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摘 要：应用刚度等效原理导出肋型板的等代无肋板厚度计算显式，方法适既适用于不同纵、横梁布置的板，也适用于板边各种支承情况，包括边界点支承的板。针对工程中肋型板不同的边界约束状况，给出挠曲试函数各种形式。计算过程涉及的数值积分简便易行，便于工程技术人员运用，与有限单元法相比，无需计算机程序。多个典型算例的结果表明，代换前后板上的挠度分布特征及扭转角分布特征与有限元法计算结果在2%～5%误差范围一致。
关键词：现浇肋型板；等效刚度；能量法
中图分类号：TU13 文献标识码：A
Abstract： explicit for calculating thickness of board without ribs are derived by the principle of equivalent stiffness of the rib board， The proposed method is applicable to the board in various decorate of transom and longitudinal beam， ， also apply to all kinds of plate edge support， including the plate supported by boundary point.In allusion to different type boundary constraints status of rib board in engineering， various forms of buckling trial function are given.Calculation process involves simple numerical integration only ， so convenient application to engineering and technical personnel. Compared with finite element method，don't need to computer program. The results of several typical examples show that distribution of deflection and reverse angle before and after stiffness replacement of the plate are consistent， and calculating error only 2%-5% to finite element method
Key words： Cast-in-situ rib board， equivalent stiffness， the energy method
肋型板包括各种边界支承条件下的楼（屋）面梁板结构、井字楼盖。肋型板竖向刚度是设计中关注的问题之一。由于竖向荷载作用下梁肋和板协同工作，板的刚度、梁肋刚度及板边支承条件的差异均会对这一结构体系的组合刚度产生影响，从而对肋板作用效应产生影响。对于肋型板的作用效应，常规的计算用有限单元法完成[1][2][3][4]，相对于无肋板而言，可供参考的计算结果并无现成的显式表述。我们从变形能等效原理出发，导出将各种肋形板等效为无肋板的等效刚度计算显式，适用于工程上应用的各类梁肋布置及各种边界支承肋型板的计算，旨在便于工程设计人员应用。
1.等变形能刚度代换
理论推理过程的基本假设是：具有相同平面尺寸的肋型板（图1a）与无肋板（图1b）在相同荷载q作用下具有相同的弹性变型能，根据虚功原理，a状态外力所做的功恒等于肋板变形后板内积畜的变形能 ：
因此可设a、b两状态的板有相同的挠曲试函数 ，即肋板与无肋板刚度相同。基于这一等刚度原则，a状态的变形能由板和x向梁肋 及y向梁肋 共同贡献：
其中：第一项面积分为周边简支或周边固支板的弹性变形能，第二、三项线积分分别为x向梁肋及y向梁肋的弯曲变形能，最后两项积分分别为x向梁肋及y向梁肋的扭转变形能。由于梁肋与板变形的协调性，梁肋的挠曲函数均由板的挠曲试函数 唯一确定：x向梁肋挠曲函数为：
从上表可见，随梁高宽比h/b增加，按材料力学计算的IP显著偏大。在杆系结构计算软件PKPM中，人为引入抗扭刚度折减系数（如0.4）以修正过大的抗扭刚度。我们认为采用（e）式计算杆的抗扭刚度更适宜。
对于无梁肋的b状态，其弹性变形能
（3）式为本文导出的与肋型板（图1a）具有相等横向刚度的等厚度板（图1b）的厚度tb。tb在设定板的挠曲试函数 后即可求得，所涉及的积分一般均为简单初等函数的定积分，运算过程并不冗繁。当板周边非完全简支或完全固支时[5]，第一项积分的被积函数 应改为 。
2.板的挠曲试函数
3.算例
3.1 算例一：周边简支的井字楼盖（图2）
