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摘要：对牟合方盖法计算球体积教学中出现的三个难点——牟合方盖的由来、抽象牟合方盖的理解及牟合方盖体积的计算进行逐个突破，以期对教学设计有启发和借鉴作用。
关键词：球体积 牟合方盖 数学史
一、问题的提出
球体积公式是高中数学基本内容，不同的推导方法常常会达到不同的教育效果。有的教师通过切片求极限的方法得出球体积公式，培养了学生极限思想。有的教师利用球面小锥体结合球表面积公式推得球体积公式，培养了学生近似求和的思想。有的教师借此机会探寻古今中外的方法，向学生展示人类智慧的成果。比如，教师通过截面原理（祖暅原理）的引入，验证得出半球体积等于同底等高圆柱体挖去同底等高圆锥体的体积（公理法）。这种处理方式尽管介绍了中国古代的重要原理，却舍弃了知识生动的发生发展过程，未能充分展现其教学功能和文化功能。若能进一步引入中国古代计算球体积的重要立体——牟合方盖，利用牟合方盖计算球体积，不仅可以让学生经历古人“以方套圆，化圆为方”的求解历程，拓展学生的思维，还是一次增强民族自豪感的文化教育和爱国教育。有教师尝试向学生讲授上述各种推导方法，从课后学生的问卷调查[1]来看，牟合方盖法“太深奥，难以理解，自己根本不可能想到，即使勉强看懂了，也无法掌握”。何以古人一千多年前的推导方法不能为学生接受？学生在理解上遇到哪些困难？只有知道了这些，教师才能更好地进行针对性的教学设计。
二、牟合方盖法计算球体积的教学难点及其对策
有学者将数学史融入数学教学分为四种方式：附加式、复制式、顺应式和重构式。[2]对于“深奥，难以理解”的牟合方盖法，教师首先应该理解史料，并按照学生的数学实际找到教学中的难点，才能进行创造性的教学设计，将数学史料更好地融入教学，最大化地发挥其教育功能。
难点1：构造牟合方盖的缘由
球体积的计算是古代几何学中的一个难题。为了获得球体积的精确公式，东西方都竭尽了好几代人的智慧，利用当时所有的科学成果，创造出许多重要的数学方法和精巧的几何构造物。在西方有古希腊阿基米德的力学方法和17世纪意大利人卡瓦列利的不可分量方法，而在东方则有我国刘徽所构造的牟合方盖。牟合方盖不是自然无形体的摹写，而是为论证的需要构造出来的特殊形状的几何体。因而，它的发明是以深刻的数学思想与方法为指导的，此数学思想即截面原理，就是我们现在所说的“祖暅原理”。
古人对截面原理早有深刻理解。从《九章算术》“商功章”各求积术的编排顺序来看，作者有意将所有圆体安排在相应方体之后，即按方堢壔（方柱体）与圆堢壔（圆柱体）、方亭（方台）与圆亭（圆台）、方锥与圆锥的顺序叙述。古人先计算方体体积，进而利用截面原理，通过“方体体积∶圆体体积=截面方形面积∶截面圆面积”得出圆体体积（如图1）。
经历过这番想象与操作后，再向学生介绍图3和图4，学生更能接受牟合方盖的形象。这里教师需要对学生提出更进一步的要求，以便为计算牟合方盖体积做准备。球内切牟合方盖，相切于哪些部分？教师可通过平面的方圆相切图帮助学生理解，相切部分在牟合方盖的面上，正好是球的两个垂直大圆。
难点3：如何计算牟合方盖的体积
刘徽指出，在每一高度上的水平截面圆与其外切正方形的面积之比都等于？仔∶4，因此球体积与牟合方盖体积之比也应该等于？仔∶4。牟合方盖的体积怎么求呢？最终刘徽没有能够解决，他说“敢不阙疑，以俟能言者”，他提出问题，等待后人来解题。尽管刘徽没有推证出球体积公式，但他为后人指出了解决球体积的正确方向。
