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《数学课程标准》明确提出：“除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程”。目前，高校开展的多样化的数学实验为我们中学的数学实验教学提供了良好的契机，学生在数学实验中重新经历数学知识的发生与发展过程，从而能更深入地理解和掌握数学知识。
随着基础教育课程改革的不断深入，学生由单一听课模式向多元化的具有个性的学习模式转变，这一点已在教育界达成共识。教材由于受篇幅的限制，更多呈现的是一个个的数学结论，而对于结论的探究，我们应针对学生的实际情况，适当提供给学生探讨的机会，让学生去主动获得知识。建构主义认为：“学生需要对每一个数学概念构造自己的理解”。数学实验就是一个很好的建构模式。
数学实验可以让学生经历一个发现数学的过程，体验知识的发生和发展，感受基本数学思想，获得基本数学活动经验，在情感上获得满足，促进数学的兴趣培养和自信心的提高。面对新的教学内容和教学要求，如何发挥实验教学的功能，笔者做了一点思考，下面结合在新教材中开展数学实验教学的实践经验，就如何更好地开展数学实验教学谈一些具体的做法。
一、借助数学实验，突破概念难点
列夫托尔斯泰曾说：“知识只有当它靠积极的思维得来，而不是凭记忆得来的时候，才是真正的知识。”如何帮助学生加深对概念的理解，往往是教学的难点，采用实验教学是突破教学难点的重要途径。数学实验让学生经历观察、实验、猜测、推理、交流与反思等过程，在增加感性认识的基础上，帮助学生理解抽象的数学概念。
案例1：无理数的概念教学
实验准备：课前准备一把剪刀、两张同样大小的正方形纸片（边长视为1）、计算器。
问题设计：
（1）你能利用剪刀将这两张小正方形纸片剪开，重新拼成一个大正方形吗？
（2）这个大正方形的面积是多少？
（3）这个大正方形的边长是多少？（因为已经学习了算术平方根的概念，学生马上就说出正方形的边长是 ）
（4）估计 的值在哪两个整数之间？
（5）你能在数轴上找到一个点与原点的距离是 吗？
实验说明：考虑到无理数是无限不循环小数，如何将这个抽象的概念转化为易于理解的具象是一个教学难点。在以上问题的探究和解决过程中，学生真实体会到了面积2的正方形的边长不能用有理数来表示，但它确实存在，也是一个具有明确长度的线段，也能用数轴上的点表示，进而直观地将数系从有理数范围扩展到实数范围。
（6） 能用分数表示吗？我们能否找到一个有限的小数，使得它的平方刚好等于 呢？
教师结合计算机介绍平方法求 的近似值： 介于1和2之间，因此等于1加上一个纯小数，不妨设这个纯小数为a，则 =1+a，利用平方法逐步将a精确。
两边平方，得2=1+2a+a2，因为a是一个纯小数，a2小于1+2a，因此 精确到小数点后面第一位的近似值是1.4；要求精确到小数点后面第二位的近似值，再设 =1.4+b，再用平方法得：2=1.96+2.8b+b2；因为b是一个纯小数，b2远远小于1.96+2.8b，不妨忽略不计，得2=1.96+2.8b，则b=0.01，所以 精确到小数点后面第二位的近似值是1.41，依此，教师借助计算机编写程序，将运算过程呈现给学生。学生直观感受到 =1.4142……是一个无限不循环小数。在动手操作实验和展示结果的过程中，学生增强了感性认识，加深了对概念的理解。采用数学实验教学，既有学生的动手实践，依托计算机又避免了繁杂运算带来的低效，在短时间内让学生直观感受无限不循环小数，充分发挥了信息技术与学科教学整合的优势。
二、借助数学实验，发现知识规律
在教学中，有时会出现需要多次重复的动手操作，才能获得一定的结论的情况。有限的教学时间是难以满足的，但是没有足够量的实践，有时又难以说明问题。这时候计算机多媒体技术就派上了用场。但是必须注意的是，实验教学有两个形式：一是学生实验。二是演示实验。在教学过程中前者是不可忽视的。不能为了加快教学进度，就取消学生实验的环节，而是应该在学生实验的基础上，展开演示实验，提高效率。如此，才能既让学生亲身经历，又提高教学效率。如果直接采用计算机演示实验，则无异于将结论直接灌输给学生，只不过灌输者不是教师，而是具有强大计算功能的计算机。如，要获得抛硬币出现正反面的概率，需要进行大量的重复实验，既费时，又枯燥，如果采用现成的结论，学生只能是被动接受。用计算机模拟，既节省时间，又能进行多次实验、对比、分析，学生对结论的正确性更能接受。数学规律的发现，需要大量感性材料的积累，然后进行理性的分析、推理、判断，这样的过程可以通过数学实验教学来实现。
