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摘要：本文介紹用正反算迭代快速求解双线铁路线间距的方法。该方法思路独特，简单实用，不要求用户有高深数学的知识，不需要解方程组，只要会在可编程计算器上编写路线中边桩正反算的程序，就可应用本文介绍的方法即可轻松求解双线铁路线间距。文中给出了Casio Fx-9860 G SD计算主程序，并给出了计算实例。
关键词：双线铁路；桥梁曲线布置；线间距；Casio Fx-9860 G SD
中图分类号：U21文献标识码：A文章编号：
1 前言
我国城际轻轨一般采用双线，其中一条称为正线，另一条在本文中称为II线。目前在我国在建的双线铁路中，一般采用4.2米或4.4米的固定线间距，但由于沿线地形的变化，同时双线铁路由于其区间、车站、重要桥隧等区段直线最小线间距的采用标准不同，因而在平面设计中，为使线间距合理、节约用地和工程投资，需在区间变更线间距。变更线间距通常有两种方法，一种是在第二线上采用反向曲线变更线间距，另一种是利用区间曲线完成。由于反向曲线变更线间距存在诸多不利因素，因而在特定条件下使用（如长大直线段）。一般情况下，变更线间距应利用曲线完成。因而设计方不得不在有些地段采用不等的线间距，即正线上某点A的法线与II线的交点B之间的距离DAB不等于固定的线间距。如果在桥梁的曲线布置中，正好有墩台落在线间距不等的地段，那么有关的桩基、墩台计算必然会涉及到双线在墩台梁缝分界线的线间距计算问题。对这一问题，有的学者在90年代末期便进行了探讨[1]，提出了解决的方法，但该方法需要用户有较深厚的数学知识，需要在计算机上求解方程，过程太繁杂，而对现场的测量人员而言，难于掌握和使用。针对这一问题，笔者进行了研究，成功地在Casio Fx-9860 G SD可编程电算器上，使用正反算程序迭代求解线间距，为这一问题的解决提供了较好的方案。
2 基础知识和正反算迭代解算线间距的原理
2．1有关术语和Casio Fx-9860 G SD电算器简介
本文中所提到的坐标正算是指根据曲线的平曲线要素和某点的里程计算该点的三维坐标的过程；反算是指根据曲线的平曲线要素和某点的平面坐标，计算该点对应的中桩点里程以及该点到中桩的距离的过程。目前在市场上可以购买到有关的上述程序。
Casio Fx-9750G SD图形编程计算器是卡西欧公司于2005年4月推出的产品[2]。目前它的替代产品为Casio Fx-9860G II SD[3]。Casio Fx-9860G SD体积小，重量轻，具有64K内存，其中可供用户使用的内存容量为62K；有大容量的串列，内置6个串列文件File1～File6,每个串列文件有26个串列；使用类BASIC结构化程序语言，并可与计算机进行通信。由于具有上述特点，Casio Fx-9860 G SD特别适用于测量现场应用，其功能和性价比远非Casio fx-5800P所能及。
2．2中边桩正反算迭代求解双线铁路线间距原理
用迭代求解线间距，可在任何一部可编程计算器上编写线路中边桩计算程序。由于Casio Fx-9860 G SD功能比较强大，所以笔者使用Casio Fx-9860 G SD编程进行本文提及有关的计算。在本文的计算中，正线的平曲线要素放在串列文件2(File 2)、II线的平曲线要素放在串列文件1（File1）中。
由于双线铁路线间距是正线某点上的法线与正线和II线交点之间的距离，设该法线与正线的交点为A（A点的里程为Z），与II线的交点为B。由于正线上A点的里程Z往往是墩台梁缝分界线的里程，所以Z是已知的，如果我们能通过某种方法求得II线上B点的里程Z’，那么可以通过正算的方法分别求得A、B的中桩坐标，求线间距的问题就迎刃而解了。也就是说，求线间距的关键是求得B点在II线上的里程。因此，求线间距DAB的步骤是：
