【摘要】微积分是高等数学教学的重要课程内容之一，是高等数学继续学习与深造的基础课程，它的思想方法是学生学习后继课程的重要工具和基础.本文主要分析大学微积分教学中存在的问题，运用建构主义学习理论，讨论微积分课程的知识建构、教学方法、教学手段和实际应用，并以典型案例介绍如何以学生为中心进行积极高效的微积分教学.
　　【关键词】微积分教学；建构主义；多媒体辅助教学
　　国内调查表明，目前工科院校高等数学教学存在以下几个突出问题：（1）学生的数学学习处于被动状态，80%的学生认识到数学的重要性，但对其又不感兴趣；（2）高等数学教学质量和教学效率有待提高，不管数学试卷出的多么容易，不及格人数将近30%，有的学校高达40%.如何在讲解数学知识的同时，传授数学思想，培养学生分析问题、解决问题的能力，如何发展学生的创新意识等，都亟待实践研究.
　　微积分是高等数学的主要内容，微积分的思想方法是学生学习后继课程的重要工具和基础.从各类文献可以看出，现有的微积分教学大致可以分为以下几类：（1）某类具体问题的题解研究，或将已有定理的条件、结论略作改动推广；（2）介绍国外微积分教材、教学研究动态，并与我国进行对比研究；（3）以体系为突破口，提出新的微积分理论.如张景中院士采用“先无穷大，后无穷小”的方式，采取了“（递增+无上界）标准无穷大→无穷大→标准无穷小→无穷小→（常数+无穷小）极限”的方式建立了新的非ε极限理论.彭厚富等人从测度的观点重新认识微积分的本质，建立了测度微积分.已有文献资料中，借鉴先进的教学理论展开微积分教学改革的研究很少.
　　数学建构主义学习，是主体对客体进行思维构造的过程；“自主活动”和“个人体验”是数学建构主义指导下总结出的数学经验性教学模式.涂荣豹先生提出“数学知识的学习应当是意义建构性的、经验积累性的、目标引领性的、问题定向与诊断性的、问题解决情景性与反思性的学习，是数学知识的经验化与数学经验的意义化学习”.
　　目前，建构主义已成为热点话题，关于它的长短，人们有颇多评论，为取其所长避其所短，本文将探讨怎样利用建构主义之长，弥补传统教学之不足，旨在提高微积分教学的有效性，并为建构主义的深化研究积累实践依据.
　　一、微积分教学存在的问题
　　传统的微积分教学存在许多问题，主要集中在微积分的课程内容、教材编写、教学模式和学习态度与方法四个方面：①微积分是从初等数学进入高等数学的纽带，其本身具有相当的深度，微积分的学科发展历经了两千余年，要在一个学期内完成全部的教学存在客观的难度；②为了逻辑上的严谨性，微积分教材几乎都按“集合实数系映射→极限连续函数→微分→积分”的顺序来编写，这样的编写顺序与微积分的历史发展顺序正好相反，而逆序讲授则人为增加了教学的抽象度与困难度；③微积分的传统教学模式只按“公理、定义、定理、证明”的步骤讲述逻辑演绎系统，而对于提出问题的艺术、概念的形成、公式和定理的发现，乃至理论的创造与发展过程，以及运用数学知识解决实际问题等更实际有趣的部分往往只字不提，结果使微积分学习显得枯燥乏味；④很多教师缺乏现代化教学意识，没有充分利用先进的教学设备进行教学，仍然采用一块黑板、一支粉笔和一本教案的传统教学方式，不少学生没有养成良好的学习习惯，缺乏正确的数学思维和理解方法，害怕数学乃至讨厌数学.
　　二、建构主义学习理论
　　建构主义是数学学习心理学的一项新进展，它认为学习不是一种被动的“复制”活动，而是学习者认知结构的主动建立、重组、改造和发展.建构主义把学习当成是学生主动的建构活动，教师是学生学习活动的促进者，通过探求知识发生和发展的脉络，找出适应学生原有知识结构的处理方式.课题怎样引入才最激发学生的兴趣？问题如何设置才既具有开放性又符合学生的“最近发展区”？采用什么方式最有利于学生原有的认知结构对型新概念的同化或顺应？在教学中，教师设置必要的情景和背景材料，引导学生提出问题，猜想结果，再验证、论证，激发学生去思考，通过思考得出结论，建构符合自己的知识体系.建构主义主张教师必须知道学生正在想什么和对所呈现的材料有何反应，重视诊断学生的工具——揭示思维模式、系统错误和误解暂留.在建构主义指导下的课堂教学中，教师必须建立学生的数学理解模式，发展学生的反省过程，辨认和商榷尝试性的解题途径，设计出有利于发展学生能力的种种教学模式，以发展学生的思维能力，培养学生善于提出问题、分析问题和解决问题的良好思维品质.
　　三、建构主义在微积分教学中的应用
　　1微积分教学内容的建构顺序
　　数学的发展大多先有创造或发现，然后才整理成逻辑系统.数学教学既要重视逻辑系统教学，又要重视创造和发现.因此，在微积分教学中，教师要按微积分发展顺序，精选一些具有代表性的教学例子.如讲述从古希腊开始，一直到牛顿与莱布尼兹发明微积分的历程，重点介绍微积分研究方法的进展、定理的发现和知识的演化.在此基础上探究微积分的逻辑基础，包括实数系的建构、连续函数有关定理的证明、极限的ε-δ和ε-N定义式，等等.这样的教学安排符合由简单、直观逐步进入复杂、抽象的学习原则，学生也能时时刻刻清楚自己身在何处，在干什么，有明确的学习方向感，不会在微积分学习中迷失方向.