案例2：抛硬币实验
实验目标：让学生体验事件发生的随机现象和等可能性。
实验要求：学生每人准备一枚硬币，教师准备抛硬币实验的教学插件。
实验设计：
（1）同桌两人合作，分别由一人抛掷十次硬币，另一人记录出现正反面的次数。
（2）组长合计小组数据，做全班汇报：（鉴于全班汇总后数据仍偏少，出现正反面的可能性与理论值 偏差较大，无法反映出现正反面的可能性，故展示计算机模拟实验）
（3）教师展示抛硬币教学插件，说明插件的工作原理是应用计算机伪随机数来模拟抛硬币，随机输入5000、6000等大数据，根据结果再次统计。
实验说明：先要求学生亲自动手抛掷硬币，并记录正反面的次数，借此培养学生的合作意识和实验意识，感受实验数据的获得过程。之后采用抛硬币教学插件进行实验模拟，既节约了时间，又能多次大数量的抛掷实验并进行对比，学生对实验结果更为信服。学生从随机现象中发现规律，体会事件发生的可能性，这种学生实践与教师演示性实验相结合的方式，由教师设计，学生参与，师生合作，教师把握了实验进程，主导了教学工程，有效提高了课堂实效。学生观察实验现象，进一步发现和归纳总结，充分体现了课堂主体地位。 三、借助数学实验，验证数学猜想
验证数学猜想是数学探究过程必须经历的一个阶段，学生在观察的基础上获得猜想，可以借助数学实验验证猜想是否正确。如函数性质是初中数学的核心知识，也是高中学习的重要基础。然而学生对函数概念的理解存在很大困难，对函数性质难以理解到位。在此借助几何画板的作图功能，设计实验，引导学生进行猜想，探究函数性质。
案例3：探究函数性质
实验目标：探究一次函数的性质
实验准备：在电脑室安装几何画板软件，学生在坐标纸上画出一次函数y=2x+1、y=2x-1和y=x-1的图像。
实验设计：
（1）观察坐标纸上的三条直线，它们之间有何关系？
（2）猜测它们之间的关系与哪些元素有关？（直线的平行与k值相等有关，直线相关于y轴上的同一点与b值相等有关）
（3）教师演示如何在几何画板上画出函数图像。
（4）学生依据猜想，先保持k值不变，改变b的取值，自主在几何画板上画出10条以上一次函数的图像
（5）学生依据猜想，保持b值不变，改变k的取值，自主在几何画板上画出10条以上一次函数的图像
（6）观察所得图像，判断与原有猜想是否一致
（7）归纳结论，论证结论
实验说明：一次函数的性质在实际解决问题中有着广泛的应用，有必要让学生理解掌握透彻。华盛顿儿童博物馆有句名言：“我听见了，就忘记了；我看见了，就领会了；我做过了，就理解了”。学生在操作作图的过程中，验证了原来的猜想；在归纳实验结论的过程中，理解了函数的性质。由于是亲身经历获得的知识，记忆更为深刻，运用起来就更得心应手了。学生克服了“机械式”的死记硬背，其主观能动性得到更好的调动。
四、借助数学实验，培养探究能力
“问题解决”是一种创造性的活动，即如何综合地、创造性地应用所学知识和方法去解决非常规的问题。传统的问题解决教学其主要方式有：简单模仿、反复训练和自发领悟。上述教学方式造成的结果是使悟性较好的学生成了解题高手，但只会做而说不出理由，悟性较差的学生定理背得滚瓜烂熟，可拿到题目不知从何入手。其原因在于这种教学方式过于关注问题的结果，而忽视了探索问题解决过程中对学生发现问题、探索问题能力的培养，忽视策略性知识的运用与渗透。所以，在问题解决过程中通过设计合理的数学实验活动，为学生搭建合理的“脚手架”，给学生自主探究的空间，让学生自主地通过动手操作、观察猜想、归纳推理、交流验证、变式拓展等途径探索解决问题的方法，同时促进学生自主探究能力的发展。
案例4：教学内容：人教版数学七年级第七章第7.3.2节“多边形的内角和”
由于学生以前已学过“三角形的内角和等于180°”“三角形中每一对相邻的内、外角互补”等知识，学生对图形的分割与组合，填表归纳比较感兴趣，所以通过有机整合教材，可以创设情境，展示问题。
