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摘要：“幽”在曲径中，“美”源于回转之间。回转即理性的回归，凸显以小见大、以微见卓，去领略“退”的真谛与哲理。在知识的最近发展区，预设与生成之间，可管窥学生认知规律，找准教与学的切合点。品味“曲径通幽”带来的生命价值及治学态度。
关键词：最近发展区；思维进阶；退化；搭建；归边
在新课改理念指导下，教师是教学活动的组织与引领者，是课堂活动的参与者、起主导作用。要不惜时，不惜力引导学生去探求，去认知发现，走知识发现之路，完成概念生成的建构，达到生活与知识无缝链接。以二项式定理生成的教学案例，谈谈个人认识与感悟。
一、问题的提出
师：大家知道 （a b）2=a2 2ab b2
（a b）3=a3 3a2b 3ab2 b3
推而广之，请大家说说这一特征一般性问题？
生：（a b）n的展开式并且n为正整数。
【感悟】：等式左右特征、项系数特征是二项式定理生成的生长点，在学生的最近发展区预设，激活学生的思绪，去探求建构一般性问题的生成。充分彰显教师的主导，学生的主体地位，搭建探究课堂的平台。
二、问题的探究
师：如何解决？请大家谈谈自己的设想。
：分别计算出n=4，5，6的展开式，观察规律。由等差数列的通项公式发现过程一样，去猜测（a b）n的展开式，再给出证明。
师：想法很自然也很好，特殊到一般，观察发现法，就按照这种想法，我们不访试一试。（学生表现很自信，有不服输的感觉）
生众：（a b）4=（a b）（a b）3=（a b）（a3 3a2b 3ab2 b3）
=a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
（a b）5=（a b）（a b）4=（a b）（a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4）
=a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5
（a b）6=（a b）（a b）5=（a b）（a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5）
=a6 6a5b 15a4b2 20a3b3 15a2b4 6ab5 b6
似乎找到其“感觉”，但对这个具体的代数式“n”，感到力不从心，不知安放在哪为恰当。有只可意会，不可言传之感！
师：大家猜测出展开式了吗？
：还没有完全猜出，但我只观察猜想到右边的项数是n 1项，各项次数均为n。
：补充道系数有对称性，字母a，b次数有升降关系。
：我与以上的两位同学有认同感，但系数具体为多少，还有点懵，不太具体。
师：很好！虽然没完全解决，基本有解决问题的雏形了，排除万难，知难而上。如何排除字母“n”的干扰。
三、抽丝剥茧、问题的解决
师：对“系数”分析，将n=2，3，4，5，6的系数抽取隔离出来，排成排排看看。你有什么发现？相互讨论讨论！ ...............（10分钟后）
请第一组同学派一个代表到展示台展示，并为组内同学讨论结果作解释：呈三角形分布，两端的系数均为1（即首尾系数为1）
第二组展示结果：除首末两数外，任一系数都是上方两个数的和。
师：不错。板书同学们发现的成果
并对这一发现作补充详尽介绍，引领学生穿越文化经典，感受祖国瑰丽文化之宝。
【感悟】：虽然有了一些小发现，小成就，作了基础性的定性分析及定量计算。但系数本身的生成还未达到，凭借系数上下特征也仅仅是停留在猜想层面。学生因“疑”而起，引领攻克最为困难的一步“系数”生成规律。
四、攻坚苦难，理性回归
师：生成的系数是n的什么表達式呢？
学生看了看杨辉三角图，还是很茫然。（上下是有规律？）
师：要回答是什么？怎么样，请回看n=2，3，4，5，6系数的生成。我们追本溯源，返璞归真。
生：利用多项式相乘，再合并同类项得到。
师：很好！退回到多项式相乘，合并同类项。我们还可以“退回”到刚学过的计数原理上去。
师：板书n=3时情形
