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随着函数与导数内容的结合,一般的问题都是先从求导开始,而求导又有规范的方法,利用导数判断函数的单调性也有规定的尺度,所以函数问题的解题思路比较规范,方向比较明确,难度也有所下降,从某种意义上讲考查演绎推理能力的任务正在由数列问题分担。近几年江苏的数列问题都是等差、等比数列的性质及有关整数的性质。今年将继续保持这一风格,仍然考查等差数列与等比数列的性质,且可能将它作为压轴题来考,这样对数列的性质可能有进一步的考查。
考点1 等差、等比数列的综合应用
【例1】 已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且Sn是14与(an+1)2的等比中项.
(1) 求证:数列{an}是等差数列;
(2) 若bn= an2n,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn.
分析 (1) 证明数列{an}是等差数列,应按定义从第二项开始每一项与前一项之差为常数,所以利用Sn与an之间关系的,将Sn与an关系式化为an与an-1的关系式,即计算an-an-1的值。
(2) 一个等差数列与一个等比数列对应项乘积之和常用错项相消法。
解 (1) 证明:由题知Sn=14(an+1)2,
当n=1时,a1=14(a1+1)2,∴a1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=14(an+1)2-14(an-1+1)2,∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0.∵an>0,∴ an-an-1-2=0.即当n≥2时,an-an-1=2,∴数列{an}是等差数列.
(2) 由(1)知数列{an}是以1为首项,以2为公差的等差数列,∴an=1+(n-1)•2=2n-1.
∵bn=an2n= 2n-12n,则Tn=12+322+523+…+2n-32n-1+2n-12n,①
∴ 12Tn= 122+323+524+…+2n-32n+2n-12n+1,②
由①-②得
12Tn=12+2122+123+…+12n-2n-12n+1
=12+2•141-12n-11-12-2n-12n+1
=12+1-12n-1-2n-12n+1,
∴Tn=3-2n+32n.
点拨
(1) 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差、等比数列的通项公式,前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点。
(2) 利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值。同时对两种数列的性质,要熟悉它们的推导过程,利用好性质,可使问题易于解决;有些问题还需利用条件联立方程求解。
考点2 数列中的最值问题
【例2】 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,n∈N*.
(1) 证明:{an-1}是等比数列;
(2) 求数列{Sn}的通项公式,并求出n为何值时,Sn取得最小值?并说明理由.
分析 由于Sn=n-5an-85,故可由公式法求通项公式的思路消去Sn,建立an与an-1的关系。
解 (1) ∵Sn=n-5an-85,∴当n=1时,S1=1-5a1-85, 即a1=1-5a1-85,解得a1=-14;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n-5an-85)-[(n-1)-5an-1-85]=-5an+5an-1+1,整理得6an=5an-1+1,∴6(an-1)=5(an-1-1), ∴an-1an-1-1=56,又a1-1=-15,∴数列{an-1}是以-15为首项,56为公比的等比数列.
(2) 由(1)知,an-1=-15×56n-1,∴an=-15×56n-1+1,代入Sn=n-5an-85,得:
Sn=n-5(-15)×56n-1+1-85=n+75×56n-1-90.
设Sk为最小值,则Sk≤Sk-1,Sk≤Sk+1,
即ak≤0,ak+1≥0,
-1556k-1+1≤0,
-1556k+1≥0,
56k≤115,56k-1≥115.
∴k-1≤log56115,
k≥log56115,
即log56115≤k≤log56115+1,
又log56115=lg115lg56=-(lg3-lg2+1)1-2lg2-lg3,
lg2≈0.301 0,lg3≈0.477 1, ∴ log56115≈14.9.
∴14.9≤k≤15.9. 又∵k∈N*,∴k=15.
即当n=15时,Sn取得最小值.
点拨
在数列中,若Sn与an关系已知,求通项用公式法,这是最基本的思路;数列是特殊的函数,因此可以用函数的思想解决数列问题,同时注意数列本身的特点,如本题中最小值的求法。
考点3 新定义下的数列问题
【例3】 给出下面的数表序列:
表1 表2 表3 …
1
1 3 4
1 3 54 8 12
其中表n(n=1,2,3,…)有n行,第1行的n个数是1,3,5,…,2n-1,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.
(1) 写出表4,验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明);
(2) 每个数表中最后一行都只有一个数,它们构成数列1,4,12,…,记此数列为{bn}.求和:
b3b1b2+b4b2b3+…+bn+2bnbn+1(n∈N*).
分析 由表1~表3行间关系,易得表4;由题意归纳数列{bn},并求所给的和。
解 (1) 表4为
1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32,它们构成首项为4,公比为2的等比数列.将这一结论推广到表n(n≥3),即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成
首项为n,公比为2的等比数列.
