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【摘要】导数是刻画变化率问题的重要模型，在数学、物理及其他学科中有着广泛的应用。但在中学阶段，由于学生不具备极限等理论知识，因而在学习这一概念时会有很大的困难。那么在新课标背景下，教师应該如何把握教学的“度”，而学生又如何学习这部分内容呢？这是值得我们每一位中学数学教师思考的问题。本文我将针对上述问题，结合自己在教学中的实践提出几点思考。
【关键词】新课标 导数 实践 反思
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）52-0179-03
为了描述现实世界中运动变化的现象，数学中引入了函数这一重要概念。通过对函数性质的研究，我们把握事物变化的规律。对于基本初等函数，研究方法是通过图像研究性质。对于相对复杂的函数，导数成为了研究这类函数性质非常重要的工具。导数有着丰富的实际背景，凡是变化率的问题，本质上都是导数的问题。那么，在新课标下，如何学好导数这部分内容呢？本文我将从以下几个方面进行分析。
一、导数如何教
新课标高中数学教材对于导数的编排下了很大的功夫，并不是把数学分析中导数的内容缩编后加以简单下放，而是充分考虑到高中学生的认知水平和思维特点，考虑微积分思想与初等数学方法的共存，考虑到高中课程的学时分配，对导数的教学提出了明确而具体的要求，这就要求我们在教学中做到以下几点：
1.强调过程，淡化概念
在数学分析中，导数内容的安排顺序是：数列的极限→函数的极限→函数的连续性→导数→导数的应用。而在人教版课本中，导数是由实际情境出发，沿着平均变化率→瞬时变化率→导数的概念→导数的几何意义→导数的应用这一思路发展的，充分体现了由特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法。
设想一下，如果按照数学分析的方法讲导数，函数的极限和函数的连续性不可避免，如果抛给高中生“对任意，存在一个使得当时，便有”这样的问题，多少学生会感到绝望，学习导数的兴趣从一开始就被浇灭了。因此，高中教材大胆逾越极限的严格定义，从两个实际问题出发（气球膨胀率问题和高台跳水瞬时速度问题），经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数即瞬时变化率，体会导数的思想及其内涵。以变化率为核心，引导学生在知识发生发展的过程中，在解决认知冲突的矛盾中，在已有的平均变化率知识基础上积极探索。
2. 突出应用，弱化严谨
数学是讲究精确与严密的一门科学，数学的精确性表现在数学的逻辑推理和数学结论的确定无疑和无可争辩。数学分析中的导数对概念、性质和公式都有严格的定义和证明。但是在高中课程中，由于学生的知识结构和思维水平的局限性，导数内容的严谨性必须要弱化，弱化的对象主要在导数的概念及其计算公式上。
事实上，《课标》中除了要求对五个基本初等函数的导数由瞬时变化率推导外，其它则只需能利用给出的导数公式和导数的四则运算法则进行计算，包括简单的复合函数的求导法则也是直接给出公式的。这都说明在新教材中，强调的是对导数概念本质的理解，真正的落脚点是希望学生能利用导数解释生活中大量存在的变化率问题，而非这些公式的严格证明。因而教学中不必舍本逐末，对于本质的问题应该迎难而上，对于推导公式的问题可以暂时缓缓。
3. 强调本质，适度形式
“强调本质，注意适度形式化”是新课标所倡导的数学课程的一个基本理念，此理念在导数这里体现的可谓是淋漓尽致。
在教学中，我们可从物理中的平均速度类比得到平均变化率，那么如何顺利过渡到瞬时变化率呢？注意，这里出现了极限符号，这是导数概念教学的一个难点，对于此极限符号该讲到什么程度呢？把握不好的话就牵涉到数学分析中的左极限、右极限了。实际上，对于高中生来讲，最高效的解决方案就在课本中。
在高台跳水问题中，先计算某一时间段内的平均速度，然后时间间隔越来越小，学生在经历计算、观察、比较、分析之后发现无论是从左边还是右边趋近一个时刻时，平均速度都会无限逼近一个确定的常数，这个常数实质上就是这一时刻的瞬时速度。平均速度和瞬时速度的关系其实就是由平均变化率向瞬时变化率过渡的一个影子和模板。另外，下节在研究导数几何意义时，我们又从图形角度进一步理解极限和导数的本质。总之，在高中教学中，完全没有必要人为加深极限这一概念，重要的是透过现象看到本质，极限就是无限逼近的思想，导数就是一个确定的常数，是瞬时变化率，是在这个点处切线的斜率，反映在这个点附近函数的变化情况。