两百年后，刘徽的问题终于被祖冲之和他的儿子祖暅解决了。我们来简单回顾他们的解决方法，考虑到牟合方盖的对称性，祖暅计算其1/8体积，将其放于小正方体中考虑（图6）。祖暅不直接求1/8牟合方盖体积，转而求小正方体中扣除1/8牟合方盖后的剩余体积。常规说来，剩余立体形状不规则，更不易求。但是祖暅利用截面原理，发现剩余部分体积应等于一个“阳马”（一棱垂直于底面，且底面为正方形的棱锥，图7（3）中椎体O-ABCD即为一个倒置的阳马）的体积，而阳马体积又等于小正方体体积的1/3，从而得出1/8牟合方盖的体积为小正方体体积的2/3。 在讲图6的水平截面之前，教师有必要与学生一起对图6作深入观察。学生应能理解弧AE，AG实则为大圆周长的1/4，AF为牟合方盖的棱的一部分。明确这些之后，教师可与学生一起讨论图6立体的水平截面（见图7）。
思考二：球体积公式的推导能否简化
中国古人计算球体积利用了其外套“牟合方盖”间接求得。教师可引导学生简化推导过程，如果不利用牟合方盖，是否可以直接利用截面原理得出球体积公式？考虑半个球体，若球半径为r，截面高为h处的水平截面圆面积为？仔（r2-h2），这时构造的新立体截面积等于两圆之差（如图9），该新立体为与半球同底等高的圆柱内挖掉一个同底等高的圆锥。这就是我们通常在教科书上看到的推导方法。
经过这样一些步骤的改进，学生不仅可以知晓古人的计算方法，赞叹古人的聪明才智；更能通过自己的智慧改进古人的方法，拓展思维，求简求优。
通过上述推导过程得出球体积公式，相信学生对截面原理会有更深刻地理解，对于中国古代计算球体积过程中的重要创造——牟合方盖的产生及体积计算会有更深入的体会。这里我们只是对牟合方盖法教学中可能遇到的难点进行分析，以期对教师的教学设计有借鉴作用。而合适的教学融入方式，则有待教师作进一步的尝试与探究。
参考文献
[1] 任明骏.关于球体积公式教学各异的调查与分析[J].数学教学，2005（4）.
[2] 汪晓勤.HPM的若干研究与展望[J].中学数学月刊，2012（2）.
[3] 李继闵.《九章算术》及其刘徽注研究[M].太原：山西人民教育出版社，1990.
[作者：王萍萍（1981-），女，江苏苏州人，苏州大学数学科学学院讲师，华东师范大学数学系在读博士研究生。]
【责任编辑 郭振玲】
关键词：球体积 牟合方盖 数学史
一、问题的提出
球体积公式是高中数学基本内容，不同的推导方法常常会达到不同的教育效果。有的教师通过切片求极限的方法得出球体积公式，培养了学生极限思想。有的教师利用球面小锥体结合球表面积公式推得球体积公式，培养了学生近似求和的思想。有的教师借此机会探寻古今中外的方法，向学生展示人类智慧的成果。比如，教师通过截面原理（祖暅原理）的引入，验证得出半球体积等于同底等高圆柱体挖去同底等高圆锥体的体积（公理法）。这种处理方式尽管介绍了中国古代的重要原理，却舍弃了知识生动的发生发展过程，未能充分展现其教学功能和文化功能。若能进一步引入中国古代计算球体积的重要立体——牟合方盖，利用牟合方盖计算球体积，不仅可以让学生经历古人“以方套圆，化圆为方”的求解历程，拓展学生的思维，还是一次增强民族自豪感的文化教育和爱国教育。有教师尝试向学生讲授上述各种推导方法，从课后学生的问卷调查[1]来看，牟合方盖法“太深奥，难以理解，自己根本不可能想到，即使勉强看懂了，也无法掌握”。何以古人一千多年前的推导方法不能为学生接受？学生在理解上遇到哪些困难？只有知道了这些，教师才能更好地进行针对性的教学设计。
二、牟合方盖法计算球体积的教学难点及其对策
有学者将数学史融入数学教学分为四种方式：附加式、复制式、顺应式和重构式。[2]对于“深奥，难以理解”的牟合方盖法，教师首先应该理解史料，并按照学生的数学实际找到教学中的难点，才能进行创造性的教学设计，将数学史料更好地融入教学，最大化地发挥其教育功能。
难点1：构造牟合方盖的缘由