问题1：过n边形的一个顶点有多少条对角线？把这n边形分成了多少个三角形？引导全体同学通过过n边形的一个顶点引对角线，把多边形转化为三角形，并根据图所示，完成填表：
从而得出：n边形的内角和等于（n-2）×180°，进而根据n边形的每一个内角与它相邻的外角都互为补角，通过填表：
从而得出：任意多边形外角和为 。让全体同学经历直观感知，操作确认，运用观察、实验、分析、归纳等方法自行总结得出n边形的内角和与外角和公式并从中体会“转化”的思想和利用不完全归纳法解题的思路。
问题2：对中等生还可以要求他们思考，n边形的边数每增加一条，内角和增加多少？加深他们对n边形内角和公式的认识。
问题3：对学有余力的同学进一步引导思考，在n边形内任取一点P，连接点P与多边形的每一个顶点，可得几个三角形？你能否根据这样划分多边形的方法来说明n边形的内角和等于（n-2）×180°？
问题4：在n边形某一边上任取一点P，连接点P与多边形的每一个顶点，则该怎样说明n边形的内角和等于（n-2）×180°呢？
问题5：在n边形的外面任取一点P，连接点P与多边形的每一个顶点，又该如何推导n边形的内角和等于（n-2）×180°呢？这样，既培养学生从不同的角度分析问题、解决问题的探究能力，又兼顾到不同层次学生的学习。
在实践数学实验教学的过程中，为了获得实验的成功和教学的有效，笔者扩大了阅读面和研究点，从中进一步提高了个人的学科素养，提高信息技术与学科教学整合的能力，也进一步深化了对课改理念的理解，教学效果颇好。同时，笔者在数学实验教学上进行了一些尝试，如果有更多的教育同仁能共同探索和研究实验教学法，为之开发更多的教学内容和实验素材，累计更多的理论依据和实践经验，进一步提升实验技术，则数学实验的教学思想和模式将更加成熟，更具有广阔的天地。
借助于数学实践，学生自己动手实验、观察、比较、归纳，亲身经历了数学建构过程，通过自身的“再创造”将所有的新知识纳入到自己的认知结构中，使其成为有效且能发展的知识。学生动手操作，可使其实践能力、观察能力、归纳能力等都得到很好的锻炼。当然，数学毕竟与科学学科不同，实验只是佐证，主体还是问题教学、思维体操。因此，实验教学开展密度不宜过大，要合理运用实验教学，充分发挥其作用。
（作者单位：甘肃兰州市榆中县第九中学）
随着基础教育课程改革的不断深入，学生由单一听课模式向多元化的具有个性的学习模式转变，这一点已在教育界达成共识。教材由于受篇幅的限制，更多呈现的是一个个的数学结论，而对于结论的探究，我们应针对学生的实际情况，适当提供给学生探讨的机会，让学生去主动获得知识。建构主义认为：“学生需要对每一个数学概念构造自己的理解”。数学实验就是一个很好的建构模式。
数学实验可以让学生经历一个发现数学的过程，体验知识的发生和发展，感受基本数学思想，获得基本数学活动经验，在情感上获得满足，促进数学的兴趣培养和自信心的提高。面对新的教学内容和教学要求，如何发挥实验教学的功能，笔者做了一点思考，下面结合在新教材中开展数学实验教学的实践经验，就如何更好地开展数学实验教学谈一些具体的做法。
一、借助数学实验，突破概念难点
列夫托尔斯泰曾说：“知识只有当它靠积极的思维得来，而不是凭记忆得来的时候，才是真正的知识。”如何帮助学生加深对概念的理解，往往是教学的难点，采用实验教学是突破教学难点的重要途径。数学实验让学生经历观察、实验、猜测、推理、交流与反思等过程，在增加感性认识的基础上，帮助学生理解抽象的数学概念。
案例1：无理数的概念教学
实验准备：课前准备一把剪刀、两张同样大小的正方形纸片（边长视为1）、计算器。
问题设计：
（1）你能利用剪刀将这两张小正方形纸片剪开，重新拼成一个大正方形吗？
（2）这个大正方形的面积是多少？
（3）这个大正方形的边长是多少？（因为已经学习了算术平方根的概念，学生马上就说出正方形的边长是 ）
（4）估计 的值在哪两个整数之间？
（5）你能在数轴上找到一个点与原点的距离是 吗？
实验说明：考虑到无理数是无限不循环小数，如何将这个抽象的概念转化为易于理解的具象是一个教学难点。在以上问题的探究和解决过程中，学生真实体会到了面积2的正方形的边长不能用有理数来表示，但它确实存在，也是一个具有明确长度的线段，也能用数轴上的点表示，进而直观地将数系从有理数范围扩展到实数范围。