简证如下:(对考生不作要求)
首先,表n(n≥3)的第1行1,3,5,…,2n-1是等差数列,其平均数为
1+3+…+(2n-1)n=n;其次,若表n的第k(1≤k≤n-1)行a1,a2,…,an-k+1是等差数列,则它的第k+1行a1+a2,a2+a3,…,an-k+an-k+1也是等差数列.由等差数列的性质知,表n的第k行中的数的平均数与第k+1行中的数的平均数分别是a1+an-k+12,a1+a2+an-k+an-k+12=
a1+an-k+1.
由此可知,表n(n≥3)各行中的数都成等差数列,且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列.
同类相从,同声相应,固天理也。——(战国)庄周
(2) 表n的第1行是1,3,5,…,2n-1,其平均数是1+3+5+…+(2n-1)n=n(n∈N*).
由(1)知,它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列(从而它的第k行中的数的平均数是
n•2k-1),于是,表n中最后一行的唯一一个数为bn=n•2n-1(n∈N*).
因此bk+2bkbk+1=(k+2)2k+1k•2k-1(k+1)•2k=
k+2k(k+1)•2k-2=2(k+1)-kk(k+1)•2k-2=1k•2k-3-1(k+1)•2k-2.(k=1,2,3,…,n)
故 b3b1b2+b4b2b3+…+bn+2bnbn+1=11×2-2-12×2-1+12×2-1-13×20+…+1n×2n-3-1(n+1)×2n-2
=11×2-2-1(n+1)×2n-2=4-1(n+1)×2n-2
点拨
本题以数表序列为载体,考查等差、等比数列的定义、性质、通项公式、数列的求和(裂项求和)等基础知识。通过第(1)问的类比推理,很好地考查了推理论证能力。通过第(2)问对新数列的分析和归纳,综合考查了同学们的归纳推理能力、运算求解能力,考查大家是否具有审慎的思维习惯和一定的数学素养。
考点4 数列在实际问题中的应用
【例4】 假设某市2011年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底.
(1) 该市历年所建中低价房的累计面(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米?
(2) 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次不小于85%(参考数据:1.084≈1.36,1.085≈1.47 ).
分析 (1)要求学生会把实际问题转化为数学问题:Sn=250n+n(n-1)2×50=25n2+225n≥4 750.
(2) an>0.85bn,bn=400×1.08n-1.
解 (1)设中低价房的面积形成的数列为{an},由题意可知{an}是等差数列,其中a1=250,d=50,则an=250+(n-1)•50=50n+200,Sn=250n+n(n-1)2×50=25n2+225n,
令25n2+225n≥4 750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数,∴n≥10.∴到2019年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.
(2) 设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则
bn=400•(1.08)n-1.由题意可知an>0.85bn,即50n+200>400•(1.08)n-1•0.85.
当n=5时,a5<0.85b5,
当n=6时,a6>0.85b6,
∴满足上述不等式的最小正整数n为6.
∴到2016年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
点拨
解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题,通过反复读题,列出有关信息,转化为数列的有关问题,这也是数学实际应用的具体体现。
牛刀小试
1. 已知等差数列{an}的前11项和S11=66,则第6项a6= .
2. 在7和56之间分别插入实数a、b与c、d,使7、a、b、56成等差数列,且使7、c、d、56成等比数列,则a+b+c+d= .
3. 数列{an}的通项an=n2cos2nπ3-sin2nπ3,其前n项和为Sn,则S30= .
4. 五位同学围成一圈依序循环报数,规定:①第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;②若报出的数为3的倍数,则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数,当五位同学依序循环报到第100个数时,甲同学拍手的总次数为 .
5. 对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列ann+1的前n项和的公式是 .
6. 设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.(1) 求数列{an}的通项公式;(2) 令bn=lna3n+1(n=1,2,…),求数列{bn}的前n项和Tn.
7. 已知An(an,bn)(n∈N*)是曲线y=ex上的点,a1=a,Sn是数列{an}的前n项和,且满足S2n=3n2an+S2n-1,an≠0,n=2,3,4,….
(1) 证明:数列bn+2bn(n≥2)是常数数列;
(2) 确定a的取值集合M,使a∈M时,数列{an}是单调递增数列;
(3) 证明:当a∈M时,弦AnAn+1(n∈N*)的斜率随n单调递增.
【参考答案】
1. 6 2. 105 3. 470 4. 5 5. 2n+1-2
6. (1) an=2n-1
(2) 由于
bn=lna3n+1,n=1,2,…,由(1)得a3n+1=23n,∴bn=ln23n,
∴bn=ln23n=3nln2.
