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现实生活中常涉及一些计数问题，此类问题背景新颖，具有较强的实际意义与时代气息. 这样的试题不拘泥于具体的知识点，而且在文科数学试卷中出现的频率比较高. 求解此类问题不仅需要排列、组合的知识做基础，更要具备一定的阅读理解能力，良好的数学应用意识。将此类实际问题抽象提纯为数学问题的建模意识，不仅能够考查分类讨论、等价转化、函数与方程等思想方法，而且对培养数学思维是不可多得的素材. 特别是对文科生，建立了这样的思想方法后，就可以较好地解答这类题目.下面举例分析，希望能够对同学们有所帮助.
一、穷举计数
例1 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁带，根据需要软件至少买3片，磁带至少买2盒。则不同的选购方式共有（ ）
A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种
故不同的选购方式共有7种，应选C.
例2 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄。为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方式共有 种（用数字作答）.
【解析】画图法——用×表示种上作物的地垄，O表示没有种上作物的地垄，则合乎题意的不同用地方式可画图穷举如下：
共6种，对于每种用地方式，地垄上所种的两种作物可以互换位置，即有两种不同的种植方式，故合乎题意的不同选垄方法共有12种.
〖点评〗上述两例可以认为是排列、组合问题，但却不能归结为排列、组合数学中的某项知识，与其说运用了组合计数的方法，倒不如说是运用了返璞归真，回归原始的列举法；与其说运用了加法原理与乘法原理，倒不如说是运用了分类讨论的思想.这样的试题，把它归结考查某种思维方法是自然的，而归结为考查某几个知识点就显得牵强附会，高考试题的这种导向应引起我们的注意.
二、对应计数
例3 在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场的比赛结果，失败者退出比赛），最后产生一名冠军，则一共要举行 比赛.
【解析】要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的所有其他选手，也就是要淘汰99名选手，每淘汰一名选手就要进行一场比赛；反之，每进行一场比赛就要淘汰一名选手，两者是一一对应的，故一共要进行99场比赛.
〖点评〗此题若采用常规思维方法，就会使求解过程变得复杂，而换一种思维方式，则使人豁然开朗，步入新境. 这种创新思维方式，能使人从“山穷水尽”到“柳暗花明”。利用对应计数，其实质是用转化的思想去寻找解题途径，只要转化得当，求解过程常常是妙不可言.
三、集合计数
例4 对某城市1000户的居民生活水平进行调查，统计结果有空调819户，汽车682户，空调和汽车二者都有的535户，则空调和汽车至少有一种的有
户.
【解析】如图1所示，设有空调的集合为A，有汽车的集合为B，则n（A）=819，n（B）=682，n（A∩B）=535.故空调和汽车至少有一种的有n（A∪B）=n（A）+n（B）-n（A∩B）=819+682-535=966.
故所求结果为966户.
〖点评〗借助集合运算的文氏图形式，可清晰地显示问题的实质，有利于不重不漏计数的进行.
四、分类计数
例5 甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛，决出了第一到第五名的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你与乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这个回答分析，5人的名词排列共可能有
（用数字作答）种不同情况.
【解析】转化为数学模型，问题等价于“甲、乙、丙、丁、戊5名学生排队，其中甲不排头，乙既不排头也不排尾，共有多少种排法？”按甲分两类探求：第一类，甲排尾共有3P33种；第二类，甲不排尾，共有P32P33种. 则由加法原理，共有3P33+P32P33=54种不同的情况.
〖点评〗考虑所有可能情况，分类研究，化整为零，各个击破，利用加法原理计数，有利于降低问题的难度，促使问题解决. 分类计数是处理这类问题最基本、最有效的方式之一.
五、分步计数
例6 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛. 3名主力队员要安排在一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、第四位置，那么不同的出场安排共有 场.
【解析】分步探求：第一步，先安排第一、三、五位置，有P33种；第二步，安排二、四位置，有P72种. 根据乘法原理，不同的出场安排共有P33×P72=252种.
〖点评〗细致地观察命题层次，视其特点分步，依次向前推进，运用乘法原理计数，抓住了问题的切入点.
活学活用
1. 某初中学校新学期开学有10位学生因家庭搬迁转入此校八年级学习，把10位同学分入八年级的1，2，3三个班，使得分到班级的人数不小于班级编号数，那么这种各班所分人数的不同分法共有（ ）
A. 9种 B. 12种 C. 15种 D. 18种
2. 欲将一张100元的人民币换成零钱，已知现有足够10元、20元、50元的人民币，问共有 种不同的换法.
3. 从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门，组成一组综合高考科目组，若要求这组科目中文理科都有，则不同的选法的种数为 （用数字作答）.
