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摘要：形式化是现代数学的特征之一，但目前数学教学中存在着过度形式化的问题，往往将丰富多彩的数学思想淹没在形式化的海洋中。适度“非形式化”是要在数学教学中力求“来自生活”，用质朴反映数学的本源。同时，数学教学过程要教会学生在“数学思考”中优化思维，重视学生在发现中诠释数学的实质，从而在非形式化教学中提高数学教学的有效性。
关键词：非形式化;数学教学;生活;数学思考
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2015）10A-0069-03
英国大哲学家、数学家A·N·怀特在他的教育代表作《教育目的》中指出：“在古代学校里，哲学家们渴望传授的是智慧，而现代学校，我们降低了目标，教授的是学科。从神圣的智慧沦落到教材知识，标志了多少世纪以来教育上的失败。”反思我们的数学教学现状，学生在数学学习的过程中，不断地被概念和法则所束缚，逐渐丧失了独立思考和想象的能力，这是应当引起警惕的。抽象是数学的特性，然而，一味地讲抽象、严谨，除了把不喜欢数学的学生吓跑之外，并没有给数学带来多少好处。要知道，“理性”和“思维”一旦远离了它实践的源泉成了“无源之水”，太多“抽象”的近亲繁殖，就会使数学学科处于退化的危险之中。目前，正在逐渐深入的课程改革，要求在学生数学入门阶段，减少纯数学语言，给予他们更多形象化的东西，“数学教学活动必须建立在学生已有的知识经验基础之上”。数学课程标准在这些基本理念的观照下，我们的数学教学正在返璞归真。
一、来自生活，用质朴反映数学的本源
有过这样的小事情：一个小孩子在吃饭的时候发筷子，先把筷子在桌上顿一顿，然后选出同样长短的一双筷子发出。这在小孩是一个平常的发现或者平常的做法，但在他的作为数学老师的祖父看来，却大有深意。于是，他在教两条线段长短比较的时候，举了孙子顿筷子的例子，在教通分的时候，又举了这个例子。在他看来，这样顿一顿就把原来筷子两头的矛盾面转化为一个矛盾面，它反映了一种思想方法。在不同分子，不同分母的分数大小比较问题上，只要像把筷子的一头顿齐一样，然后，要比较的只有分子了，问题就简化了。对生活中事件的感悟，可以形成观察事物的观点，数学的学习同样如此。
解决一个数学问题，首先不是逻辑，而是对这个问题的某种感悟。
分数的意义教学片断：
教师：当我们看到一个分数的时候，我们可以将下方的数字看成“可能是什么，”上方的数字看成“是什么”。那么，请同学们解释一下，当一杯橙汁中维生素C的含量是我们每天对维生素C需求量1/2的时候，它指的是什么意思？（板书1/2）
（学生有些茫然）
教师：我们可以用什么词来描述上方的数字？
学生：一杯橙汁“可能是什么”。
教师：下方的数字呢？
学生：我们每天的需求量“是什么”。
教师：那么，请同学们考虑一个与自身有关的例子。
学生：上一节课我们进行了“英译汉”比赛，一节课总共40分钟，我用20分钟就完成了试卷。
教师：那么，你用怎样的数来表示这个时间？
学生：用20表示“是什么”，40表示“可能是什么”，上方的数字是下方的一半。哦，我明白了，上面这个1/2的意思是，一杯橙汁可以提供人一天维生素C需求量的一半。
教师：好的，下面我们进行下一个内容。
数学知识尽管表现为形式化的符号，但它可视为具体生活经验和常识的系统化，它可以在学生的生活背景中找到实体模型。上述案例，教师通过追随可让学生回忆起来的心理步骤，让学生对数学知识进行感悟，而不是就分数的概念讲分数的意义。数学的思考是怎样产生的？学生在做一道题的时候，他的思维是怎样的？数学家迪厄多内说：“富有创造性的科学家与众不同的地方，在于他们对所研究的对象有活生生的构想和深刻的了解。”这些构想与了解结合起来，就是所谓的直觉或感悟。事实上，学生可能的数学现实空间比我们想象的大得多，问题是我们没有使学生对所学的数学知识进行感悟。回顾一下我们自己的教学过程，我们在教学分数大小比较的时候，可曾让学生在“顿一顿筷子”这样质朴的事件里去领悟通分的必要性;我们在教学分数的意义时，又是否利用学生独特的生活经历来建构他们自己的回答，从而总结出一个过程，以便在类似情境中独立地使用。也许我们忘了从这样最质朴的感悟开始，去为学生提供一根木桩，使学生能够把自己提升至高一级的阶梯之上。
