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一、问题缘起
人教版五上《小数乘法》单元形成性评价中有一道和书本例题一模一样的试题：学校图书馆的面积是85平方米，用边长为0.9米的正方形瓷砖铺地，100块够吗？这个题目全班43人，竟然有16人错误，错误率高达37.2%。错误基本三类：1、0.9×100=90（平方米） 85<90 答：够。（11人出错，占错误总量的68.75%）2、0.9×4×100=360（平方米） 360>85 答：够。（3人出错，占错误总量的18.75%）3、其他（2人出错，占错误总量的12.5%）。
错误率高的真正原因是什么呢？我对任教的两个平行班进行了问卷调查。
二、错例原因调查和分析
为了找到现象背后的真正原因，我就下面5 个问题对任教五年级的两个平行班学生进行问卷调查。
1.什么是面积？（可以画图、举例或用文字表达）
2.什么是周长？（可以画图、举例或用文字表达）
3.比较下面的图形，给你认为面积比较大的图形打“√”，并说说理由？
4.长方形的面积计算公式是长×宽，为什么用这个公式就能得出长方形的面积？
5.小明家有一幅长60 厘米、宽30 厘米的画。做画框至少需要准备多长的木条？框里的这幅画有多大？
关于什么是面积和周长，从本次调查收集的数据来看，学生已经能够清楚表达、扎实掌握这部分内容，几乎没有学生不会表述。第3题比较两个图形面积的大小正好验证了我上面的说法。
关于长方形面积公式的由来错误率相当高，两个平行班只有10 人（约占11.6%）能较为清楚、准确地说明长方形面积计算公式的来历。说明教学的低效，甚至无效。反观第5题，几乎所有的学生都是正确的。这说明我们的教学还停留在技能训练的层面上，学生只知其然，不知所以然。大部分学生对长方形的面积计算公式仅停留在机械套用的层面。
通过以上调研，我们认为：主要原因不是学生对面积本质意义的理解存在问题，而是不能在面积本质意义上来理解长方形面积公式的问题。那如何补救呢？要解决这个问题，还得从三下《长方形、正方形面积计算》一课开始思考。
三、以往教学回顾和反思
《长方形、正方形面积计算》教学设计片段：
（一）创设情境，引入新课。呈现学校操场的图片并问：要想知道操场的面积有多大，该怎么办呢？这节课我们就来研究“长方形、正方形面积的计算”。（板书课题）
（二）动手操作，提出猜想。师：请同学们拿出学具袋中的蓝色长方形纸及若干个小正方形，思考怎样测量出这张蓝色长方形纸的面积？
1.小组讨论测量方法 2.动手测量3.全班汇报，交流
（明确：用乘法计算比一一计数更简便）。
4.引导发现：长方形长与每行正方形个数，长方形宽与每列正方形个数之间的关系。
5.猜测：长方形的面积与什么有关系呢？（长方形的面积=长×宽）
（三）合作探究，验证猜想。师：是不是所有长方形的面积都等于长×宽呢？我们来验证一下。
1.合作拼摆，完成表格。利用学具袋中的正方形，任意拼成三个长方形，填表格：
长/厘米
宽/厘米
面积/平方厘米
2.认真观察，发现规律。板书：长方形的面积=长×宽
……
四、补救教学设计和反思
活动一、数格子
1.格子图中图形的面积分别是多少？（每小格表示1 平方厘米）
A、学生独立练习并个别汇报。B、追问面积是怎样数出来的？
活动二、在格子纸上画面积是24 平方厘米长方形，你能画几个？（每小格表示1 平方厘米）
A、学生在格子纸上操作后，交流出不同画法。B、师生评价，引导得出每行个数×行数。
活动三：在白纸上面积是24 平方厘米的长方形。
A、学生独立练习B、反馈学不同的画法，组织质疑，使学生明白：直接画出长方形的长和宽比较方便。C、追问：为什么直接画长和宽是几厘米，就能知道它的面积呢？D、归纳：长方形的面积可以怎样计算呢？
五、长方形面积公式推导教学的启示
1.关注数方格经验的积累。长方形面积公式推导中需要“算面积就是算图形所包含的面积单位的个数”这一思想的支撑，且能否运用数方格的方法求面积是公式推导是否成功的前提。所以，只有关注数方格经验的积累，才有可能调度出这些经验来解决这一问题。2.关注多元学习方式的开展。“面积公式推导”是落实过程性目标的教学，它的落实需要引导学生采用独立思考、动手操作、小组交流等多元学习方式进行学习，从而完成长方形面积公式推导的建构。一维层面的“长度”与二维层面的“面积单位的个数”的对应性；看算式想图形，看图形用算式表示的数形结合，都需要通过动手操作或空间想象等方式来实现。只有当学生对平面图形外在形式的变与面积公式内在本质的不变之间的关系有了清晰理解和把握之后，其对面积公式推导这一过程性目标的理解才是整体的、内在的。3.关注数学思想方法的渗透。面积公式作为一种高度抽象的数学模型，它的建构过程是非常复杂的，当中蕴含着丰富的数学思想方法。“长×宽”需要通过对“长度”与“面积单位的个数”之间的对应关系，来理解面积公式的推导过程；其他平面图形的面积公式推导时，转化思想成为探究过程的主导思想。正是这一系列的数学思想方法在探究公式中的应用，使数学模型的建构变得充分而扎实。因此，在落实长方形的面积计算推导这一过程性目标时，对学生渗透相应的数学思想方法是十分重要的。
