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“让驴子和学者处在队伍中间。”传说这是法国拿破仑的一句名言。1798年，拿破仑率领远征军开始对埃及大举进攻，为了保护学者，拿破仑下了这道有意思的命令。而当时与驴子在一起的，就有一位叫约瑟夫·傅立叶的学者。
傅立叶是法国著名的数学家和物理学家，提出过热传导理论与振动理论，而且还是温室效应的发现者。但他最重要的成绩是揭示了有关正弦曲线的不同寻常的发现，这可以说是傅立叶一生中最重要的发现。
下面我们来详细介绍一下此发现。
奇妙的正弦曲线
正弦曲线可以认为是一种周期性变化的波，其曲线沿水平轴一次又一次地重复变化。可以说正弦曲线是一种最简单的周期波，因为它可以通过最简单的几何形状，即圆形来产生。尽管这是一个十分简单的概念，但在各种物理现象中都有正弦曲线的身影。可以说整个世界就是正弦曲线的狂欢节。
傅立叶所发现的是，每一种周期波都可以用一组适当的正弦曲线组合而成。这个结果如此神奇，以至当时许多的学者都不相信这个说法。许多种波看起来完全不像正弦曲线，例如上一页的矩形波。矩形波是由许多直线构成的，而正弦曲线是连续弯曲的线构成的。然而，傅立叶确实是对的：我们可以完全只用正弦曲线组合出矩形波。
方法在这里。下面图中包含3个正弦曲线：基本波，一个具有3倍频率而1/3倍振幅的较小的波，和一个具有5倍频率而1/5倍振幅的更小的波。我们可以用sin x、（sin 3x）/3和（sin 5x）/5来表示。
在下面图中，我们开始把这些波一步一步叠加起来：
首先是基本波，sin x；
然后是sin x + （sin 3x）/3的波，看起来像是一排臼齿；
最后是sin x + （sin 3x）/3 + （sin 5x）/5的波，看起来像是一系列灯丝连起来；
如果我们要继续加下去的话，即sin x + （sin 3x）/3 + （sin 5x）/5+ （sin 7x）/7 + …，即成了〔sin （2n-1）x）/（2n-1）〕这条等比数列的和，也就是〔sin （2n-1）x）/（2n-1）〕级数，那么我们得到的图就会不断接近矩形波。在极限的情况下，即无限地加下去，那么图像就变成了矩形波。
有棱有角的东西竟然可以用一堆连续的曲线组合出来，的确很神奇。总之，不管周期波有多么怪异，都可以用一系列正弦曲线组合出来。
组成某个周期波的一系列正弦曲线的集合，称为这个波的傅立叶级数。傅立叶级数是个很有用的概念，这样就可以用一组离散的数据去表示一个连续的波。例如矩形波的傅立叶级数，可以通过下面的图表来表示。
图中每一个竖线表示其中的一个正弦曲线，其中横轴表示每一个正弦曲线的频率，而纵轴表示每一个正弦曲线的振幅。最左边的正弦曲线所具有的频率称为基频，等于这个周期波的频率。上面这个图表一般被称为“频谱”，或者这个波的“傅立叶变换”。
傅立叶理论是19世纪最伟大的数学发现之一。因为从光学到量子力学，从地震学到电气工程等各种学科领域中都需要用周期波来描述，而傅立叶理论是处理这种波最为简单的办法。
用傅立叶理论分解声音
声音科学，可以说就是建立在傅立叶理论的基础之上的。声音是介质的分子振动产生的，并以波的形式传播，其分子的振动方向平行于声音的传播方向，这样会产生一系列波长和频率来回变化的区域。其中里面任何一质点气压的变化都可以用周期波来表示。
你可以在下一页中看到单簧管的声波中有很多锯齿，看起来很复杂，但是根据傅立叶理论，我们可以把它变成为一系列正弦曲线的集合，也就是说可以用频谱来表示这个声波。