取挠曲试函数 ，由（3）式计算等刚度代换后的无肋板厚
3.2算例二：周边固支的井字楼盖（图2）
取振型函数
3.3算例三：周边简支的肋型楼盖（图3）
3.4算例四：周边固支的肋型楼盖（图3）若上例中的肋型板周边固支，将相应数据代入（6a）（6b）式后，由（5）式计算得等刚度代换后的无肋板厚
4.结论
4.1应用能量原理导出肋型板与无肋板间等刚度转换的板厚度计算显式。计算过程涉及的定积分运算简便，方法适用于工程技术人员应用，较有限单元法更简单快捷。一但与肋型板刚度等效的等厚无肋板厚度 求得后，则可应用弹性理论经典方法[5]或既有的相关表格[6][7][8][9]查出肋型板的设计控制挠度。计算结果表明，采用本文方法计算的肋板挠度分布、扭转角分布与有限元计算结果在2%—6%的误差范围一致。
4.2所得算式既适用于单向布肋的板，也适用于双向布肋的板，只需在计算式中改变纵、横向梁肋划分数m，n。
4.3所提出的计算方法适用于肋型板边界约束条件任意的情况，包括板边点（柱）支承的情况，只需在（4）式设定满足边界约束条件的初等函数 ， 。
4.4多个典型算例结果表明，肋型板中梁肋的扭转变形能对等效板厚 的影响并不显著，对等效无肋板厚度 产生显著影响的主要因素是梁肋的弯曲变形能，考虑梁肋扭转对 贡献与不考虑梁肋扭转对等效板厚的的贡献相差5%—10%，这一特点对于其他边界支承条件及其他梁肋布置的板是典型的。
参考文献
[1] 丁圣果编著.分析结构力学[M] 贵州科技出版社，2011
[2] 谢贻权、何福保.弹性和塑性力学中的有限单元法（M）机械工业出版社，北京：2000
[3] 丁圣果、刘广宁、李绮文.肋形楼盖的一种有限元算法及其内力分布.建筑结构[J].1999.6
[4] 张先进、胡彬彬.框架结构中双向板挠度的非线性有限元分析.武汉理工大学学报[J]，2005.3
[5] 徐芝纶.弹性力学（下）[M] 高等教育出版社， 北京：1980
[6] 沈蒲生、罗国强.混凝土结构（下册）[M] .武汉工业大学出版社，1993
[7] 曹光荣.现浇钢筋混凝土双向板挠度的试验研究[D].东南大学硕士论文，2005
[8] 張建荣.双向板在线荷载作用下的内力与挠度计算表格.结构工程师[J]， 1993
[9] 张文福、马昌恒.局部荷载作用下四边固支矩形板的计算用表.大庆石油学院学报，[J]2006
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【文章编号】1627-6868（2017）05-0025-04
【作者简介】丁婷（1979-）女，贵州贵阳人，工学硕士，讲师，主要研究方向：混凝土结构。
【基金项目】贵州省科学技术基金，项目批准号：黔科合J字[2011]2014号。
关键词：现浇肋型板；等效刚度；能量法
中图分类号：TU13 文献标识码：A
Abstract： explicit for calculating thickness of board without ribs are derived by the principle of equivalent stiffness of the rib board， The proposed method is applicable to the board in various decorate of transom and longitudinal beam， ， also apply to all kinds of plate edge support， including the plate supported by boundary point.In allusion to different type boundary constraints status of rib board in engineering， various forms of buckling trial function are given.Calculation process involves simple numerical integration only ， so convenient application to engineering and technical personnel. Compared with finite element method，don't need to computer program. The results of several typical examples show that distribution of deflection and reverse angle before and after stiffness replacement of the plate are consistent， and calculating error only 2%-5% to finite element method