1）假定B点的初始里程为V，用II线的平曲线要素计算B的中桩坐标，设为（X,Y）;
2）使用正线的平曲线要素，反算B（X,Y）在正线上的里程Z’；一般而言，Z’≠Z，这时求得差值ΔZ=Z-Z’，求得下一次迭代时B的里程为V+ΔZ；
3）用B点的新里程值，重复1-2步，直到ΔZ≤0.0005米时，便可求得B点在II线上的里程V的最终值。
4）由里程Z以及V的最终值，分别计算A、B两点在各自线上的中桩坐标，据此求得两点之间的距离即为A点处的线间距。
3算例
某城际轻轨的右线为正线，左线为II线，线间距固定为4.4米。左线在DK50+800处绕行，绕行终点处产生了25.591米的长链，即ZDK55+725.591=Dk55+700。在绕行段DK53处有一桥梁的数个墩处于线间距变化的第2缓和曲线上。有关的平曲线要素列于下表（里程的公里数为DK53，表中仅列里程的百米后的数值；曲线为对称曲线，左右线的转角、半径、缓和曲线长、切线长均相同，其大小分别为：αy=70°04′44. 064″(右转)，R=1530米，LS=230米，T=1188.877米）。
表3.1平曲线要素（正线和Ⅱ线）
分别把右线和左线的平曲线数据存到File2和 File1，供反算和正算使用。在Casio Fx-9860 G SD 上编写主程序如下：
主程序名：XJJJS（线间距计算）
Lbl 1：File１
“LC（R）＝”？→List 22[15] ‘输入右线（正线）里程
List 22[15] →List 22[18]‘将右线里程保存
25→List 22[17] ‘将长链概值保存
List 22[15]+ List 22[17] →Z：Z→ List 22[16]
‘左线B点坐标计算的概略里程（计算里程）
Lbl 3 ：“LC(L)=”：Z▲ ‘显示左线B的计算里程
Prog “ZS” ‘调用坐标计算子程序计算B点在左线的中桩坐标
Prog “FS” ‘调用坐标反算子程序反算B点在右线
File１：“ZH(FS)=”： Z▲ ‘显示反算的结果，即B在右线之里程
List 22[18]-Z→L ：“ΔL=”：L▲“求解并显示A点里程与B在右线上的里程差
If Abs(Z)≥0.0005: Then L+ List 22[16] → List 22[16] ‘更新B点在左线上的里程值
List 22[16] →Z ‘将更新后的里程值赋给Z，Z为坐标计算子程序的入口变量
Goto 3:IfEnd ‘循环迭代求解
“L=”: List 22[16]- List 22[18] ▲ ‘计算并显示B 点与A点的里程差（长链值）
Goto 1 ‘继续计算另外的墩台的线间距
End ‘主程序结束
子程序“ZS”的功能是根据平曲线的要素和里程计算所求点的中桩坐标；子程序“FS”的功能是根据平曲线的要素和某点的坐标（X,Y），计算其对应的中桩里程已经该点至中桩点的距离。由于大家对正反算程序比较熟悉，加上篇幅有限，在此不再赘述。
下面将计算实例的迭代结果列于下表（表中里程仅为尾数，里程公里数均为DK55）
表3.2迭代计算汇总
从上表可以看出，计算的效率很高，最多进行3次迭代便可求解。
·4结语
本文提出计算双线铁路的线间距的方法，思路新颖，避开了复杂的数学推导，另劈蹊径，方法简单实用，只要会在可编程计算器上编写坐标正反算的程序，就可轻松计算双线铁路的线间距，解决了铁路桥梁曲线布置的墩台计算的关键问题，很有推广价值。
参考文献
[1]．童森林.坐标法在双线铁路桥梁曲线布置中的应用.长沙铁道学院学报，1997年9月，第十五卷第3期，P98-P106