又bn+1-bn=3ln2,∴{bn}是等差数列,
∴Tn=b1+b2+…+bn
=n(b1+bn)2=n(3ln2+3nln2)2
=3n(n+1)2ln2,
故Tn=3n(n+1)2ln2.
7. (1) 当n≥2时,由已知得S2n-S2n-1=3n2an.
因为an=Sn-Sn-1≠0,所以Sn+Sn-1=3n2.①
于是Sn+1+Sn=3(n+1)2.②
由②-①得an+1+an=6n+3.③
于是an+2+an+1=6n+9.④
由④-③得an+2-an=6,⑤
所以bn+2bn=ean+2ean=ean+2-an=e6,即数列bn+2bn(n≥2)是常数数列.
(2) 由①有S2+S1=12,所以a2=12-2a.由③有a3+a2=15,a4+a3=21,所以a3=3+2a,a4=18-2a.
而 ⑤表明:数列{a2k}和{a2k+1}分别是以a2,a3为首项,6为公差的等差数列,
所以a2k=a2+6(k-1),a2k+1=a3+6(k-1),a2k+2=a4+6(k-1)(k∈N*),
数列{an}是单调递增数列a1
a1 a1
即所求a的取值集合是
M=a94
154.
(3) 解法一:弦AnAn+1的斜率为
kn=bn+1-bnan+1-an=ean+1-eanan+1-an,
任取x0,设函数f(x)=ex-ex0x-x0,则f(x)=ex(x-x0)-(ex-ex0)(x-x0)2,
记g(x)=ex(x-x0)-(ex-ex0),则g′(x)=ex(x-x0)+ex-ex=ex(x-x0),
当x>x0时,g′(x)>0,g(x)在(x0,+∞)上为增函数,
当x
所以x≠x0时,g(x)>g(x0)=0,从而f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,x0)和(x0,+∞)上都是增函数.
由(2)知,a∈M时,数列{an}单调递增,
取x0=an,因为an
取x0=an+2,因为anean-ean+2an-an+2.
所以kn
解法二:设函数f(x)=ex-ean+1x-an+1,同解法一得,f(x)在(-∞,an+1)和(an+1,+∞)上都是增函数,
所以kn=ean-ean+1an-an+1 < limn→a-n+1ex-ean+1x-an+1=ean+1,kn+1=ean+2-ean+1an+2-an+1>
limn→a+n+1ex-ean+1x-an+1=ean+1.
故kn
(作者:曹瑞彬,江苏省启东中学数学特级教师)
考点1 等差、等比数列的综合应用
【例1】 已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且Sn是14与(an+1)2的等比中项.
(1) 求证:数列{an}是等差数列;
(2) 若bn= an2n,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn.
分析 (1) 证明数列{an}是等差数列,应按定义从第二项开始每一项与前一项之差为常数,所以利用Sn与an之间关系的,将Sn与an关系式化为an与an-1的关系式,即计算an-an-1的值。
(2) 一个等差数列与一个等比数列对应项乘积之和常用错项相消法。
解 (1) 证明:由题知Sn=14(an+1)2,
当n=1时,a1=14(a1+1)2,∴a1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=14(an+1)2-14(an-1+1)2,∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0.∵an>0,∴ an-an-1-2=0.即当n≥2时,an-an-1=2,∴数列{an}是等差数列.
(2) 由(1)知数列{an}是以1为首项,以2为公差的等差数列,∴an=1+(n-1)•2=2n-1.
∵bn=an2n= 2n-12n,则Tn=12+322+523+…+2n-32n-1+2n-12n,①
∴ 12Tn= 122+323+524+…+2n-32n+2n-12n+1,②
由①-②得
12Tn=12+2122+123+…+12n-2n-12n+1
=12+2•141-12n-11-12-2n-12n+1
=12+1-12n-1-2n-12n+1,
∴Tn=3-2n+32n.
点拨
(1) 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差、等比数列的通项公式,前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点。
(2) 利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值。同时对两种数列的性质,要熟悉它们的推导过程,利用好性质,可使问题易于解决;有些问题还需利用条件联立方程求解。
考点2 数列中的最值问题
【例2】 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,n∈N*.
(1) 证明:{an-1}是等比数列;
(2) 求数列{Sn}的通项公式,并求出n为何值时,Sn取得最小值?并说明理由.