我们要明白的一点是，在单簧管声波图中，上下两个图表都表示完全一样的声音，但是每一个图表是用不同的方式来描述的。对于波形图，其横轴表示的是时间，而对于频谱图来说，其横轴表示的是频率。声学工程师一般把前者称为处在“时域”里的波，而后者称为处在“频域”里的波。
时域和频域，如果你还不理解的话，我们再来强调一下。世界上各种现象都是在时间之中发生变化的，所以我们多数情况就直接用时间作为参考来研究问题，这就是时域方法。例如，我们对音乐最普遍的理解，就是一个随着时间变化的震动，如下面的波形图。不过用频域这个方法，你会发现世界是永恒不变的。例如音乐还可以用五线谱来表示，每一个音符表示特定的频率，这也与下图中的频谱类似，然而可以说用这种方法研究问题，并不考虑时间流逝的问题，就像世界变得静止不变一样。所以通过这种论述，可以说这个变幻无常的世界，不过是一份早已谱好的乐章。
另外，有了频谱，在理论上我们就可以只用一系列音叉模拟出所有的音乐。
音叉的振动产生的声波是单一的正弦曲线。通过频域下的波，我们可以知道要重新制造出单簧管的声音，只需要一系列音叉即可，其中每一个音叉对应着图表中的一个竖条，其具有对应的频率和振幅。
同样，通过小提琴的频谱，我们就可以只用音叉来制造小提琴的声音。另外，让单簧管和小提琴分别演奏出同样音高的中央C的声音，我们还会发现两者声音是有区别的，即音色是不同的，这是因为频谱里每一个竖条的相对高度不同造成的。
所以说在理论上，根据傅立叶理论，我们可以只用音叉来演奏贝多芬的交响曲，而且听起来与原来的相比，是完全无法区分的。不过在现实生活中，很显然很难做到。即使是通过编程，输入某种电子设备里也很难做到。因为你首先得知道每一个乐器频谱是什么样的，而且傅立叶级数基本都是无穷的，电脑是无法把所有级数都考虑进去的。另外要注意，像电子琴这样的设备，虽然可以模仿各种声音，但它并不是利用傅立叶理论，而是直接录制各种声音样本。比如像钢琴的音，就是把钢琴每个相对应的键盘的音都录下来，储存在电子琴中，当你弹电子琴的键盘时，就会发出钢琴的音；其他弦乐和管乐的声音也是这样炮制出来的。这样处理起来会更简单。
用傅立叶理论处理数字音乐
当消防车从美国旧金山的杜比实验室附近经过时，里面的雇员都会迅速捂住自己的耳朵，尤其是那些具有超常听觉能力的员工，以此来保护自己的听觉器官。杜比实验室是以它的降噪系统而闻名的，其降噪系统常常运用在音乐、影视和家庭音响等领域。现在杜比实验室为消费电子产品研制了压缩声音数据的软件，应用的原理就是傅立叶理论。
数字设备中，例如电视、手机和电脑等等，其大部分声音数据都是用频域的方式来存储，而不是用时域来储存，例如MP3、AAC等格式的音乐。因为频域里的数据是离散的数据，所以比较容易处理。相反的，在时域里的波形图是连续的图，画起来都很费劲，处理起来更费劲，而计算机只处理离散的数据。但是在频域里呢？则简单得很，无非就是几条竖线而已。另外，我们知道，人对于每一个音频的感知是不同的，有些音频是不重要的，甚至是听不到的，所以利用频域的数据，可以很容易地舍去一些不必要的数据。
杜比的软件首先是把声波变为一系列正弦曲线，然后去除一些不必要的正弦曲线，目的是尽可能用最少的数据来表现出与原来声音相近的声音。最终产生的声音数据在播放时会再次变回时域里的声波。
这个看起来很简单，但是如何去除不必要的正弦曲线，这个过程是十分复杂的。其中一个典型的例子就是如何处理口琴的声音，它的频谱如同一排栅栏，也就是说不同频率的正弦曲线都有着同样的振幅，这强迫你不得不去除一些你能听到的声音数据。