Key words： Cast-in-situ rib board， equivalent stiffness， the energy method
肋型板包括各种边界支承条件下的楼（屋）面梁板结构、井字楼盖。肋型板竖向刚度是设计中关注的问题之一。由于竖向荷载作用下梁肋和板协同工作，板的刚度、梁肋刚度及板边支承条件的差异均会对这一结构体系的组合刚度产生影响，从而对肋板作用效应产生影响。对于肋型板的作用效应，常规的计算用有限单元法完成[1][2][3][4]，相对于无肋板而言，可供参考的计算结果并无现成的显式表述。我们从变形能等效原理出发，导出将各种肋形板等效为无肋板的等效刚度计算显式，适用于工程上应用的各类梁肋布置及各种边界支承肋型板的计算，旨在便于工程设计人员应用。
1.等变形能刚度代换
理论推理过程的基本假设是：具有相同平面尺寸的肋型板（图1a）与无肋板（图1b）在相同荷载q作用下具有相同的弹性变型能，根据虚功原理，a状态外力所做的功恒等于肋板变形后板内积畜的变形能 ：
因此可设a、b两状态的板有相同的挠曲试函数 ，即肋板与无肋板刚度相同。基于这一等刚度原则，a状态的变形能由板和x向梁肋 及y向梁肋 共同贡献：
其中：第一项面积分为周边简支或周边固支板的弹性变形能，第二、三项线积分分别为x向梁肋及y向梁肋的弯曲变形能，最后两项积分分别为x向梁肋及y向梁肋的扭转变形能。由于梁肋与板变形的协调性，梁肋的挠曲函数均由板的挠曲试函数 唯一确定：x向梁肋挠曲函数为：
从上表可见，随梁高宽比h/b增加，按材料力学计算的IP显著偏大。在杆系结构计算软件PKPM中，人为引入抗扭刚度折减系数（如0.4）以修正过大的抗扭刚度。我们认为采用（e）式计算杆的抗扭刚度更适宜。
对于无梁肋的b状态，其弹性变形能
（3）式为本文导出的与肋型板（图1a）具有相等横向刚度的等厚度板（图1b）的厚度tb。tb在设定板的挠曲试函数 后即可求得，所涉及的积分一般均为简单初等函数的定积分，运算过程并不冗繁。当板周边非完全简支或完全固支时[5]，第一项积分的被积函数 应改为 。
2.板的挠曲试函数
3.算例
3.1 算例一：周边简支的井字楼盖（图2）
取挠曲试函数 ，由（3）式计算等刚度代换后的无肋板厚
3.2算例二：周边固支的井字楼盖（图2）
取振型函数
3.3算例三：周边简支的肋型楼盖（图3）
3.4算例四：周边固支的肋型楼盖（图3）若上例中的肋型板周边固支，将相应数据代入（6a）（6b）式后，由（5）式计算得等刚度代换后的无肋板厚
4.结论
4.1应用能量原理导出肋型板与无肋板间等刚度转换的板厚度计算显式。计算过程涉及的定积分运算简便，方法适用于工程技术人员应用，较有限单元法更简单快捷。一但与肋型板刚度等效的等厚无肋板厚度 求得后，则可应用弹性理论经典方法[5]或既有的相关表格[6][7][8][9]查出肋型板的设计控制挠度。计算结果表明，采用本文方法计算的肋板挠度分布、扭转角分布与有限元计算结果在2%—6%的误差范围一致。
4.2所得算式既适用于单向布肋的板，也适用于双向布肋的板，只需在计算式中改变纵、横向梁肋划分数m，n。
4.3所提出的计算方法适用于肋型板边界约束条件任意的情况，包括板边点（柱）支承的情况，只需在（4）式设定满足边界约束条件的初等函数 ， 。
4.4多个典型算例结果表明，肋型板中梁肋的扭转变形能对等效板厚 的影响并不显著，对等效无肋板厚度 产生显著影响的主要因素是梁肋的弯曲变形能，考虑梁肋扭转对 贡献与不考虑梁肋扭转对等效板厚的的贡献相差5%—10%，这一特点对于其他边界支承条件及其他梁肋布置的板是典型的。
参考文献
[1] 丁圣果编著.分析结构力学[M] 贵州科技出版社，2011
[2] 谢贻权、何福保.弹性和塑性力学中的有限单元法（M）机械工业出版社，北京：2000
[3] 丁圣果、刘广宁、李绮文.肋形楼盖的一种有限元算法及其内力分布.建筑结构[J].1999.6
[4] 张先进、胡彬彬.框架结构中双向板挠度的非线性有限元分析.武汉理工大学学报[J]，2005.3
[5] 徐芝纶.弹性力学（下）[M] 高等教育出版社， 北京：1980
[6] 沈蒲生、罗国强.混凝土结构（下册）[M] .武汉工业大学出版社，1993
[7] 曹光荣.现浇钢筋混凝土双向板挠度的试验研究[D].东南大学硕士论文，2005
[8] 張建荣.双向板在线荷载作用下的内力与挠度计算表格.结构工程师[J]， 1993
[9] 张文福、马昌恒.局部荷载作用下四边固支矩形板的计算用表.大庆石油学院学报，[J]2006
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【文章编号】1627-6868（2017）05-0025-04
【作者简介】丁婷（1979-）女，贵州贵阳人，工学硕士，讲师，主要研究方向：混凝土结构。
【基金项目】贵州省科学技术基金，项目批准号：黔科合J字[2011]2014号。