（a b）3=（a b）（a b）（a b）（1）
=………………
=a3 3a2b 3ab2 b3（2）
师：由（1）（2）兩式发现各项字母生成规律（各个字母的来源探求）
生：a2b由两个a和一个b分别来自于三个不同的括号，其中两个括号选a，一个选b。
师：系数规律呢？
生：用组合数表示的3=C23·C11 （分两步，第一步选a，第二步选b）。
【感悟】：以支解分化的办法来分散难点，用整合方式达到无蓬连接、分分合合，才是数学发现之美。
师：很不错！同学们学会用元素、位置分析法解决实际问题。
1、从选a入手，三个括号中选2个a有C23种选法。
2、剩下只能选b，只有一种情况
再由乘法原理，系数生成为 C23·C11 。
【感悟】：攻克最为困难的一步是系数的生成规律的探求，无论是以a入手，还是以b入手，都要明确一个人围标准，在新课标下，更注重归纳与类比的推理，蓦然回首，所用攻克工具在学生认知的最近发展区。
五、理解内化，深化拔高
师：通过前面的探求发现，能否得到更为一般性的结论呢？如何得到？
生：（a b）n=C0nan C1nan-1b … Crnan-rbr … Cnnbn（n∈N）
（教师板书，二项式定理） 师：结论一定正确吗？（学生质疑，面面相觑）
生戊：正确。但要证明。
生已：正确。不需要证明，只又觉得归纳猜想的结论不一定正确，不太全面。
师：请学生戊谈谈证明构想。
生戊：（板书）
由此可看出n个（a b）括号中都要取出a或b，只有把n个括号取满后，才能得到展开式中的一项，才算完成一件事。由分步原理共有个不同的项，其中每一项都是an-knbk （k = 0，1，2，…，n）的形式，由合并同类项所得，接下来思路中断！
数学科代表又补充道：
对具体的某字母k而言，对应的项为an-knbk，可以这样理解，有n个括号，指定k个括号选填b，这样的填法有Ckn种，自然余下的（n-k）个括号就只能选a了，故（a b）n的展开式中，an-knbk（k = 0，1，2，…，n）共有Ckn个（k=0，1，2，…，n）一合并同类项就可得到 （a b）n=C0nan C1nan-1b … Crnan-rbr … Cnnbn （n∈N）
师：以上思路流程经历“特殊-猜想-证明”，是后结合取括号用“说理”的方式证明的，这并不是唯一的方法，今后有待学习。
师：大家如何分析该形式的结构及系数的特征？并说明理由。
（学生经过自主探求，组内讨论，全班交流，找出展开式的通项进行解读，巩固发现）
Tk 1 = Cknan-kbk （k = 0，1，2，…，n），共有n 1项
师：理由呢？
生辛：回归到取括号，从n个括号中选k个括号填b，余下（n-k）个括号只能填a，这样的填法有Ckn种，各项为Cknan-kbk，其中Ckn是与a、b无关，仅与n有关的组合数。
师：很好！
還探明了组合Ckn （0≤k≤n）有n 1个，把这个组合数叫做二项式系数，探求還在进行…………！
一路走来，时而驻足看看，时而蓦然回首间，真可谓风光无限，人在画中游，余味未尽。时间在流逝，内心很纠结………！
【感悟】：本堂课以彰显课改理念，追求个性化的教学思想为指导进行设计，（以学生活动，能发现，善发现，会总结为流程设计）不是送真理，而是引导发现、探求真理。采用层次分析、目标分析、逐层探究。学生参与活动为主，借助生活体验让学生亲力亲为得出结论或规律，整个过程交由学生主宰。突破“系数生成”这一难题，体验从特殊到一般，具体到抽象。追本溯源、以退为进、迂回曲径的研究策略，为学生搭建积极主动，自主建构探究的平台。学会观察、归纳、反思，逻辑推理及叙说能力。对提出问题、分析问题、解决问题、评价问题起到引领、训练作用，加强了情感体验以达思维进阶之效。蓬门为君开，只等君来采！
参考文献：
[1]张建跃. 理解数学.理解学生.理教教学[J].中国数学教学.2010
[2]方均斌，蒋志萍.数学教学设计与案例分析：浙江大学出版社，2012.
[3]刘三红.数学课堂教学设计案例分析[J].教育时空，2013
[4]奂文英.数学教学设计案例[J].教育科学，2010（03）.