　　2基于建构主义的微积分问题教学法
　　问题是数学的发源地.微积分起源于要解决一些古老而实用的问题，人们才创造出解决问题的概念与方法，经过长期的改进与演化，终于发展成一门漂亮的学问.微积分的基本问题是：①求积问题，即求面积、体积、表面积和曲线的长度等等；②求切问题，即求曲线的切线与法线；③求极值问题，即求函数的极大值或极小值；④研究物体的运动，即一个质点运动时，已知路程是时间的函数，反过来，已知速度函数，如何求出路程函数.事实上，这四类问题归结起来只有求积与求切这两类而已.在教学过程中，可从实际的背景出发提出问题，然后进行相应分析和论证，得出所需要的结论，最后应用到实际中去，突出培养学生的创造性思维.
　　3案例分析
　　教学目的：巩固所学知识，培养学生思维品质.
　　教学内容：三角函数有理式的积分，深刻理解原函数和不定积分的概念.
　　教学方法：启发式教学，师生互动.
　　教学手段：多媒体.
　　教学过程：
　　步骤一：复习三角函数有理式积分的有关理论知识.
　　步骤二：多媒体展示《数学分析》（高等教育出版社，1991）第262页例5：
　　求不定积分∫dxa2sin2x+b2cos2x.
　　解 由于∫dxa2sin2x+b2cos2x=∫sec2xdxa2tan2x+b2=∫d(tanx)a2tan2x+b2，令u=tanx，有：∫dxa2sin2x+b2cos2x=∫dua2u2+b2=1abarctanaub+C=1abarctanabtanx+C.
　　步骤三：分组讨论，介绍例题出处，请学生分析评判例题解法.因为是教材中的例题，又是著名大学编写的教材，很多学生没想到解法的错误，讨论中暴露类似的思维过程.
　　步骤四：
　　提问1：原函数的定义是什么？同学们立即回答：设F(x)与f(x)在区间I上都有定义，若F′(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数.
　　提问2：不定积分的定义是什么？学生能准确回答.
　　提示1：f(x)=1a2sin2x+b2cos2x与F(x)=1ab•arctanabtanx不是定义在同一区间上的，从而F(x)不是f(x)在某个区间上的一个原函数.
　　提示2：教材中从∫dxa2sin2x+b2cos2x变为∫sec2xdxa2tan2x+b2是被积函数分子分母同除以cos2x得到的，但是无形中就限制了cos2x≠0，这就导致F(x)与f(x)的定义区间不同.
　　上述案例依据建构主义理论，以学生为中心，让学生参与到教学中去自己发现错误、纠正错误，充分发挥了学习者的积极性、主动性，教师则充当引导者，并借助现代化的教学手段，实施积极高效的课堂教学，培养学生的数学思维品质和数学知识的系统建构.
　　4微积分课程的多媒体教学
　　在传统的数学教学中，教师总是把大量的教学时间用在板书和讲解上，学生忙于囫囵吞枣地埋头记笔记，师生之间疲于赶进度而缺乏交流和思考的时间，师生互动在大学数学课堂上难得一见.在微积分概念的讲授过程中，教师常常用自己的演讲代替学生的“建构”过程，使学生没能参与其中.而建构主义的数学课堂教学可以运用计算机多媒体课件形象直观地展示微积分的发展史，创设大量富有启发性的教学情境，培养学生数形结合的思维方式，实现历史异地的师生互动.计算机能将文字、图形、动画和声音有机地编排在一起，以多媒体的形式灵活地展示教学内容，激发学生的兴趣，增强学生学习的积极性.多媒体课件能调动多种感官参与，达到学习的最佳效果；能以超文本、超媒体的形式非线性地组织教学内容，使教学内容以网状结构的方式一步一步地呈现，能提高信息的传递效率.如在数形结合中繁杂数据的图表化、静态问题的动态化、复杂图形的绘制、动点轨迹的跟踪、函数图像的比较分析、运动过程的展现、运动速度的控制、截面问题、旋转问题、侧面展开、从不同的角度观察图形、空间图形的分解与组合、迭代问题，等等，依靠传统教具、语言描述等方式总显得苍白无力.若结合Mathead、几何画板或其他数学软件以及计算机语言和作图工具制作课件进行教学，由“听得懂”和“想得出”，变为“看得见”再到“想得出”，其教学能起到事半功倍的效果.
　　【参考文献】
　　［1］郑毓信.认知科学——建构主义与数学教育［M］.上海：上海教育出版社，1998:133-136.
　　［2］张维忠.建构主义的数学教学［J］.西北师范大学学报（自然科学版），1999，35（1）：81-85.
　　［3］辛自强.认知压力与建构主义数学教学的关系［J］.心理科学，2005，28（6）：1324-1329.
　　［4］朱春浩.以应用能力培养为主线建立高职数学课程体系［J］.职业技术教育，2001，22（4）：24-26.