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摘要：本文从机械功的定义出发，讨论了应用系统功能原理解决问题时容易出现的错误，并由此推导出了对系统功能原理的两个推论。
关键词：功系统内非保守作用力的功非保守反作用力的功
中图分类号：O31 文献标识码：A
《力学》［1］教材中称“功是力对距离的累积效果”（见《力学》§5—1）。《物理学简明教程》［2］（上册）定义功为“力在位移方向的分量与位移大小的乘积”(见§2—1)。从功的定义出发，人们推导出了物体（质点）系的动能定理：作用于系统的所有外力之功与所有内力之功的代数和在数值上等于系统动能的增量。并以此为基础，进一步得出了物体(质点)系的功能原理：质点系的外力之功和非保守内力之功的代数和等于系统的机械能的增量。系统的功能原理用公式表示为：
①
在应用①式解决实际问题时，常出现一些容易被人忽视的概念性的错误。
1.举例及辩析
现以《物理学简明教程》(上册§2—4)例2-4题求解为例进行辩析。
1.1举例
如〔图1〕所示，质量为m的物体从静止开始，沿轨道L从A位置下滑运动到B位置，到B位置时的速率为v,A、B两点高度差为h。求摩擦力对物体m作的功。(注：叙述略有变动)
解：本题取物体m和地球所组成的系统为研究对象。
作用于系统的内力有重力G(为保守力)、摩擦力f、轨道L对物体的支持力N,如〔图1〕示意，系统外力不存在。
取B点为重力势能零点，系统在A、B两个状态的机械能为：
②
由功能原理有 ③
因N恒与物体运动方向垂直，所以，由此得摩擦力之功为
④
1.2辩析
对于1.1中例题的解答，笔者认为存在一些错误。
1.1.1受力分析存在错误
由牛顿第三定律知，既然作用于物体m上的系统内力有G、N、f,必然存在系统内反作用力—-物体m对地球的作用力G/(为保守力)、N/、f/,如〔图2〕示意，而1.1例题解答中却漏掉了后三个力。这是错误之一。
1.1.2方程③式错误
在1.1.1中指出的错误,是否对问题解决有影响呢?
也就是由1.1.1分析得出的
⑤
是否与1.1中③式的 相等呢?
从力作功的角度看,因为G/、N/、f/都有位移（地球相对物体m有运动）,所以,按照“功是力对距离的累积效果”的定论，从而有
a.力N/与(地球相对物体m的)微元位移dr/(如〔图二〕示意，下同)始终垂直,故
⑥
b.力f/始终与微元位移dr/反向,故有
(<0 积分沿L进行) ⑦
f/作用点处地面温度升高、形变等,正是f/作功的结果,作功能量由系统势能转换而来,f/起了能量转换的工具作用。
并由此得出，两个物体间的作用力与反作用力同时都作功或者同时都不作功。
c.力G/作的功已包含在系统机械能增量中，不能再重复计入。
由a、b、c得
⑧
从而方程③式错了，④式的结论也就不对。
2.对系统功能原理的推论
2.1推论一
将②、⑤、⑥式及 代入①式得
解得⑨
由⑨式知,系统机械能的增量并未被非保守内作用力f作功时独占。
在此为了引起大家对类似1.2辩析中揭示错误的警惕，特提出对系统功能原理的推论一：在无外力作用的系统运动过程中，系统机械能的增量等于非保守作用内力、非保守反作用内力作的总耗散功的代数和。
即在F外=0条件下,有A非保内+A非保内反=E－E0
2.2推论二
在⑨式中 积分沿L路径⑩
由〔图二〕知 ,由牛顿第三定律得 ,代入⑩式得
，将此式代入⑨式得
从而得对系统功能原理推论二：在无外力作用的系统运动过程中，非保守作用内力作的总耗散功与其反作用内力作的总耗散功相等,各为系统机械能增量之半。
即在F外=0条件下，有A非保内=A非保内反=
3．结束语
许多教本在系统功能原理应用举例中，都存在上列辩析中提到的类似错误，这些讨论对大家可以提供参考。
参考文献∶
［1］赵景员，王淑贤，力学，北京∶人民教育出版社，1980.6