[5]曹一呜.数学实验教学探究[J].课程.教材.教法，2013（1）.
关键词：最近发展区；思维进阶；退化；搭建；归边
在新课改理念指导下，教师是教学活动的组织与引领者，是课堂活动的参与者、起主导作用。要不惜时，不惜力引导学生去探求，去认知发现，走知识发现之路，完成概念生成的建构，达到生活与知识无缝链接。以二项式定理生成的教学案例，谈谈个人认识与感悟。
一、问题的提出
师：大家知道 （a b）2=a2 2ab b2
（a b）3=a3 3a2b 3ab2 b3
推而广之，请大家说说这一特征一般性问题？
生：（a b）n的展开式并且n为正整数。
【感悟】：等式左右特征、项系数特征是二项式定理生成的生长点，在学生的最近发展区预设，激活学生的思绪，去探求建构一般性问题的生成。充分彰显教师的主导，学生的主体地位，搭建探究课堂的平台。
二、问题的探究
师：如何解决？请大家谈谈自己的设想。
：分别计算出n=4，5，6的展开式，观察规律。由等差数列的通项公式发现过程一样，去猜测（a b）n的展开式，再给出证明。
师：想法很自然也很好，特殊到一般，观察发现法，就按照这种想法，我们不访试一试。（学生表现很自信，有不服输的感觉）
生众：（a b）4=（a b）（a b）3=（a b）（a3 3a2b 3ab2 b3）
=a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
（a b）5=（a b）（a b）4=（a b）（a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4）
=a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5
（a b）6=（a b）（a b）5=（a b）（a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5）
=a6 6a5b 15a4b2 20a3b3 15a2b4 6ab5 b6
似乎找到其“感觉”，但对这个具体的代数式“n”，感到力不从心，不知安放在哪为恰当。有只可意会，不可言传之感！
师：大家猜测出展开式了吗？
：还没有完全猜出，但我只观察猜想到右边的项数是n 1项，各项次数均为n。
：补充道系数有对称性，字母a，b次数有升降关系。
：我与以上的两位同学有认同感，但系数具体为多少，还有点懵，不太具体。
师：很好！虽然没完全解决，基本有解决问题的雏形了，排除万难，知难而上。如何排除字母“n”的干扰。
三、抽丝剥茧、问题的解决
师：对“系数”分析，将n=2，3，4，5，6的系数抽取隔离出来，排成排排看看。你有什么发现？相互讨论讨论！ ...............（10分钟后）
请第一组同学派一个代表到展示台展示，并为组内同学讨论结果作解释：呈三角形分布，两端的系数均为1（即首尾系数为1）
第二组展示结果：除首末两数外，任一系数都是上方两个数的和。
师：不错。板书同学们发现的成果
并对这一发现作补充详尽介绍，引领学生穿越文化经典，感受祖国瑰丽文化之宝。
【感悟】：虽然有了一些小发现，小成就，作了基础性的定性分析及定量计算。但系数本身的生成还未达到，凭借系数上下特征也仅仅是停留在猜想层面。学生因“疑”而起，引领攻克最为困难的一步“系数”生成规律。
四、攻坚苦难，理性回归
师：生成的系数是n的什么表達式呢？
学生看了看杨辉三角图，还是很茫然。（上下是有规律？）
师：要回答是什么？怎么样，请回看n=2，3，4，5，6系数的生成。我们追本溯源，返璞归真。
生：利用多项式相乘，再合并同类项得到。
师：很好！退回到多项式相乘，合并同类项。我们还可以“退回”到刚学过的计数原理上去。
师：板书n=3时情形
（a b）3=（a b）（a b）（a b）（1）
=………………
=a3 3a2b 3ab2 b3（2）
师：由（1）（2）兩式发现各项字母生成规律（各个字母的来源探求）