最终来自杜比的能工巧匠们，成功地解决了无数个如上面这样的问题。利用这个软件，他们成功地高度还原了美国作曲家与指挥家亨利·曼西尼在1961年所演奏的优美歌曲《月亮河》（电影《蒂凡尼的早餐》主题歌，此歌曲里面包含口琴伴奏）。
傅立叶是法国著名的数学家和物理学家，提出过热传导理论与振动理论，而且还是温室效应的发现者。但他最重要的成绩是揭示了有关正弦曲线的不同寻常的发现，这可以说是傅立叶一生中最重要的发现。
下面我们来详细介绍一下此发现。
奇妙的正弦曲线
正弦曲线可以认为是一种周期性变化的波，其曲线沿水平轴一次又一次地重复变化。可以说正弦曲线是一种最简单的周期波，因为它可以通过最简单的几何形状，即圆形来产生。尽管这是一个十分简单的概念，但在各种物理现象中都有正弦曲线的身影。可以说整个世界就是正弦曲线的狂欢节。
傅立叶所发现的是，每一种周期波都可以用一组适当的正弦曲线组合而成。这个结果如此神奇，以至当时许多的学者都不相信这个说法。许多种波看起来完全不像正弦曲线，例如上一页的矩形波。矩形波是由许多直线构成的，而正弦曲线是连续弯曲的线构成的。然而，傅立叶确实是对的：我们可以完全只用正弦曲线组合出矩形波。
方法在这里。下面图中包含3个正弦曲线：基本波，一个具有3倍频率而1/3倍振幅的较小的波，和一个具有5倍频率而1/5倍振幅的更小的波。我们可以用sin x、（sin 3x）/3和（sin 5x）/5来表示。
在下面图中，我们开始把这些波一步一步叠加起来：
首先是基本波，sin x；
然后是sin x + （sin 3x）/3的波，看起来像是一排臼齿；
最后是sin x + （sin 3x）/3 + （sin 5x）/5的波，看起来像是一系列灯丝连起来；
如果我们要继续加下去的话，即sin x + （sin 3x）/3 + （sin 5x）/5+ （sin 7x）/7 + …，即成了〔sin （2n-1）x）/（2n-1）〕这条等比数列的和，也就是〔sin （2n-1）x）/（2n-1）〕级数，那么我们得到的图就会不断接近矩形波。在极限的情况下，即无限地加下去，那么图像就变成了矩形波。
有棱有角的东西竟然可以用一堆连续的曲线组合出来，的确很神奇。总之，不管周期波有多么怪异，都可以用一系列正弦曲线组合出来。
组成某个周期波的一系列正弦曲线的集合，称为这个波的傅立叶级数。傅立叶级数是个很有用的概念，这样就可以用一组离散的数据去表示一个连续的波。例如矩形波的傅立叶级数，可以通过下面的图表来表示。
图中每一个竖线表示其中的一个正弦曲线，其中横轴表示每一个正弦曲线的频率，而纵轴表示每一个正弦曲线的振幅。最左边的正弦曲线所具有的频率称为基频，等于这个周期波的频率。上面这个图表一般被称为“频谱”，或者这个波的“傅立叶变换”。
傅立叶理论是19世纪最伟大的数学发现之一。因为从光学到量子力学，从地震学到电气工程等各种学科领域中都需要用周期波来描述，而傅立叶理论是处理这种波最为简单的办法。
用傅立叶理论分解声音
声音科学，可以说就是建立在傅立叶理论的基础之上的。声音是介质的分子振动产生的，并以波的形式传播，其分子的振动方向平行于声音的传播方向，这样会产生一系列波长和频率来回变化的区域。其中里面任何一质点气压的变化都可以用周期波来表示。
你可以在下一页中看到单簧管的声波中有很多锯齿，看起来很复杂，但是根据傅立叶理论，我们可以把它变成为一系列正弦曲线的集合，也就是说可以用频谱来表示这个声波。
我们要明白的一点是，在单簧管声波图中，上下两个图表都表示完全一样的声音，但是每一个图表是用不同的方式来描述的。对于波形图，其横轴表示的是时间，而对于频谱图来说，其横轴表示的是频率。声学工程师一般把前者称为处在“时域”里的波，而后者称为处在“频域”里的波。