（6） 能用分数表示吗？我们能否找到一个有限的小数，使得它的平方刚好等于 呢？
教师结合计算机介绍平方法求 的近似值： 介于1和2之间，因此等于1加上一个纯小数，不妨设这个纯小数为a，则 =1+a，利用平方法逐步将a精确。
两边平方，得2=1+2a+a2，因为a是一个纯小数，a2小于1+2a，因此 精确到小数点后面第一位的近似值是1.4；要求精确到小数点后面第二位的近似值，再设 =1.4+b，再用平方法得：2=1.96+2.8b+b2；因为b是一个纯小数，b2远远小于1.96+2.8b，不妨忽略不计，得2=1.96+2.8b，则b=0.01，所以 精确到小数点后面第二位的近似值是1.41，依此，教师借助计算机编写程序，将运算过程呈现给学生。学生直观感受到 =1.4142……是一个无限不循环小数。在动手操作实验和展示结果的过程中，学生增强了感性认识，加深了对概念的理解。采用数学实验教学，既有学生的动手实践，依托计算机又避免了繁杂运算带来的低效，在短时间内让学生直观感受无限不循环小数，充分发挥了信息技术与学科教学整合的优势。
二、借助数学实验，发现知识规律
在教学中，有时会出现需要多次重复的动手操作，才能获得一定的结论的情况。有限的教学时间是难以满足的，但是没有足够量的实践，有时又难以说明问题。这时候计算机多媒体技术就派上了用场。但是必须注意的是，实验教学有两个形式：一是学生实验。二是演示实验。在教学过程中前者是不可忽视的。不能为了加快教学进度，就取消学生实验的环节，而是应该在学生实验的基础上，展开演示实验，提高效率。如此，才能既让学生亲身经历，又提高教学效率。如果直接采用计算机演示实验，则无异于将结论直接灌输给学生，只不过灌输者不是教师，而是具有强大计算功能的计算机。如，要获得抛硬币出现正反面的概率，需要进行大量的重复实验，既费时，又枯燥，如果采用现成的结论，学生只能是被动接受。用计算机模拟，既节省时间，又能进行多次实验、对比、分析，学生对结论的正确性更能接受。数学规律的发现，需要大量感性材料的积累，然后进行理性的分析、推理、判断，这样的过程可以通过数学实验教学来实现。
案例2：抛硬币实验
实验目标：让学生体验事件发生的随机现象和等可能性。
实验要求：学生每人准备一枚硬币，教师准备抛硬币实验的教学插件。
实验设计：
（1）同桌两人合作，分别由一人抛掷十次硬币，另一人记录出现正反面的次数。
（2）组长合计小组数据，做全班汇报：（鉴于全班汇总后数据仍偏少，出现正反面的可能性与理论值 偏差较大，无法反映出现正反面的可能性，故展示计算机模拟实验）
（3）教师展示抛硬币教学插件，说明插件的工作原理是应用计算机伪随机数来模拟抛硬币，随机输入5000、6000等大数据，根据结果再次统计。
实验说明：先要求学生亲自动手抛掷硬币，并记录正反面的次数，借此培养学生的合作意识和实验意识，感受实验数据的获得过程。之后采用抛硬币教学插件进行实验模拟，既节约了时间，又能多次大数量的抛掷实验并进行对比，学生对实验结果更为信服。学生从随机现象中发现规律，体会事件发生的可能性，这种学生实践与教师演示性实验相结合的方式，由教师设计，学生参与，师生合作，教师把握了实验进程，主导了教学工程，有效提高了课堂实效。学生观察实验现象，进一步发现和归纳总结，充分体现了课堂主体地位。 三、借助数学实验，验证数学猜想
验证数学猜想是数学探究过程必须经历的一个阶段，学生在观察的基础上获得猜想，可以借助数学实验验证猜想是否正确。如函数性质是初中数学的核心知识，也是高中学习的重要基础。然而学生对函数概念的理解存在很大困难，对函数性质难以理解到位。在此借助几何画板的作图功能，设计实验，引导学生进行猜想，探究函数性质。
案例3：探究函数性质
实验目标：探究一次函数的性质
实验准备：在电脑室安装几何画板软件，学生在坐标纸上画出一次函数y=2x+1、y=2x-1和y=x-1的图像。
实验设计：
（1）观察坐标纸上的三条直线，它们之间有何关系？
（2）猜测它们之间的关系与哪些元素有关？（直线的平行与k值相等有关，直线相关于y轴上的同一点与b值相等有关）