球体积的计算是古代几何学中的一个难题。为了获得球体积的精确公式，东西方都竭尽了好几代人的智慧，利用当时所有的科学成果，创造出许多重要的数学方法和精巧的几何构造物。在西方有古希腊阿基米德的力学方法和17世纪意大利人卡瓦列利的不可分量方法，而在东方则有我国刘徽所构造的牟合方盖。牟合方盖不是自然无形体的摹写，而是为论证的需要构造出来的特殊形状的几何体。因而，它的发明是以深刻的数学思想与方法为指导的，此数学思想即截面原理，就是我们现在所说的“祖暅原理”。
古人对截面原理早有深刻理解。从《九章算术》“商功章”各求积术的编排顺序来看，作者有意将所有圆体安排在相应方体之后，即按方堢壔（方柱体）与圆堢壔（圆柱体）、方亭（方台）与圆亭（圆台）、方锥与圆锥的顺序叙述。古人先计算方体体积，进而利用截面原理，通过“方体体积∶圆体体积=截面方形面积∶截面圆面积”得出圆体体积（如图1）。
经历过这番想象与操作后，再向学生介绍图3和图4，学生更能接受牟合方盖的形象。这里教师需要对学生提出更进一步的要求，以便为计算牟合方盖体积做准备。球内切牟合方盖，相切于哪些部分？教师可通过平面的方圆相切图帮助学生理解，相切部分在牟合方盖的面上，正好是球的两个垂直大圆。
难点3：如何计算牟合方盖的体积
刘徽指出，在每一高度上的水平截面圆与其外切正方形的面积之比都等于？仔∶4，因此球体积与牟合方盖体积之比也应该等于？仔∶4。牟合方盖的体积怎么求呢？最终刘徽没有能够解决，他说“敢不阙疑，以俟能言者”，他提出问题，等待后人来解题。尽管刘徽没有推证出球体积公式，但他为后人指出了解决球体积的正确方向。
两百年后，刘徽的问题终于被祖冲之和他的儿子祖暅解决了。我们来简单回顾他们的解决方法，考虑到牟合方盖的对称性，祖暅计算其1/8体积，将其放于小正方体中考虑（图6）。祖暅不直接求1/8牟合方盖体积，转而求小正方体中扣除1/8牟合方盖后的剩余体积。常规说来，剩余立体形状不规则，更不易求。但是祖暅利用截面原理，发现剩余部分体积应等于一个“阳马”（一棱垂直于底面，且底面为正方形的棱锥，图7（3）中椎体O-ABCD即为一个倒置的阳马）的体积，而阳马体积又等于小正方体体积的1/3，从而得出1/8牟合方盖的体积为小正方体体积的2/3。 在讲图6的水平截面之前，教师有必要与学生一起对图6作深入观察。学生应能理解弧AE，AG实则为大圆周长的1/4，AF为牟合方盖的棱的一部分。明确这些之后，教师可与学生一起讨论图6立体的水平截面（见图7）。
思考二：球体积公式的推导能否简化
中国古人计算球体积利用了其外套“牟合方盖”间接求得。教师可引导学生简化推导过程，如果不利用牟合方盖，是否可以直接利用截面原理得出球体积公式？考虑半个球体，若球半径为r，截面高为h处的水平截面圆面积为？仔（r2-h2），这时构造的新立体截面积等于两圆之差（如图9），该新立体为与半球同底等高的圆柱内挖掉一个同底等高的圆锥。这就是我们通常在教科书上看到的推导方法。
经过这样一些步骤的改进，学生不仅可以知晓古人的计算方法，赞叹古人的聪明才智；更能通过自己的智慧改进古人的方法，拓展思维，求简求优。
通过上述推导过程得出球体积公式，相信学生对截面原理会有更深刻地理解，对于中国古代计算球体积过程中的重要创造——牟合方盖的产生及体积计算会有更深入的体会。这里我们只是对牟合方盖法教学中可能遇到的难点进行分析，以期对教师的教学设计有借鉴作用。而合适的教学融入方式，则有待教师作进一步的尝试与探究。
参考文献
[1] 任明骏.关于球体积公式教学各异的调查与分析[J].数学教学，2005（4）.
[2] 汪晓勤.HPM的若干研究与展望[J].中学数学月刊，2012（2）.
[3] 李继闵.《九章算术》及其刘徽注研究[M].太原：山西人民教育出版社，1990.
[作者：王萍萍（1981-），女，江苏苏州人，苏州大学数学科学学院讲师，华东师范大学数学系在读博士研究生。]
【责任编辑 郭振玲】