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不少初三年级的同学有这样的感受:几何题解法无规律性,不能根据固定公式解决,几何比代数难学.有些同学只会背诵定理、定义,解题时,却无从下手.还有的同学题做得不少,碰到没见过的题目,还是无计可施.到底怎样才能学好几何呢?
任何一门学科都有其特有的学习方法,都有规律可循,不得其法则不入其门.下面就几何的学习方法与同学们探讨一下.
一、重视基础知识◆
“高楼万丈平地起”,书上的基本概念是解题的基本纲领.俗话说“千变万变,不离主干”,这个主干就是基础知识;也有人说“书本知识学得差不多了以后,多做题就行了”,这种说法似乎也有道理.但细想一下,基础知识都不熟,怎么能做复杂的题呢?所以要想学好几何,必须重视课本,因为它最能体现知识的系统性和完整性,它是我们真正的导师.
1. 正确理解几何概念、定理、定义及性质
正确理解几何概念的含义是学好几何的前提.学习时重在理解,切忌死记硬背.如“平角”这一概念.首先,它是角,必须有顶点和边;其次,平角与直线是两种不同的图形,学习时要理解透彻.再如“邻补角”包含两个角的特殊位置与数量关系,重在领会“邻”与“补”的意义.
2. 比较概念的异同点
在学习内容相近、容易混淆的概念时,要对比记忆,这样不仅能够弄清概念间的区别与联系,还可提高分析问题的能力.例如“三角形的中线”是指连结三角形的顶点和其对边中点的线段;“三角形的中位线”是指连结三角形两边中点的线段.这两个概念的共同点:都是线段,每个三角形都有三条中线、三条中位线.它们的不同点是:中线是连结三角形的一个顶点与 其对边中点的线段,而中位线是连结两边中点的线段.
3. 掌握概念的记忆方法
怎样才能将概念记得牢一些呢?这要求同学们在理解的前提下加以记忆,注意条理性、规律性和联系性等。如在记忆“垂径定理及其推论”时,我们可先对照图形,一条直线如果满足过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的劣弧、平分弦所对的优弧中的任意两点,则另外三点(弦非直径)也必成立,就像一条线上拴的五只蚱蜢,逮住了两只才能跑不了另外三只,这样理解才能易学易记.
二、掌握数学思想和方法◆
一道题目的证明和分析,需要数学思想和方法的支持.数学思想包括数学的基本观点和处理问题的基本方法.解几何题常用的数学思想有:数形结合思想、方程思想、分类讨论思想、转化思想等.
1. 数形结合思想:是把图形语言与数字语言结合起来,化抽象为直观,化难为易的方法.
例1如图☉O中三条线PP′,QQ′,RR′两两相交,且AP=BQ=CR,AR′=BP′=CQ′ .求证:△ABC是等边三角形.
思路分析:因C是异于A、B的任一点,所以,C点可以在优弧上,也可以在劣弧上.因而,要分两种情况考虑.
解:如图,当C点在优弧上时,连结OA、OB,则OA⊥PA,OB⊥PB.
∵∠APB=78°,
∴∠AOB=180°- 78°=102°.
∴∠ACB=1/2∠AOB=51°.
当C点在劣弧上时,∠AC′B=180°- ∠ACB = 180°- 51°= 129°. /
总结评析:本题应对C点的位置进行分类,据C在不同位置求出∠ACB的度数.否则,容易受思维定势的影响,漏掉其中的一个解.
4. 转化思想:解决数学问题,往往可通过多种手段将未知问题转化为已掌握解决方法的已知问题.如解二元方程组,可以先将其转化为一元方程;解分式方程,可以转化为整式方程来解.这就是数学中的转化思想,它可以使问题化难为易.曹冲称象,就是一个应用转化思想解决问题的典型实例.
例4如图已知在☉O中,AB⊥CD,OE⊥BC于E,求证:OE=1/2AD.
思路分析:本题让我们联想到三角形的中位线定理,而O是CD的中点,更让我们确定可能要用到这一定理.而AD与OE没有联系,只有把AD转化为与之等长的DB,才可以使问题得以解决.
证明:连结DB,∵直径CD⊥AB,
∴AD=DB,∴AD=DB.
又 OE⊥BC,∴ CE=BE.
又 CO=DO,∴OE=1/2DB,
∴OE=1/2AD.
总结评析:本题利用垂径定理,把AD转化为DB,又用三角形的中位线定理,使问题得以解决.
三、积极思考,善于总结几何题的证明方法◆
做题不在于多少,而在于有没有及时总结解题方法.如证明线段相等问题,两圆相交辅助线的做法问题,怎样添加梯形的辅助线问题等等,这些题目都有其解题规律。同学们只有不断总结,才能提高解题能力和应试能力.
四、勇于探索,大胆创新◆
创新是发展的源泉和动力,学习几何同样要有创新精神.有的同学一看题目有些复杂,或是没有思路就望而却步,甚至自我解嘲说,这是给尖子生准备的.不知你想过没有:如果只能做先前讲过的或做过的,又怎么能成为尖子生呢?所以,同学们要勇于探索,开阔思路,在探索中创新,才能真正感受到几何的魅力.