二、学生如何学
高中数学课程应注重培养学生的数学思维水平，恰恰微积分这部分内容是非常好的契机。导数有着丰富的实际背景，且在研究函数性质时相当好用，高二的学生对它可谓是爱不释手。可是另一方面，导数属于微分领域，它的概念与本质对于高中生仍然有一定的难度。那么，对于学生来说，应该如何把握呢？
1.联系实际，抓住本质
导数来源于生活，气球的膨胀率问题就是人们的生活经验，物理学中处于运动状态的物体就要分析速度及其加速度，化学中的平均反应速率问题，甚至行星的运动、热传导问题等等，本质都是数学中的导数问题。导数解决的是函数的核心问题：函数到底是怎么变化的？它是增还是减？增减的范围是什么？增减的快慢如何？我们最终得到的结果非常明了：由导数的符号可知函数是增还是减，由导数绝对值的大小可知函数变化得快还是慢。人教版2-2课本上有一道例题，虽然简单，但很能说明问题。
例：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第时，原油的温度（单位：℃）为。计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
解析：这里还没有学到导数的计算公式，通过计算瞬时变化率可得。意义是在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降；在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率在上升。 再如，课本另一道练习题也恰如其分得说明了导数的本质。
例：如图，直线与圆C，当从开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面積S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（ ）。
解析：对于函数图象高中生通常的做法是求出函数解析式，可是此题完全是根据变化率，即变化的快慢来解决的。
总之学生要想学好导数，不至于流于形式或者套路，必须得吃透这一本质问题。
2.重视基础，理清关系
学完导数的概念之后，紧接着就要利用导数研究函数的性质，包括增减性、极值以及最值问题。无论是具体的函数还是实际问题抽象出来的函数解析式，在研究其性质时，最起码应该先求函数的定义域，这一点很多同学都失误了，直接造成了函数的单调区间或者极值点出现错误。因此，高中数学中，应该重视基础和解题习惯的养成。另外，对于增减性、极值及其最值，它们三者之间是息息相关的，比如对于增减性的研究等价于在定义域范围内解两个不等式和；是函数有极值的必要不充分条件；在闭区间的最值来源只能是极值点或者端点处。理清这些关系，解决基础问题就会信手拈来。
3.举一反三，归纳反思
当能利用导数解决一些基础问题时，千万不可得意忘形。我们需要时时反思，解决一类问题的通法是什么？易错点是什么？反思越多，对导数的理解就越深刻，进而对函数的理解就越深刻。函数才是数学的核心，导数只不过是研究函数性质的工具而已。在高考所谓的压轴题中，充分体现的是导数的工具性，真正的难点仍然在于函数本身，在于方程、函数、不等式之间的关系上。
三、导数如何用
1.利用导数研究函数的性质
例：函数的零点的个数是_________。
解析：对于三次函数的研究是导数应用的一个很好的体现。对于三次函数的零点问题，只需画出函数简图结果便一目了然。
定义域为R
可得或；当或时，；当时，。
因而在上递增，在上递减，在上递增。
因而在处取得极大值，且，此时可做函数简图，由图象可得此函数有且只有一个零点。
2.利用导数证明不等式
例：证明：当时，不等式恒成立。
解析：这类题通常的做法是构造新函数，求函数在已知区间上的最值，解答的关键在于找到函数在什么时候等于0。
构造函数，定义域为。
当时，恒大于0，因而在上单调递增，所以，原不等式成立。
3.利用导数解决几何问题
例：在上求一点P，使P到直线的距离最短？
解析：解析几何中的距离问题有很多解法，对于抛物线来讲，导数提供了一种非常便利的解法，这里利用的是导数的几何意义。原理是将直线平移至与曲线相切的位置，此时切点恰好就是所求的点。
，可得，因而所求的点P 为（2，4）。
4.导数在函数综合性问题中的使用
这类问题中着重体现的是导数的工具性，其核心是代数中函数、方程、不等式之间的关系，很多时候用到分类讨论、数形结合、等价转化等高中数学中重要的思想，具有一定难度。
例：（2015年宁夏高考题21）设函数。
（1）证明：在单调递减，在单调递增；
（2）若对于任意，都有，求m的取值范围。