分析 由于Sn=n-5an-85,故可由公式法求通项公式的思路消去Sn,建立an与an-1的关系。
解 (1) ∵Sn=n-5an-85,∴当n=1时,S1=1-5a1-85, 即a1=1-5a1-85,解得a1=-14;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n-5an-85)-[(n-1)-5an-1-85]=-5an+5an-1+1,整理得6an=5an-1+1,∴6(an-1)=5(an-1-1), ∴an-1an-1-1=56,又a1-1=-15,∴数列{an-1}是以-15为首项,56为公比的等比数列.
(2) 由(1)知,an-1=-15×56n-1,∴an=-15×56n-1+1,代入Sn=n-5an-85,得:
Sn=n-5(-15)×56n-1+1-85=n+75×56n-1-90.
设Sk为最小值,则Sk≤Sk-1,Sk≤Sk+1,
即ak≤0,ak+1≥0,
-1556k-1+1≤0,
-1556k+1≥0,
56k≤115,56k-1≥115.
∴k-1≤log56115,
k≥log56115,
即log56115≤k≤log56115+1,
又log56115=lg115lg56=-(lg3-lg2+1)1-2lg2-lg3,
lg2≈0.301 0,lg3≈0.477 1, ∴ log56115≈14.9.
∴14.9≤k≤15.9. 又∵k∈N*,∴k=15.
即当n=15时,Sn取得最小值.
点拨
在数列中,若Sn与an关系已知,求通项用公式法,这是最基本的思路;数列是特殊的函数,因此可以用函数的思想解决数列问题,同时注意数列本身的特点,如本题中最小值的求法。
考点3 新定义下的数列问题
【例3】 给出下面的数表序列:
表1 表2 表3 …
1
1 3 4
1 3 54 8 12
其中表n(n=1,2,3,…)有n行,第1行的n个数是1,3,5,…,2n-1,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.
(1) 写出表4,验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明);
(2) 每个数表中最后一行都只有一个数,它们构成数列1,4,12,…,记此数列为{bn}.求和:
b3b1b2+b4b2b3+…+bn+2bnbn+1(n∈N*).
分析 由表1~表3行间关系,易得表4;由题意归纳数列{bn},并求所给的和。
解 (1) 表4为
1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32,它们构成首项为4,公比为2的等比数列.将这一结论推广到表n(n≥3),即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成
首项为n,公比为2的等比数列.
简证如下:(对考生不作要求)
首先,表n(n≥3)的第1行1,3,5,…,2n-1是等差数列,其平均数为
1+3+…+(2n-1)n=n;其次,若表n的第k(1≤k≤n-1)行a1,a2,…,an-k+1是等差数列,则它的第k+1行a1+a2,a2+a3,…,an-k+an-k+1也是等差数列.由等差数列的性质知,表n的第k行中的数的平均数与第k+1行中的数的平均数分别是a1+an-k+12,a1+a2+an-k+an-k+12=
a1+an-k+1.
由此可知,表n(n≥3)各行中的数都成等差数列,且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列.
同类相从,同声相应,固天理也。——(战国)庄周
(2) 表n的第1行是1,3,5,…,2n-1,其平均数是1+3+5+…+(2n-1)n=n(n∈N*).
由(1)知,它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列(从而它的第k行中的数的平均数是
n•2k-1),于是,表n中最后一行的唯一一个数为bn=n•2n-1(n∈N*).
因此bk+2bkbk+1=(k+2)2k+1k•2k-1(k+1)•2k=
k+2k(k+1)•2k-2=2(k+1)-kk(k+1)•2k-2=1k•2k-3-1(k+1)•2k-2.(k=1,2,3,…,n)
故 b3b1b2+b4b2b3+…+bn+2bnbn+1=11×2-2-12×2-1+12×2-1-13×20+…+1n×2n-3-1(n+1)×2n-2
=11×2-2-1(n+1)×2n-2=4-1(n+1)×2n-2
点拨
本题以数表序列为载体,考查等差、等比数列的定义、性质、通项公式、数列的求和(裂项求和)等基础知识。通过第(1)问的类比推理,很好地考查了推理论证能力。通过第(2)问对新数列的分析和归纳,综合考查了同学们的归纳推理能力、运算求解能力,考查大家是否具有审慎的思维习惯和一定的数学素养。
考点4 数列在实际问题中的应用
【例4】 假设某市2011年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底.
(1) 该市历年所建中低价房的累计面(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米?
(2) 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次不小于85%(参考数据:1.084≈1.36,1.085≈1.47 ).
分析 (1)要求学生会把实际问题转化为数学问题:Sn=250n+n(n-1)2×50=25n2+225n≥4 750.
(2) an>0.85bn,bn=400×1.08n-1.
