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在初中数学中，勾股定理描述了一个关于直角三角形三边关系的数学等式：“在Rt△ABC中，如果∠C=90°，两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2”。而方程是初中数学最基本、最重要的知识和思想，在涉及到求直角三角形边长的问题中，可以借助勾股定理列出方程，从而得到快速而有效的解决。
一、已知直角三角形一边及另两边的关系
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6，求AB的长。
析：可设BC=x，那么AB=2x；
则：62+x2=（2x）2；
解得：[x=23]，[∴AB=43]。
例2.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，求旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）。
析：作BE⊥AD于E，则BE=8m，AD=AB；
设AB=x，那么AE=x-2；
在Rt△ABE中有：82+（x-2）2=（x）2；
解得：x=17。
二、经过折叠前后产生三角形全等，利用勾股定理列方程求解
例3.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。
析：依题意得△ADE≌△AFE；
那么DE=EF，AD=AF=BC=10，AB=DC=8；
設EC=x，EF=8-x；
∵∠B=90°，[∴BF=102-82=6]；
∴CF=10-6=4；
∵∠C=90°，∴42+x2=（8-x）2；
解得x=3，∴EC=3cm
三、利用两个直角三角形中相等的边来建立方程模型
例4.为了丰富青少年的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，该社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，試问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？
析：设AE=x，则BE=25-x；
∵CA⊥AB，DB⊥AB；
∴∠CAE=∠EBD=90°；
∴CE2=AC2+AE2=152+x2，DE2=BE2+BD2=（25-x）2+102；
依题意得CE=DE，∴152+x2=（25-x）2+102；
解得x=10；
∴图书室E应该建在距点A的10km处。
总之，在直角三角形中，已知两边的数量关系，可以设其中一边为未知数，在利用勾股定理列出方程，通过解方程进而求出各边的长。这样的数形结合，在解决实际问题中均能广泛应用。
一、已知直角三角形一边及另两边的关系
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6，求AB的长。
析：可设BC=x，那么AB=2x；
则：62+x2=（2x）2；
解得：[x=23]，[∴AB=43]。
例2.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，求旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）。
析：作BE⊥AD于E，则BE=8m，AD=AB；
设AB=x，那么AE=x-2；
在Rt△ABE中有：82+（x-2）2=（x）2；
解得：x=17。
二、经过折叠前后产生三角形全等，利用勾股定理列方程求解
例3.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。
析：依题意得△ADE≌△AFE；
那么DE=EF，AD=AF=BC=10，AB=DC=8；
設EC=x，EF=8-x；
∵∠B=90°，[∴BF=102-82=6]；
∴CF=10-6=4；
∵∠C=90°，∴42+x2=（8-x）2；
解得x=3，∴EC=3cm
三、利用两个直角三角形中相等的边来建立方程模型
例4.为了丰富青少年的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，该社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，試问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？
析：设AE=x，则BE=25-x；
∵CA⊥AB，DB⊥AB；
∴∠CAE=∠EBD=90°；
∴CE2=AC2+AE2=152+x2，DE2=BE2+BD2=（25-x）2+102；
依题意得CE=DE，∴152+x2=（25-x）2+102；
解得x=10；
∴图书室E应该建在距点A的10km处。
总之，在直角三角形中，已知两边的数量关系，可以设其中一边为未知数，在利用勾股定理列出方程，通过解方程进而求出各边的长。这样的数形结合，在解决实际问题中均能广泛应用。