感悟所强调的，是体验、融合、自得，它不是知识的分割和堆积，是对记忆的升华。什么叫“两个相关联的量？”只要钓过鱼就知道，浮标沉浮的状态反映着鱼吃不吃饵的状态——非常生动的相关联现象;把食物放在小狗前面不远处，小狗箭也似地飞奔过去，跑的决然是一条直线——两点之间，线段最短。义务教育数学课程标准指出：要把学生从单纯的解题技巧和证明中解放出来，让学生学习真正的数学。西方数学教育界也提出“非形式化的数学教学”。这些都在提醒我们的数学教学要摆脱过度形式化的束缚，联系学生的日常生活实际，把数学呈现为学生容易接受的“教育形态”。
我们所强调的感悟，正是要把深刻的数学原理附着在生活中浅显的事例上。
二、数学思维，用发现诠释数学的实质
德波诺曾经有过这样一个说法：当我们驱车从A地到B地的时候，常常是因为车速过快，而始终忽视了路旁还有一个C点，C点那里还有一条很好的路，由A到B的路越顺畅，忽视C点的可能性就越大。就小学数学教学的现状分析，课堂教学设计和进行教学的一般程序，首先是设定教学目标，其中最具体的是学科知识的认识性目标，浅者要求达到讲清知识，深者要求达到发展能力;其次是设计教学过程，其中除了设计课堂教学的程序之外，重点是按教材逻辑，分解设计一系列问题及练习。课堂上，教师常常为完成教案，无论是问题还是练习，都在培养学生的条列式思维，而不是培养辐射式思维，总在尽可能努力引导学生达到预定文案。沿用德波诺所说，我们总竭力想使学生从A到B走得顺畅，而不注意路旁的C。 数学的学习，优化思维应放在第一位，掌握概念或建立法则应放在第二位，训练同优化思维相比，层次要低得多。
二十以内的加法课堂教学片断：
教师：（出示口算）1 9=？ 2 8=？ 3 7=？
关键词：非形式化;数学教学;生活;数学思考
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2015）10A-0069-03
英国大哲学家、数学家A·N·怀特在他的教育代表作《教育目的》中指出：“在古代学校里，哲学家们渴望传授的是智慧，而现代学校，我们降低了目标，教授的是学科。从神圣的智慧沦落到教材知识，标志了多少世纪以来教育上的失败。”反思我们的数学教学现状，学生在数学学习的过程中，不断地被概念和法则所束缚，逐渐丧失了独立思考和想象的能力，这是应当引起警惕的。抽象是数学的特性，然而，一味地讲抽象、严谨，除了把不喜欢数学的学生吓跑之外，并没有给数学带来多少好处。要知道，“理性”和“思维”一旦远离了它实践的源泉成了“无源之水”，太多“抽象”的近亲繁殖，就会使数学学科处于退化的危险之中。目前，正在逐渐深入的课程改革，要求在学生数学入门阶段，减少纯数学语言，给予他们更多形象化的东西，“数学教学活动必须建立在学生已有的知识经验基础之上”。数学课程标准在这些基本理念的观照下，我们的数学教学正在返璞归真。
一、来自生活，用质朴反映数学的本源
有过这样的小事情：一个小孩子在吃饭的时候发筷子，先把筷子在桌上顿一顿，然后选出同样长短的一双筷子发出。这在小孩是一个平常的发现或者平常的做法，但在他的作为数学老师的祖父看来，却大有深意。于是，他在教两条线段长短比较的时候，举了孙子顿筷子的例子，在教通分的时候，又举了这个例子。在他看来，这样顿一顿就把原来筷子两头的矛盾面转化为一个矛盾面，它反映了一种思想方法。在不同分子，不同分母的分数大小比较问题上，只要像把筷子的一头顿齐一样，然后，要比较的只有分子了，问题就简化了。对生活中事件的感悟，可以形成观察事物的观点，数学的学习同样如此。