（3）教师演示如何在几何画板上画出函数图像。
（4）学生依据猜想，先保持k值不变，改变b的取值，自主在几何画板上画出10条以上一次函数的图像
（5）学生依据猜想，保持b值不变，改变k的取值，自主在几何画板上画出10条以上一次函数的图像
（6）观察所得图像，判断与原有猜想是否一致
（7）归纳结论，论证结论
实验说明：一次函数的性质在实际解决问题中有着广泛的应用，有必要让学生理解掌握透彻。华盛顿儿童博物馆有句名言：“我听见了，就忘记了；我看见了，就领会了；我做过了，就理解了”。学生在操作作图的过程中，验证了原来的猜想；在归纳实验结论的过程中，理解了函数的性质。由于是亲身经历获得的知识，记忆更为深刻，运用起来就更得心应手了。学生克服了“机械式”的死记硬背，其主观能动性得到更好的调动。
四、借助数学实验，培养探究能力
“问题解决”是一种创造性的活动，即如何综合地、创造性地应用所学知识和方法去解决非常规的问题。传统的问题解决教学其主要方式有：简单模仿、反复训练和自发领悟。上述教学方式造成的结果是使悟性较好的学生成了解题高手，但只会做而说不出理由，悟性较差的学生定理背得滚瓜烂熟，可拿到题目不知从何入手。其原因在于这种教学方式过于关注问题的结果，而忽视了探索问题解决过程中对学生发现问题、探索问题能力的培养，忽视策略性知识的运用与渗透。所以，在问题解决过程中通过设计合理的数学实验活动，为学生搭建合理的“脚手架”，给学生自主探究的空间，让学生自主地通过动手操作、观察猜想、归纳推理、交流验证、变式拓展等途径探索解决问题的方法，同时促进学生自主探究能力的发展。
案例4：教学内容：人教版数学七年级第七章第7.3.2节“多边形的内角和”
由于学生以前已学过“三角形的内角和等于180°”“三角形中每一对相邻的内、外角互补”等知识，学生对图形的分割与组合，填表归纳比较感兴趣，所以通过有机整合教材，可以创设情境，展示问题。
问题1：过n边形的一个顶点有多少条对角线？把这n边形分成了多少个三角形？引导全体同学通过过n边形的一个顶点引对角线，把多边形转化为三角形，并根据图所示，完成填表：
从而得出：n边形的内角和等于（n-2）×180°，进而根据n边形的每一个内角与它相邻的外角都互为补角，通过填表：
从而得出：任意多边形外角和为 。让全体同学经历直观感知，操作确认，运用观察、实验、分析、归纳等方法自行总结得出n边形的内角和与外角和公式并从中体会“转化”的思想和利用不完全归纳法解题的思路。
问题2：对中等生还可以要求他们思考，n边形的边数每增加一条，内角和增加多少？加深他们对n边形内角和公式的认识。
问题3：对学有余力的同学进一步引导思考，在n边形内任取一点P，连接点P与多边形的每一个顶点，可得几个三角形？你能否根据这样划分多边形的方法来说明n边形的内角和等于（n-2）×180°？
问题4：在n边形某一边上任取一点P，连接点P与多边形的每一个顶点，则该怎样说明n边形的内角和等于（n-2）×180°呢？
问题5：在n边形的外面任取一点P，连接点P与多边形的每一个顶点，又该如何推导n边形的内角和等于（n-2）×180°呢？这样，既培养学生从不同的角度分析问题、解决问题的探究能力，又兼顾到不同层次学生的学习。
在实践数学实验教学的过程中，为了获得实验的成功和教学的有效，笔者扩大了阅读面和研究点，从中进一步提高了个人的学科素养，提高信息技术与学科教学整合的能力，也进一步深化了对课改理念的理解，教学效果颇好。同时，笔者在数学实验教学上进行了一些尝试，如果有更多的教育同仁能共同探索和研究实验教学法，为之开发更多的教学内容和实验素材，累计更多的理论依据和实践经验，进一步提升实验技术，则数学实验的教学思想和模式将更加成熟，更具有广阔的天地。
借助于数学实践，学生自己动手实验、观察、比较、归纳，亲身经历了数学建构过程，通过自身的“再创造”将所有的新知识纳入到自己的认知结构中，使其成为有效且能发展的知识。学生动手操作，可使其实践能力、观察能力、归纳能力等都得到很好的锻炼。当然，数学毕竟与科学学科不同，实验只是佐证，主体还是问题教学、思维体操。因此，实验教学开展密度不宜过大，要合理运用实验教学，充分发挥其作用。
（作者单位：甘肃兰州市榆中县第九中学）