时域和频域，如果你还不理解的话，我们再来强调一下。世界上各种现象都是在时间之中发生变化的，所以我们多数情况就直接用时间作为参考来研究问题，这就是时域方法。例如，我们对音乐最普遍的理解，就是一个随着时间变化的震动，如下面的波形图。不过用频域这个方法，你会发现世界是永恒不变的。例如音乐还可以用五线谱来表示，每一个音符表示特定的频率，这也与下图中的频谱类似，然而可以说用这种方法研究问题，并不考虑时间流逝的问题，就像世界变得静止不变一样。所以通过这种论述，可以说这个变幻无常的世界，不过是一份早已谱好的乐章。
另外，有了频谱，在理论上我们就可以只用一系列音叉模拟出所有的音乐。
音叉的振动产生的声波是单一的正弦曲线。通过频域下的波，我们可以知道要重新制造出单簧管的声音，只需要一系列音叉即可，其中每一个音叉对应着图表中的一个竖条，其具有对应的频率和振幅。
同样，通过小提琴的频谱，我们就可以只用音叉来制造小提琴的声音。另外，让单簧管和小提琴分别演奏出同样音高的中央C的声音，我们还会发现两者声音是有区别的，即音色是不同的，这是因为频谱里每一个竖条的相对高度不同造成的。
所以说在理论上，根据傅立叶理论，我们可以只用音叉来演奏贝多芬的交响曲，而且听起来与原来的相比，是完全无法区分的。不过在现实生活中，很显然很难做到。即使是通过编程，输入某种电子设备里也很难做到。因为你首先得知道每一个乐器频谱是什么样的，而且傅立叶级数基本都是无穷的，电脑是无法把所有级数都考虑进去的。另外要注意，像电子琴这样的设备，虽然可以模仿各种声音，但它并不是利用傅立叶理论，而是直接录制各种声音样本。比如像钢琴的音，就是把钢琴每个相对应的键盘的音都录下来，储存在电子琴中，当你弹电子琴的键盘时，就会发出钢琴的音；其他弦乐和管乐的声音也是这样炮制出来的。这样处理起来会更简单。
用傅立叶理论处理数字音乐
当消防车从美国旧金山的杜比实验室附近经过时，里面的雇员都会迅速捂住自己的耳朵，尤其是那些具有超常听觉能力的员工，以此来保护自己的听觉器官。杜比实验室是以它的降噪系统而闻名的，其降噪系统常常运用在音乐、影视和家庭音响等领域。现在杜比实验室为消费电子产品研制了压缩声音数据的软件，应用的原理就是傅立叶理论。
数字设备中，例如电视、手机和电脑等等，其大部分声音数据都是用频域的方式来存储，而不是用时域来储存，例如MP3、AAC等格式的音乐。因为频域里的数据是离散的数据，所以比较容易处理。相反的，在时域里的波形图是连续的图，画起来都很费劲，处理起来更费劲，而计算机只处理离散的数据。但是在频域里呢？则简单得很，无非就是几条竖线而已。另外，我们知道，人对于每一个音频的感知是不同的，有些音频是不重要的，甚至是听不到的，所以利用频域的数据，可以很容易地舍去一些不必要的数据。
杜比的软件首先是把声波变为一系列正弦曲线，然后去除一些不必要的正弦曲线，目的是尽可能用最少的数据来表现出与原来声音相近的声音。最终产生的声音数据在播放时会再次变回时域里的声波。
这个看起来很简单，但是如何去除不必要的正弦曲线，这个过程是十分复杂的。其中一个典型的例子就是如何处理口琴的声音，它的频谱如同一排栅栏，也就是说不同频率的正弦曲线都有着同样的振幅，这强迫你不得不去除一些你能听到的声音数据。
最终来自杜比的能工巧匠们，成功地解决了无数个如上面这样的问题。利用这个软件，他们成功地高度还原了美国作曲家与指挥家亨利·曼西尼在1961年所演奏的优美歌曲《月亮河》（电影《蒂凡尼的早餐》主题歌，此歌曲里面包含口琴伴奏）。