解决一个数学问题，首先不是逻辑，而是对这个问题的某种感悟。
分数的意义教学片断：
教师：当我们看到一个分数的时候，我们可以将下方的数字看成“可能是什么，”上方的数字看成“是什么”。那么，请同学们解释一下，当一杯橙汁中维生素C的含量是我们每天对维生素C需求量1/2的时候，它指的是什么意思？（板书1/2）
（学生有些茫然）
教师：我们可以用什么词来描述上方的数字？
学生：一杯橙汁“可能是什么”。
教师：下方的数字呢？
学生：我们每天的需求量“是什么”。
教师：那么，请同学们考虑一个与自身有关的例子。
学生：上一节课我们进行了“英译汉”比赛，一节课总共40分钟，我用20分钟就完成了试卷。
教师：那么，你用怎样的数来表示这个时间？
学生：用20表示“是什么”，40表示“可能是什么”，上方的数字是下方的一半。哦，我明白了，上面这个1/2的意思是，一杯橙汁可以提供人一天维生素C需求量的一半。
教师：好的，下面我们进行下一个内容。
数学知识尽管表现为形式化的符号，但它可视为具体生活经验和常识的系统化，它可以在学生的生活背景中找到实体模型。上述案例，教师通过追随可让学生回忆起来的心理步骤，让学生对数学知识进行感悟，而不是就分数的概念讲分数的意义。数学的思考是怎样产生的？学生在做一道题的时候，他的思维是怎样的？数学家迪厄多内说：“富有创造性的科学家与众不同的地方，在于他们对所研究的对象有活生生的构想和深刻的了解。”这些构想与了解结合起来，就是所谓的直觉或感悟。事实上，学生可能的数学现实空间比我们想象的大得多，问题是我们没有使学生对所学的数学知识进行感悟。回顾一下我们自己的教学过程，我们在教学分数大小比较的时候，可曾让学生在“顿一顿筷子”这样质朴的事件里去领悟通分的必要性;我们在教学分数的意义时，又是否利用学生独特的生活经历来建构他们自己的回答，从而总结出一个过程，以便在类似情境中独立地使用。也许我们忘了从这样最质朴的感悟开始，去为学生提供一根木桩，使学生能够把自己提升至高一级的阶梯之上。
感悟所强调的，是体验、融合、自得，它不是知识的分割和堆积，是对记忆的升华。什么叫“两个相关联的量？”只要钓过鱼就知道，浮标沉浮的状态反映着鱼吃不吃饵的状态——非常生动的相关联现象;把食物放在小狗前面不远处，小狗箭也似地飞奔过去，跑的决然是一条直线——两点之间，线段最短。义务教育数学课程标准指出：要把学生从单纯的解题技巧和证明中解放出来，让学生学习真正的数学。西方数学教育界也提出“非形式化的数学教学”。这些都在提醒我们的数学教学要摆脱过度形式化的束缚，联系学生的日常生活实际，把数学呈现为学生容易接受的“教育形态”。
我们所强调的感悟，正是要把深刻的数学原理附着在生活中浅显的事例上。
二、数学思维，用发现诠释数学的实质
德波诺曾经有过这样一个说法：当我们驱车从A地到B地的时候，常常是因为车速过快，而始终忽视了路旁还有一个C点，C点那里还有一条很好的路，由A到B的路越顺畅，忽视C点的可能性就越大。就小学数学教学的现状分析，课堂教学设计和进行教学的一般程序，首先是设定教学目标，其中最具体的是学科知识的认识性目标，浅者要求达到讲清知识，深者要求达到发展能力;其次是设计教学过程，其中除了设计课堂教学的程序之外，重点是按教材逻辑，分解设计一系列问题及练习。课堂上，教师常常为完成教案，无论是问题还是练习，都在培养学生的条列式思维，而不是培养辐射式思维，总在尽可能努力引导学生达到预定文案。沿用德波诺所说，我们总竭力想使学生从A到B走得顺畅，而不注意路旁的C。 数学的学习，优化思维应放在第一位，掌握概念或建立法则应放在第二位，训练同优化思维相比，层次要低得多。
二十以内的加法课堂教学片断：
教师：（出示口算）1 9=？ 2 8=？ 3 7=？