［2］曹茂盛，韩桂华，孙玉兰，物理学简明教程，第3版，哈尔滨：哈尔滨工业大出版社，1998.2
关键词：功系统内非保守作用力的功非保守反作用力的功
中图分类号：O31 文献标识码：A
《力学》［1］教材中称“功是力对距离的累积效果”（见《力学》§5—1）。《物理学简明教程》［2］（上册）定义功为“力在位移方向的分量与位移大小的乘积”(见§2—1)。从功的定义出发，人们推导出了物体（质点）系的动能定理：作用于系统的所有外力之功与所有内力之功的代数和在数值上等于系统动能的增量。并以此为基础，进一步得出了物体(质点)系的功能原理：质点系的外力之功和非保守内力之功的代数和等于系统的机械能的增量。系统的功能原理用公式表示为：
①
在应用①式解决实际问题时，常出现一些容易被人忽视的概念性的错误。
1.举例及辩析
现以《物理学简明教程》(上册§2—4)例2-4题求解为例进行辩析。
1.1举例
如〔图1〕所示，质量为m的物体从静止开始，沿轨道L从A位置下滑运动到B位置，到B位置时的速率为v,A、B两点高度差为h。求摩擦力对物体m作的功。(注：叙述略有变动)
解：本题取物体m和地球所组成的系统为研究对象。
作用于系统的内力有重力G(为保守力)、摩擦力f、轨道L对物体的支持力N,如〔图1〕示意，系统外力不存在。
取B点为重力势能零点，系统在A、B两个状态的机械能为：
②
由功能原理有 ③
因N恒与物体运动方向垂直，所以，由此得摩擦力之功为
④
1.2辩析
对于1.1中例题的解答，笔者认为存在一些错误。
1.1.1受力分析存在错误
由牛顿第三定律知，既然作用于物体m上的系统内力有G、N、f,必然存在系统内反作用力—-物体m对地球的作用力G/(为保守力)、N/、f/,如〔图2〕示意，而1.1例题解答中却漏掉了后三个力。这是错误之一。
1.1.2方程③式错误
在1.1.1中指出的错误,是否对问题解决有影响呢?
也就是由1.1.1分析得出的
⑤
是否与1.1中③式的 相等呢?
从力作功的角度看,因为G/、N/、f/都有位移（地球相对物体m有运动）,所以,按照“功是力对距离的累积效果”的定论，从而有
a.力N/与(地球相对物体m的)微元位移dr/(如〔图二〕示意，下同)始终垂直,故
⑥
b.力f/始终与微元位移dr/反向,故有
(<0 积分沿L进行) ⑦
f/作用点处地面温度升高、形变等,正是f/作功的结果,作功能量由系统势能转换而来,f/起了能量转换的工具作用。
并由此得出，两个物体间的作用力与反作用力同时都作功或者同时都不作功。
c.力G/作的功已包含在系统机械能增量中，不能再重复计入。
由a、b、c得
⑧
从而方程③式错了，④式的结论也就不对。
2.对系统功能原理的推论
2.1推论一
将②、⑤、⑥式及 代入①式得
解得⑨
由⑨式知,系统机械能的增量并未被非保守内作用力f作功时独占。
在此为了引起大家对类似1.2辩析中揭示错误的警惕，特提出对系统功能原理的推论一：在无外力作用的系统运动过程中，系统机械能的增量等于非保守作用内力、非保守反作用内力作的总耗散功的代数和。
即在F外=0条件下,有A非保内+A非保内反=E－E0
2.2推论二
在⑨式中 积分沿L路径⑩
由〔图二〕知 ,由牛顿第三定律得 ,代入⑩式得
，将此式代入⑨式得
从而得对系统功能原理推论二：在无外力作用的系统运动过程中，非保守作用内力作的总耗散功与其反作用内力作的总耗散功相等,各为系统机械能增量之半。
即在F外=0条件下，有A非保内=A非保内反=
3．结束语
许多教本在系统功能原理应用举例中，都存在上列辩析中提到的类似错误，这些讨论对大家可以提供参考。
参考文献∶
［1］赵景员，王淑贤，力学，北京∶人民教育出版社，1980.6
［2］曹茂盛，韩桂华，孙玉兰，物理学简明教程，第3版，哈尔滨：哈尔滨工业大出版社，1998.2