解析：此题作为高考压轴，难度很大，许多同学第（1）问都证不出来。可以发现，高考中的导数题目是跳脱常规的，必须要建立在对于函数的研究方法非常熟悉的基础上。
定义域为R。
（1）当时，，明显结论成立。
若，则当时，，，于是，则；当时，，，于是，则，因而结论成立。
若，则当时，，，于是，则；当时，，，于是，则，因而结论成立。
综上，无论m取任何实数，原结论都成立。
（2）由（1）可知，对任意的m，在单调递减，在单调递增，因而在处取到最小值。所以对于任意，的充要条件是，即。
构造函数，则，易知在单调递减，在单调递增；又，因而当时，。
当时，，则充要条件成立；
当时，由的单调性，，即；
当时，，即。
综上，m的取值范围是。
以上只举到了导数应用的一些方面，在具体解题中，还需仔细分析问题，发现难点，然后开动脑筋击破难点，在平常做题的过程要注意归纳总结，体会高中数学中各种解题思想方法。
由平均速度到瞬时速度，由平均变化率到瞬时变化率，由割线斜率到切线斜率，这一过程非常漂亮，足可见新教材对于导数的编写下的功夫。学生刚开始接触导数的兴奋也仍然历历在目，但是到了高三总复习阶段学生对于导数的应用平淡无奇，含参量的问题非常容易出错，稍复杂的问题感到无从下手，造成这些问题的根本原因还是高中生对于导数的理解并不到位，对于函数的研究仍然不得要领。因而在教学中，必须加强基础概念的理解和深化，使得学生能从学数学到应用数学解决生活中的实际问题的转化。对于这一目标，我们高中一线教师的道路还非常漫长。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中新课程标准[M].北京：人民教育出版社.2003.
[2]李倩 胡典顺 赵军.对新课程标准下微积分课程教学的思考[J].高等函授学报（自然科学版）.2008.
作者简介：刘芳 （1983.8-）女 ，中学二级教师，大学本科，银川唐徕回民中学，高中数学教育。
【关键词】新课标 导数 实践 反思
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）52-0179-03
为了描述现实世界中运动变化的现象，数学中引入了函数这一重要概念。通过对函数性质的研究，我们把握事物变化的规律。对于基本初等函数，研究方法是通过图像研究性质。对于相对复杂的函数，导数成为了研究这类函数性质非常重要的工具。导数有着丰富的实际背景，凡是变化率的问题，本质上都是导数的问题。那么，在新课标下，如何学好导数这部分内容呢？本文我将从以下几个方面进行分析。
一、导数如何教
新课标高中数学教材对于导数的编排下了很大的功夫，并不是把数学分析中导数的内容缩编后加以简单下放，而是充分考虑到高中学生的认知水平和思维特点，考虑微积分思想与初等数学方法的共存，考虑到高中课程的学时分配，对导数的教学提出了明确而具体的要求，这就要求我们在教学中做到以下几点：
1.强调过程，淡化概念
在数学分析中，导数内容的安排顺序是：数列的极限→函数的极限→函数的连续性→导数→导数的应用。而在人教版课本中，导数是由实际情境出发，沿着平均变化率→瞬时变化率→导数的概念→导数的几何意义→导数的应用这一思路发展的，充分体现了由特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法。
设想一下，如果按照数学分析的方法讲导数，函数的极限和函数的连续性不可避免，如果抛给高中生“对任意，存在一个使得当时，便有”这样的问题，多少学生会感到绝望，学习导数的兴趣从一开始就被浇灭了。因此，高中教材大胆逾越极限的严格定义，从两个实际问题出发（气球膨胀率问题和高台跳水瞬时速度问题），经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数即瞬时变化率，体会导数的思想及其内涵。以变化率为核心，引导学生在知识发生发展的过程中，在解决认知冲突的矛盾中，在已有的平均变化率知识基础上积极探索。
2. 突出应用，弱化严谨
数学是讲究精确与严密的一门科学，数学的精确性表现在数学的逻辑推理和数学结论的确定无疑和无可争辩。数学分析中的导数对概念、性质和公式都有严格的定义和证明。但是在高中课程中，由于学生的知识结构和思维水平的局限性，导数内容的严谨性必须要弱化，弱化的对象主要在导数的概念及其计算公式上。