★编辑/王一鸣
任何一门学科都有其特有的学习方法,都有规律可循,不得其法则不入其门.下面就几何的学习方法与同学们探讨一下.
一、重视基础知识◆
“高楼万丈平地起”,书上的基本概念是解题的基本纲领.俗话说“千变万变,不离主干”,这个主干就是基础知识;也有人说“书本知识学得差不多了以后,多做题就行了”,这种说法似乎也有道理.但细想一下,基础知识都不熟,怎么能做复杂的题呢?所以要想学好几何,必须重视课本,因为它最能体现知识的系统性和完整性,它是我们真正的导师.
1. 正确理解几何概念、定理、定义及性质
正确理解几何概念的含义是学好几何的前提.学习时重在理解,切忌死记硬背.如“平角”这一概念.首先,它是角,必须有顶点和边;其次,平角与直线是两种不同的图形,学习时要理解透彻.再如“邻补角”包含两个角的特殊位置与数量关系,重在领会“邻”与“补”的意义.
2. 比较概念的异同点
在学习内容相近、容易混淆的概念时,要对比记忆,这样不仅能够弄清概念间的区别与联系,还可提高分析问题的能力.例如“三角形的中线”是指连结三角形的顶点和其对边中点的线段;“三角形的中位线”是指连结三角形两边中点的线段.这两个概念的共同点:都是线段,每个三角形都有三条中线、三条中位线.它们的不同点是:中线是连结三角形的一个顶点与 其对边中点的线段,而中位线是连结两边中点的线段.
3. 掌握概念的记忆方法
怎样才能将概念记得牢一些呢?这要求同学们在理解的前提下加以记忆,注意条理性、规律性和联系性等。如在记忆“垂径定理及其推论”时,我们可先对照图形,一条直线如果满足过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的劣弧、平分弦所对的优弧中的任意两点,则另外三点(弦非直径)也必成立,就像一条线上拴的五只蚱蜢,逮住了两只才能跑不了另外三只,这样理解才能易学易记.
二、掌握数学思想和方法◆
一道题目的证明和分析,需要数学思想和方法的支持.数学思想包括数学的基本观点和处理问题的基本方法.解几何题常用的数学思想有:数形结合思想、方程思想、分类讨论思想、转化思想等.
1. 数形结合思想:是把图形语言与数字语言结合起来,化抽象为直观,化难为易的方法.
例1如图☉O中三条线PP′,QQ′,RR′两两相交,且AP=BQ=CR,AR′=BP′=CQ′ .求证:△ABC是等边三角形.
思路分析:因C是异于A、B的任一点,所以,C点可以在优弧上,也可以在劣弧上.因而,要分两种情况考虑.
解:如图,当C点在优弧上时,连结OA、OB,则OA⊥PA,OB⊥PB.
∵∠APB=78°,
∴∠AOB=180°- 78°=102°.
∴∠ACB=1/2∠AOB=51°.
当C点在劣弧上时,∠AC′B=180°- ∠ACB = 180°- 51°= 129°. /
总结评析:本题应对C点的位置进行分类,据C在不同位置求出∠ACB的度数.否则,容易受思维定势的影响,漏掉其中的一个解.
4. 转化思想:解决数学问题,往往可通过多种手段将未知问题转化为已掌握解决方法的已知问题.如解二元方程组,可以先将其转化为一元方程;解分式方程,可以转化为整式方程来解.这就是数学中的转化思想,它可以使问题化难为易.曹冲称象,就是一个应用转化思想解决问题的典型实例.
例4如图已知在☉O中,AB⊥CD,OE⊥BC于E,求证:OE=1/2AD.
思路分析:本题让我们联想到三角形的中位线定理,而O是CD的中点,更让我们确定可能要用到这一定理.而AD与OE没有联系,只有把AD转化为与之等长的DB,才可以使问题得以解决.
证明:连结DB,∵直径CD⊥AB,
∴AD=DB,∴AD=DB.
又 OE⊥BC,∴ CE=BE.
又 CO=DO,∴OE=1/2DB,
∴OE=1/2AD.
总结评析:本题利用垂径定理,把AD转化为DB,又用三角形的中位线定理,使问题得以解决.
三、积极思考,善于总结几何题的证明方法◆
做题不在于多少,而在于有没有及时总结解题方法.如证明线段相等问题,两圆相交辅助线的做法问题,怎样添加梯形的辅助线问题等等,这些题目都有其解题规律。同学们只有不断总结,才能提高解题能力和应试能力.
四、勇于探索,大胆创新◆
创新是发展的源泉和动力,学习几何同样要有创新精神.有的同学一看题目有些复杂,或是没有思路就望而却步,甚至自我解嘲说,这是给尖子生准备的.不知你想过没有:如果只能做先前讲过的或做过的,又怎么能成为尖子生呢?所以,同学们要勇于探索,开阔思路,在探索中创新,才能真正感受到几何的魅力.
★编辑/王一鸣