[2].覃辉.CASIO fx-9750 GII图形编程计算器公路与铁路测量程序.人民交通出版社，2010年2月第一版
[3].覃辉，段长虹. Casio fx-9860G SD 矩阵串列编程计算器实用测量程序.华南理工大学出版社，2006年10月第一版
关键词：双线铁路；桥梁曲线布置；线间距；Casio Fx-9860 G SD
中图分类号：U21文献标识码：A文章编号：
1 前言
我国城际轻轨一般采用双线，其中一条称为正线，另一条在本文中称为II线。目前在我国在建的双线铁路中，一般采用4.2米或4.4米的固定线间距，但由于沿线地形的变化，同时双线铁路由于其区间、车站、重要桥隧等区段直线最小线间距的采用标准不同，因而在平面设计中，为使线间距合理、节约用地和工程投资，需在区间变更线间距。变更线间距通常有两种方法，一种是在第二线上采用反向曲线变更线间距，另一种是利用区间曲线完成。由于反向曲线变更线间距存在诸多不利因素，因而在特定条件下使用（如长大直线段）。一般情况下，变更线间距应利用曲线完成。因而设计方不得不在有些地段采用不等的线间距，即正线上某点A的法线与II线的交点B之间的距离DAB不等于固定的线间距。如果在桥梁的曲线布置中，正好有墩台落在线间距不等的地段，那么有关的桩基、墩台计算必然会涉及到双线在墩台梁缝分界线的线间距计算问题。对这一问题，有的学者在90年代末期便进行了探讨[1]，提出了解决的方法，但该方法需要用户有较深厚的数学知识，需要在计算机上求解方程，过程太繁杂，而对现场的测量人员而言，难于掌握和使用。针对这一问题，笔者进行了研究，成功地在Casio Fx-9860 G SD可编程电算器上，使用正反算程序迭代求解线间距，为这一问题的解决提供了较好的方案。
2 基础知识和正反算迭代解算线间距的原理
2．1有关术语和Casio Fx-9860 G SD电算器简介
本文中所提到的坐标正算是指根据曲线的平曲线要素和某点的里程计算该点的三维坐标的过程；反算是指根据曲线的平曲线要素和某点的平面坐标，计算该点对应的中桩点里程以及该点到中桩的距离的过程。目前在市场上可以购买到有关的上述程序。
Casio Fx-9750G SD图形编程计算器是卡西欧公司于2005年4月推出的产品[2]。目前它的替代产品为Casio Fx-9860G II SD[3]。Casio Fx-9860G SD体积小，重量轻，具有64K内存，其中可供用户使用的内存容量为62K；有大容量的串列，内置6个串列文件File1～File6,每个串列文件有26个串列；使用类BASIC结构化程序语言，并可与计算机进行通信。由于具有上述特点，Casio Fx-9860 G SD特别适用于测量现场应用，其功能和性价比远非Casio fx-5800P所能及。
2．2中边桩正反算迭代求解双线铁路线间距原理
用迭代求解线间距，可在任何一部可编程计算器上编写线路中边桩计算程序。由于Casio Fx-9860 G SD功能比较强大，所以笔者使用Casio Fx-9860 G SD编程进行本文提及有关的计算。在本文的计算中，正线的平曲线要素放在串列文件2(File 2)、II线的平曲线要素放在串列文件1（File1）中。
由于双线铁路线间距是正线某点上的法线与正线和II线交点之间的距离，设该法线与正线的交点为A（A点的里程为Z），与II线的交点为B。由于正线上A点的里程Z往往是墩台梁缝分界线的里程，所以Z是已知的，如果我们能通过某种方法求得II线上B点的里程Z’，那么可以通过正算的方法分别求得A、B的中桩坐标，求线间距的问题就迎刃而解了。也就是说，求线间距的关键是求得B点在II线上的里程。因此，求线间距DAB的步骤是：
1）假定B点的初始里程为V，用II线的平曲线要素计算B的中桩坐标，设为（X,Y）;