人教版五上《小数乘法》单元形成性评价中有一道和书本例题一模一样的试题：学校图书馆的面积是85平方米，用边长为0.9米的正方形瓷砖铺地，100块够吗？这个题目全班43人，竟然有16人错误，错误率高达37.2%。错误基本三类：1、0.9×100=90（平方米） 85<90 答：够。（11人出错，占错误总量的68.75%）2、0.9×4×100=360（平方米） 360>85 答：够。（3人出错，占错误总量的18.75%）3、其他（2人出错，占错误总量的12.5%）。
错误率高的真正原因是什么呢？我对任教的两个平行班进行了问卷调查。
二、错例原因调查和分析
为了找到现象背后的真正原因，我就下面5 个问题对任教五年级的两个平行班学生进行问卷调查。
1.什么是面积？（可以画图、举例或用文字表达）
2.什么是周长？（可以画图、举例或用文字表达）
3.比较下面的图形，给你认为面积比较大的图形打“√”，并说说理由？
4.长方形的面积计算公式是长×宽，为什么用这个公式就能得出长方形的面积？
5.小明家有一幅长60 厘米、宽30 厘米的画。做画框至少需要准备多长的木条？框里的这幅画有多大？
关于什么是面积和周长，从本次调查收集的数据来看，学生已经能够清楚表达、扎实掌握这部分内容，几乎没有学生不会表述。第3题比较两个图形面积的大小正好验证了我上面的说法。
关于长方形面积公式的由来错误率相当高，两个平行班只有10 人（约占11.6%）能较为清楚、准确地说明长方形面积计算公式的来历。说明教学的低效，甚至无效。反观第5题，几乎所有的学生都是正确的。这说明我们的教学还停留在技能训练的层面上，学生只知其然，不知所以然。大部分学生对长方形的面积计算公式仅停留在机械套用的层面。
通过以上调研，我们认为：主要原因不是学生对面积本质意义的理解存在问题，而是不能在面积本质意义上来理解长方形面积公式的问题。那如何补救呢？要解决这个问题，还得从三下《长方形、正方形面积计算》一课开始思考。
三、以往教学回顾和反思
《长方形、正方形面积计算》教学设计片段：
（一）创设情境，引入新课。呈现学校操场的图片并问：要想知道操场的面积有多大，该怎么办呢？这节课我们就来研究“长方形、正方形面积的计算”。（板书课题）
（二）动手操作，提出猜想。师：请同学们拿出学具袋中的蓝色长方形纸及若干个小正方形，思考怎样测量出这张蓝色长方形纸的面积？
1.小组讨论测量方法 2.动手测量3.全班汇报，交流
（明确：用乘法计算比一一计数更简便）。
4.引导发现：长方形长与每行正方形个数，长方形宽与每列正方形个数之间的关系。
5.猜测：长方形的面积与什么有关系呢？（长方形的面积=长×宽）
（三）合作探究，验证猜想。师：是不是所有长方形的面积都等于长×宽呢？我们来验证一下。
1.合作拼摆，完成表格。利用学具袋中的正方形，任意拼成三个长方形，填表格：
长/厘米
宽/厘米
面积/平方厘米
2.认真观察，发现规律。板书：长方形的面积=长×宽
……
四、补救教学设计和反思
活动一、数格子
1.格子图中图形的面积分别是多少？（每小格表示1 平方厘米）
A、学生独立练习并个别汇报。B、追问面积是怎样数出来的？
活动二、在格子纸上画面积是24 平方厘米长方形，你能画几个？（每小格表示1 平方厘米）
A、学生在格子纸上操作后，交流出不同画法。B、师生评价，引导得出每行个数×行数。
活动三：在白纸上面积是24 平方厘米的长方形。
A、学生独立练习B、反馈学不同的画法，组织质疑，使学生明白：直接画出长方形的长和宽比较方便。C、追问：为什么直接画长和宽是几厘米，就能知道它的面积呢？D、归纳：长方形的面积可以怎样计算呢？
五、长方形面积公式推导教学的启示
1.关注数方格经验的积累。长方形面积公式推导中需要“算面积就是算图形所包含的面积单位的个数”这一思想的支撑，且能否运用数方格的方法求面积是公式推导是否成功的前提。所以，只有关注数方格经验的积累，才有可能调度出这些经验来解决这一问题。2.关注多元学习方式的开展。“面积公式推导”是落实过程性目标的教学，它的落实需要引导学生采用独立思考、动手操作、小组交流等多元学习方式进行学习，从而完成长方形面积公式推导的建构。一维层面的“长度”与二维层面的“面积单位的个数”的对应性；看算式想图形，看图形用算式表示的数形结合，都需要通过动手操作或空间想象等方式来实现。只有当学生对平面图形外在形式的变与面积公式内在本质的不变之间的关系有了清晰理解和把握之后，其对面积公式推导这一过程性目标的理解才是整体的、内在的。3.关注数学思想方法的渗透。面积公式作为一种高度抽象的数学模型，它的建构过程是非常复杂的，当中蕴含着丰富的数学思想方法。“长×宽”需要通过对“长度”与“面积单位的个数”之间的对应关系，来理解面积公式的推导过程；其他平面图形的面积公式推导时，转化思想成为探究过程的主导思想。正是这一系列的数学思想方法在探究公式中的应用，使数学模型的建构变得充分而扎实。因此，在落实长方形的面积计算推导这一过程性目标时，对学生渗透相应的数学思想方法是十分重要的。