生：a2b由两个a和一个b分别来自于三个不同的括号，其中两个括号选a，一个选b。
师：系数规律呢？
生：用组合数表示的3=C23·C11 （分两步，第一步选a，第二步选b）。
【感悟】：以支解分化的办法来分散难点，用整合方式达到无蓬连接、分分合合，才是数学发现之美。
师：很不错！同学们学会用元素、位置分析法解决实际问题。
1、从选a入手，三个括号中选2个a有C23种选法。
2、剩下只能选b，只有一种情况
再由乘法原理，系数生成为 C23·C11 。
【感悟】：攻克最为困难的一步是系数的生成规律的探求，无论是以a入手，还是以b入手，都要明确一个人围标准，在新课标下，更注重归纳与类比的推理，蓦然回首，所用攻克工具在学生认知的最近发展区。
五、理解内化，深化拔高
师：通过前面的探求发现，能否得到更为一般性的结论呢？如何得到？
生：（a b）n=C0nan C1nan-1b … Crnan-rbr … Cnnbn（n∈N）
（教师板书，二项式定理） 师：结论一定正确吗？（学生质疑，面面相觑）
生戊：正确。但要证明。
生已：正确。不需要证明，只又觉得归纳猜想的结论不一定正确，不太全面。
师：请学生戊谈谈证明构想。
生戊：（板书）
由此可看出n个（a b）括号中都要取出a或b，只有把n个括号取满后，才能得到展开式中的一项，才算完成一件事。由分步原理共有个不同的项，其中每一项都是an-knbk （k = 0，1，2，…，n）的形式，由合并同类项所得，接下来思路中断！
数学科代表又补充道：
对具体的某字母k而言，对应的项为an-knbk，可以这样理解，有n个括号，指定k个括号选填b，这样的填法有Ckn种，自然余下的（n-k）个括号就只能选a了，故（a b）n的展开式中，an-knbk（k = 0，1，2，…，n）共有Ckn个（k=0，1，2，…，n）一合并同类项就可得到 （a b）n=C0nan C1nan-1b … Crnan-rbr … Cnnbn （n∈N）
师：以上思路流程经历“特殊-猜想-证明”，是后结合取括号用“说理”的方式证明的，这并不是唯一的方法，今后有待学习。
师：大家如何分析该形式的结构及系数的特征？并说明理由。
（学生经过自主探求，组内讨论，全班交流，找出展开式的通项进行解读，巩固发现）
Tk 1 = Cknan-kbk （k = 0，1，2，…，n），共有n 1项
师：理由呢？
生辛：回归到取括号，从n个括号中选k个括号填b，余下（n-k）个括号只能填a，这样的填法有Ckn种，各项为Cknan-kbk，其中Ckn是与a、b无关，仅与n有关的组合数。
师：很好！
還探明了组合Ckn （0≤k≤n）有n 1个，把这个组合数叫做二项式系数，探求還在进行…………！
一路走来，时而驻足看看，时而蓦然回首间，真可谓风光无限，人在画中游，余味未尽。时间在流逝，内心很纠结………！
【感悟】：本堂课以彰显课改理念，追求个性化的教学思想为指导进行设计，（以学生活动，能发现，善发现，会总结为流程设计）不是送真理，而是引导发现、探求真理。采用层次分析、目标分析、逐层探究。学生参与活动为主，借助生活体验让学生亲力亲为得出结论或规律，整个过程交由学生主宰。突破“系数生成”这一难题，体验从特殊到一般，具体到抽象。追本溯源、以退为进、迂回曲径的研究策略，为学生搭建积极主动，自主建构探究的平台。学会观察、归纳、反思，逻辑推理及叙说能力。对提出问题、分析问题、解决问题、评价问题起到引领、训练作用，加强了情感体验以达思维进阶之效。蓬门为君开，只等君来采！
参考文献：
[1]张建跃. 理解数学.理解学生.理教教学[J].中国数学教学.2010
[2]方均斌，蒋志萍.数学教学设计与案例分析：浙江大学出版社，2012.
[3]刘三红.数学课堂教学设计案例分析[J].教育时空，2013
[4]奂文英.数学教学设计案例[J].教育科学，2010（03）.
[5]曹一呜.数学实验教学探究[J].课程.教材.教法，2013（1）.