解 (1)设中低价房的面积形成的数列为{an},由题意可知{an}是等差数列,其中a1=250,d=50,则an=250+(n-1)•50=50n+200,Sn=250n+n(n-1)2×50=25n2+225n,
令25n2+225n≥4 750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数,∴n≥10.∴到2019年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.
(2) 设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则
bn=400•(1.08)n-1.由题意可知an>0.85bn,即50n+200>400•(1.08)n-1•0.85.
当n=5时,a5<0.85b5,
当n=6时,a6>0.85b6,
∴满足上述不等式的最小正整数n为6.
∴到2016年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
点拨
解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题,通过反复读题,列出有关信息,转化为数列的有关问题,这也是数学实际应用的具体体现。
牛刀小试
1. 已知等差数列{an}的前11项和S11=66,则第6项a6= .
2. 在7和56之间分别插入实数a、b与c、d,使7、a、b、56成等差数列,且使7、c、d、56成等比数列,则a+b+c+d= .
3. 数列{an}的通项an=n2cos2nπ3-sin2nπ3,其前n项和为Sn,则S30= .
4. 五位同学围成一圈依序循环报数,规定:①第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;②若报出的数为3的倍数,则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数,当五位同学依序循环报到第100个数时,甲同学拍手的总次数为 .
5. 对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列ann+1的前n项和的公式是 .
6. 设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.(1) 求数列{an}的通项公式;(2) 令bn=lna3n+1(n=1,2,…),求数列{bn}的前n项和Tn.
7. 已知An(an,bn)(n∈N*)是曲线y=ex上的点,a1=a,Sn是数列{an}的前n项和,且满足S2n=3n2an+S2n-1,an≠0,n=2,3,4,….
(1) 证明:数列bn+2bn(n≥2)是常数数列;
(2) 确定a的取值集合M,使a∈M时,数列{an}是单调递增数列;
(3) 证明:当a∈M时,弦AnAn+1(n∈N*)的斜率随n单调递增.
【参考答案】
1. 6 2. 105 3. 470 4. 5 5. 2n+1-2
6. (1) an=2n-1
(2) 由于
bn=lna3n+1,n=1,2,…,由(1)得a3n+1=23n,∴bn=ln23n,
∴bn=ln23n=3nln2.
又bn+1-bn=3ln2,∴{bn}是等差数列,
∴Tn=b1+b2+…+bn
=n(b1+bn)2=n(3ln2+3nln2)2
=3n(n+1)2ln2,
故Tn=3n(n+1)2ln2.
7. (1) 当n≥2时,由已知得S2n-S2n-1=3n2an.
因为an=Sn-Sn-1≠0,所以Sn+Sn-1=3n2.①
于是Sn+1+Sn=3(n+1)2.②
由②-①得an+1+an=6n+3.③
于是an+2+an+1=6n+9.④
由④-③得an+2-an=6,⑤
所以bn+2bn=ean+2ean=ean+2-an=e6,即数列bn+2bn(n≥2)是常数数列.
(2) 由①有S2+S1=12,所以a2=12-2a.由③有a3+a2=15,a4+a3=21,所以a3=3+2a,a4=18-2a.
而 ⑤表明:数列{a2k}和{a2k+1}分别是以a2,a3为首项,6为公差的等差数列,
所以a2k=a2+6(k-1),a2k+1=a3+6(k-1),a2k+2=a4+6(k-1)(k∈N*),
数列{an}是单调递增数列a1
a1 a1
即所求a的取值集合是
M=a94
154.
(3) 解法一:弦AnAn+1的斜率为
kn=bn+1-bnan+1-an=ean+1-eanan+1-an,
任取x0,设函数f(x)=ex-ex0x-x0,则f(x)=ex(x-x0)-(ex-ex0)(x-x0)2,
记g(x)=ex(x-x0)-(ex-ex0),则g′(x)=ex(x-x0)+ex-ex=ex(x-x0),
当x>x0时,g′(x)>0,g(x)在(x0,+∞)上为增函数,
当x
所以x≠x0时,g(x)>g(x0)=0,从而f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,x0)和(x0,+∞)上都是增函数.
由(2)知,a∈M时,数列{an}单调递增,
取x0=an,因为an
取x0=an+2,因为anean-ean+2an-an+2.
所以kn
解法二:设函数f(x)=ex-ean+1x-an+1,同解法一得,f(x)在(-∞,an+1)和(an+1,+∞)上都是增函数,
所以kn=ean-ean+1an-an+1 < limn→a-n+1ex-ean+1x-an+1=ean+1,kn+1=ean+2-ean+1an+2-an+1>
limn→a+n+1ex-ean+1x-an+1=ean+1.
故kn
(作者:曹瑞彬,江苏省启东中学数学特级教师)