4. 某城市中M、N两地之间有整齐的道路网，如图2所示。若规定向东或向北两个方向沿图中矩形的边前进，则从M到N不同的走法共有（ ）
A. 25种 B. 15种
C. 13种 D. 10种
参考答案：1. C 2. 10 3. 120 4. B
一、穷举计数
例1 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁带，根据需要软件至少买3片，磁带至少买2盒。则不同的选购方式共有（ ）
A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种
故不同的选购方式共有7种，应选C.
例2 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄。为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方式共有 种（用数字作答）.
【解析】画图法——用×表示种上作物的地垄，O表示没有种上作物的地垄，则合乎题意的不同用地方式可画图穷举如下：
共6种，对于每种用地方式，地垄上所种的两种作物可以互换位置，即有两种不同的种植方式，故合乎题意的不同选垄方法共有12种.
〖点评〗上述两例可以认为是排列、组合问题，但却不能归结为排列、组合数学中的某项知识，与其说运用了组合计数的方法，倒不如说是运用了返璞归真，回归原始的列举法；与其说运用了加法原理与乘法原理，倒不如说是运用了分类讨论的思想.这样的试题，把它归结考查某种思维方法是自然的，而归结为考查某几个知识点就显得牵强附会，高考试题的这种导向应引起我们的注意.
二、对应计数
例3 在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场的比赛结果，失败者退出比赛），最后产生一名冠军，则一共要举行 比赛.
【解析】要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的所有其他选手，也就是要淘汰99名选手，每淘汰一名选手就要进行一场比赛；反之，每进行一场比赛就要淘汰一名选手，两者是一一对应的，故一共要进行99场比赛.
〖点评〗此题若采用常规思维方法，就会使求解过程变得复杂，而换一种思维方式，则使人豁然开朗，步入新境. 这种创新思维方式，能使人从“山穷水尽”到“柳暗花明”。利用对应计数，其实质是用转化的思想去寻找解题途径，只要转化得当，求解过程常常是妙不可言.
三、集合计数
例4 对某城市1000户的居民生活水平进行调查，统计结果有空调819户，汽车682户，空调和汽车二者都有的535户，则空调和汽车至少有一种的有
户.
【解析】如图1所示，设有空调的集合为A，有汽车的集合为B，则n（A）=819，n（B）=682，n（A∩B）=535.故空调和汽车至少有一种的有n（A∪B）=n（A）+n（B）-n（A∩B）=819+682-535=966.
故所求结果为966户.
〖点评〗借助集合运算的文氏图形式，可清晰地显示问题的实质，有利于不重不漏计数的进行.
四、分类计数
例5 甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛，决出了第一到第五名的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你与乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这个回答分析，5人的名词排列共可能有
（用数字作答）种不同情况.
【解析】转化为数学模型，问题等价于“甲、乙、丙、丁、戊5名学生排队，其中甲不排头，乙既不排头也不排尾，共有多少种排法？”按甲分两类探求：第一类，甲排尾共有3P33种；第二类，甲不排尾，共有P32P33种. 则由加法原理，共有3P33+P32P33=54种不同的情况.
〖点评〗考虑所有可能情况，分类研究，化整为零，各个击破，利用加法原理计数，有利于降低问题的难度，促使问题解决. 分类计数是处理这类问题最基本、最有效的方式之一.
五、分步计数
例6 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛. 3名主力队员要安排在一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、第四位置，那么不同的出场安排共有 场.
【解析】分步探求：第一步，先安排第一、三、五位置，有P33种；第二步，安排二、四位置，有P72种. 根据乘法原理，不同的出场安排共有P33×P72=252种.
〖点评〗细致地观察命题层次，视其特点分步，依次向前推进，运用乘法原理计数，抓住了问题的切入点.
活学活用
1. 某初中学校新学期开学有10位学生因家庭搬迁转入此校八年级学习，把10位同学分入八年级的1，2，3三个班，使得分到班级的人数不小于班级编号数，那么这种各班所分人数的不同分法共有（ ）
A. 9种 B. 12种 C. 15种 D. 18种
2. 欲将一张100元的人民币换成零钱，已知现有足够10元、20元、50元的人民币，问共有 种不同的换法.
3. 从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门，组成一组综合高考科目组，若要求这组科目中文理科都有，则不同的选法的种数为 （用数字作答）.
4. 某城市中M、N两地之间有整齐的道路网，如图2所示。若规定向东或向北两个方向沿图中矩形的边前进，则从M到N不同的走法共有（ ）
A. 25种 B. 15种
C. 13种 D. 10种
参考答案：1. C 2. 10 3. 120 4. B