）均有ｆ（ｘ）＞１成立，求实数ａ的取值范围。
分析：本题的不等式结构形式并不复杂，只要ｆ（ｘ）＞１恒成立即可，左边是含参数ａ的函数，右边是一个常数1，只要求出ｆ（ｘ）的最小值大于1即可。
解：要使ｆ（ｘ）＞１恒成立
只要使[ｆ（ｘ）＞１]min＞１①
下面只要求出ｆ（ｘ）的最小值即可。
ｆ'（ｘ）=x-■，令ｆ'（ｘ）=0
即x-■=0，解出x=1，x=-1，（舍）
当0＜x＜1时，ｆ'（ｘ）＜0，ｆ（ｘ）单调递减；
当x＞1时，ｆ'（ｘ）＞0，ｆ（ｘ）单调递增。
因此，ｆ（ｘ）在x=1处有最小值。
[ｆ（ｘ）＞１]min=ｆ（１）＝■＋ａ②
把②式代入①式，得：■＋ａ＞1，ａ＞■即
解后反思：若不等式一边出现常数或通过恒等变形使不等式一边出现常数，则可将恒成立问题转化为函数最值问题来求解，可运用以下结论：
ｆ（ｘ）＜ｍ←→■
ｆ（ｘ）＞ｍ←→■
ｆ（ｘ）≤ｍ←→■
ｆ（ｘ）≥ｍ←→■
二、恒成立不等式一边是含参数的函数，一边是另一个不含参数函数的形式
例2.已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ＞■，ｇ（ｘ）＝ｘ＋ｌｎｘ，其中ａ≥１。若对任意的ｘ１，ｘ２∈[1，e]（为自然对数的底数）都有ｆ（ｘ1）≥ｇ（ｘ2）成立，求实数a的取值范围。
分析：本题的不等式结构形式比第一题的形式稍复杂，一边是含参数的函数，一边是另一个函数，本题也可以转化为第一种形式，因为ｘ１，ｘ２， 在同一个区间里，要使ｘ１，ｘ２∈[1，e]ｆ（ｘ1）≥ｇ（ｘ2）恒成立，可以等价于[ｆ（ｘ）-ｇ（ｘ）]min＞0，ｘ∈[1，e]，这样不等式右边就是常数0了，可以用第一种方法解出。但ｘ１，ｘ２， 如果不在同一个区间里，就不能这种方法了，我们可以把不等式划归为
[ｆ（ｘ）]min＞[g（ｘ）]min，分别求出ｆ（ｘ）最小值和g（ｘ）的最大值即可。
解：要使当ｘ１，ｘ２∈[1，e] ｆ（ｘ1）≥ｇ（ｘ2）恒成立
只要使当ｘ１，ｘ２∈[1，e]都有[ｆ（ｘ）]min＞[g（ｘ）]min①
下面只要求出ｆ（ｘ1）的最小值和ｇ（ｘ2）的最大值即可。
当ｘ∈[1，e]时g'（ｘ）=1+■＞0，所以函数ｇ（ｘ）在[1，e]上是增函数。
所以[g（ｘ）]min =ｇ（e）=e+1 ②
又由ｆ'（ｘ）=1-■=■，且ｘ∈[1，e]，a≥1
（1）当1≤a≤e时，若1≤x≤a，则ｆ'（ｘ）=■＜0
若ａ≤ｘ≤ｅ，则ｆ'（ｘ）=■＞0
所以函数ｆ（ｘ）在（１，ａ）上是减函数，在（ａ，ｅ）上是增函数。
所以[ｆ（ｘ）]min＝ｆ（ａ）＝２ａ③
把②、③式代入①式，得：２ａ≥ｅ＋１→ａ≥■
又因为１≤ａ≤ｅ，所以■≤ａ≤ｅ
（2）当ａ＞ｅ且ｘ∈[1，e]时，ｆ'（ｘ）=■＜0，
所以函数ｆ（ｘ）在[1，e]上是减函数。
所以[ｆ（ｘ）]min＝ｆ（ｅ）＝ｅ+■ ④
把②、④式代入①式，得：ｅ+■≥ｅ＋１→ａ≥■
又因为ａ＜ｅ，所以ａ＞ｅ。
综上所述，a的取值范围为（■，∞）
解后反思：若不等式一边为含参数的函数，另一边是不含参数的函数，则可将恒成立问题转化为两函数各自求最值来求解，可运用以下結论：
ｆ（ｍ）＞ｇ（ｎ）恒成立←→[ｆ（ｘ）]min＞[g（ｘ）]min
ｆ（ｍ）＜ｇ（ｎ）恒成立←→[ｆ（ｘ）]min＜[g（ｘ）]min
三、恒成立不等式两边都是含参数的函数的形式
例3.设函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋２，ｇ（ｘ）＝ａ２ｘ２（ｘ＞０），其中ａ∈Ｒ，ｘ＞０。是否存在负数ａ，使ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ）对一切正数ｘ都成立？若存在，求出ａ的取值范围；若不存在，请说明理由。
分析：不等式两边都是含参数的函数，就不能用第二种方法了，这个时候就要借用辅助函数的形式把它化为第一种的形式去解，本题可以设ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝ａｘ＋ｌｎｘ－ａ２ｘ２（ｘ＞０），这样只要[ｈ（ｘ）]min≤０即可，这样不等式右边为常数０，可以用第一种方法求解了。
解：设函数ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝ａｘ＋ｌｎｘ－ａ２ｘ２（ｘ＞０）
假设存在负数ａ，使得ｆ（ｘ）＜g（ｘ）对一切正数ｘ都成立。
即当ｘ＞０时[ｈ（ｘ）]min≤０，
ｈ＇（ｘ）＝ａ＋■－２ａ２ｘ＝■（ｘ＞０）
令ｈ＇（ｘ）＝０可得ｘ１－■，ｘ２＝■（舍）
当０＜ｘ＜－■时，ｈ＇（ｘ）＞０，ｈ（ｘ）单调递增；
当ｘ＞－■时，ｈ＇（ｘ）＜０，ｈ（ｘ）单调递减。
所以ｈ（ｘ）在ｘ＝－■处有极大值，也是最大值。
∴[ｈ（ｘ）]min＝ｈ（－■）≤０，解得：ａ≤－■ｅ■
所以负数ａ存在，它的取值范围为：ａ≤－■ｅ■。
解后反思：本题不能第二种方法，只能用构造辅助函数的形式把不等式转化为第一种方法的形式，辅助函数主要用作差法构造或分离变量后再构造。
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”