2）使用正线的平曲线要素，反算B（X,Y）在正线上的里程Z’；一般而言，Z’≠Z，这时求得差值ΔZ=Z-Z’，求得下一次迭代时B的里程为V+ΔZ；
3）用B点的新里程值，重复1-2步，直到ΔZ≤0.0005米时，便可求得B点在II线上的里程V的最终值。
4）由里程Z以及V的最终值，分别计算A、B两点在各自线上的中桩坐标，据此求得两点之间的距离即为A点处的线间距。
3算例
某城际轻轨的右线为正线，左线为II线，线间距固定为4.4米。左线在DK50+800处绕行，绕行终点处产生了25.591米的长链，即ZDK55+725.591=Dk55+700。在绕行段DK53处有一桥梁的数个墩处于线间距变化的第2缓和曲线上。有关的平曲线要素列于下表（里程的公里数为DK53，表中仅列里程的百米后的数值；曲线为对称曲线，左右线的转角、半径、缓和曲线长、切线长均相同，其大小分别为：αy=70°04′44. 064″(右转)，R=1530米，LS=230米，T=1188.877米）。
表3.1平曲线要素（正线和Ⅱ线）
分别把右线和左线的平曲线数据存到File2和 File1，供反算和正算使用。在Casio Fx-9860 G SD 上编写主程序如下：
主程序名：XJJJS（线间距计算）
Lbl 1：File１
“LC（R）＝”？→List 22[15] ‘输入右线（正线）里程
List 22[15] →List 22[18]‘将右线里程保存
25→List 22[17] ‘将长链概值保存
List 22[15]+ List 22[17] →Z：Z→ List 22[16]
‘左线B点坐标计算的概略里程（计算里程）
Lbl 3 ：“LC(L)=”：Z▲ ‘显示左线B的计算里程
Prog “ZS” ‘调用坐标计算子程序计算B点在左线的中桩坐标
Prog “FS” ‘调用坐标反算子程序反算B点在右线
File１：“ZH(FS)=”： Z▲ ‘显示反算的结果，即B在右线之里程
List 22[18]-Z→L ：“ΔL=”：L▲“求解并显示A点里程与B在右线上的里程差
If Abs(Z)≥0.0005: Then L+ List 22[16] → List 22[16] ‘更新B点在左线上的里程值
List 22[16] →Z ‘将更新后的里程值赋给Z，Z为坐标计算子程序的入口变量
Goto 3:IfEnd ‘循环迭代求解
“L=”: List 22[16]- List 22[18] ▲ ‘计算并显示B 点与A点的里程差（长链值）
Goto 1 ‘继续计算另外的墩台的线间距
End ‘主程序结束
子程序“ZS”的功能是根据平曲线的要素和里程计算所求点的中桩坐标；子程序“FS”的功能是根据平曲线的要素和某点的坐标（X,Y），计算其对应的中桩里程已经该点至中桩点的距离。由于大家对正反算程序比较熟悉，加上篇幅有限，在此不再赘述。
下面将计算实例的迭代结果列于下表（表中里程仅为尾数，里程公里数均为DK55）
表3.2迭代计算汇总
从上表可以看出，计算的效率很高，最多进行3次迭代便可求解。
·4结语
本文提出计算双线铁路的线间距的方法，思路新颖，避开了复杂的数学推导，另劈蹊径，方法简单实用，只要会在可编程计算器上编写坐标正反算的程序，就可轻松计算双线铁路的线间距，解决了铁路桥梁曲线布置的墩台计算的关键问题，很有推广价值。
参考文献
[1]．童森林.坐标法在双线铁路桥梁曲线布置中的应用.长沙铁道学院学报，1997年9月，第十五卷第3期，P98-P106
[2].覃辉.CASIO fx-9750 GII图形编程计算器公路与铁路测量程序.人民交通出版社，2010年2月第一版
[3].覃辉，段长虹. Casio fx-9860G SD 矩阵串列编程计算器实用测量程序.华南理工大学出版社，2006年10月第一版