事实上，《课标》中除了要求对五个基本初等函数的导数由瞬时变化率推导外，其它则只需能利用给出的导数公式和导数的四则运算法则进行计算，包括简单的复合函数的求导法则也是直接给出公式的。这都说明在新教材中，强调的是对导数概念本质的理解，真正的落脚点是希望学生能利用导数解释生活中大量存在的变化率问题，而非这些公式的严格证明。因而教学中不必舍本逐末，对于本质的问题应该迎难而上，对于推导公式的问题可以暂时缓缓。
3. 强调本质，适度形式
“强调本质，注意适度形式化”是新课标所倡导的数学课程的一个基本理念，此理念在导数这里体现的可谓是淋漓尽致。
在教学中，我们可从物理中的平均速度类比得到平均变化率，那么如何顺利过渡到瞬时变化率呢？注意，这里出现了极限符号，这是导数概念教学的一个难点，对于此极限符号该讲到什么程度呢？把握不好的话就牵涉到数学分析中的左极限、右极限了。实际上，对于高中生来讲，最高效的解决方案就在课本中。
在高台跳水问题中，先计算某一时间段内的平均速度，然后时间间隔越来越小，学生在经历计算、观察、比较、分析之后发现无论是从左边还是右边趋近一个时刻时，平均速度都会无限逼近一个确定的常数，这个常数实质上就是这一时刻的瞬时速度。平均速度和瞬时速度的关系其实就是由平均变化率向瞬时变化率过渡的一个影子和模板。另外，下节在研究导数几何意义时，我们又从图形角度进一步理解极限和导数的本质。总之，在高中教学中，完全没有必要人为加深极限这一概念，重要的是透过现象看到本质，极限就是无限逼近的思想，导数就是一个确定的常数，是瞬时变化率，是在这个点处切线的斜率，反映在这个点附近函数的变化情况。
二、学生如何学
高中数学课程应注重培养学生的数学思维水平，恰恰微积分这部分内容是非常好的契机。导数有着丰富的实际背景，且在研究函数性质时相当好用，高二的学生对它可谓是爱不释手。可是另一方面，导数属于微分领域，它的概念与本质对于高中生仍然有一定的难度。那么，对于学生来说，应该如何把握呢？
1.联系实际，抓住本质
导数来源于生活，气球的膨胀率问题就是人们的生活经验，物理学中处于运动状态的物体就要分析速度及其加速度，化学中的平均反应速率问题，甚至行星的运动、热传导问题等等，本质都是数学中的导数问题。导数解决的是函数的核心问题：函数到底是怎么变化的？它是增还是减？增减的范围是什么？增减的快慢如何？我们最终得到的结果非常明了：由导数的符号可知函数是增还是减，由导数绝对值的大小可知函数变化得快还是慢。人教版2-2课本上有一道例题，虽然简单，但很能说明问题。
例：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第时，原油的温度（单位：℃）为。计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
解析：这里还没有学到导数的计算公式，通过计算瞬时变化率可得。意义是在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降；在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率在上升。 再如，课本另一道练习题也恰如其分得说明了导数的本质。
例：如图，直线与圆C，当从开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面積S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（ ）。
解析：对于函数图象高中生通常的做法是求出函数解析式，可是此题完全是根据变化率，即变化的快慢来解决的。
总之学生要想学好导数，不至于流于形式或者套路，必须得吃透这一本质问题。
2.重视基础，理清关系
学完导数的概念之后，紧接着就要利用导数研究函数的性质，包括增减性、极值以及最值问题。无论是具体的函数还是实际问题抽象出来的函数解析式，在研究其性质时，最起码应该先求函数的定义域，这一点很多同学都失误了，直接造成了函数的单调区间或者极值点出现错误。因此，高中数学中，应该重视基础和解题习惯的养成。另外，对于增减性、极值及其最值，它们三者之间是息息相关的，比如对于增减性的研究等价于在定义域范围内解两个不等式和；是函数有极值的必要不充分条件；在闭区间的最值来源只能是极值点或者端点处。理清这些关系，解决基础问题就会信手拈来。
3.举一反三，归纳反思
当能利用导数解决一些基础问题时，千万不可得意忘形。我们需要时时反思，解决一类问题的通法是什么？易错点是什么？反思越多，对导数的理解就越深刻，进而对函数的理解就越深刻。函数才是数学的核心，导数只不过是研究函数性质的工具而已。在高考所谓的压轴题中，充分体现的是导数的工具性，真正的难点仍然在于函数本身，在于方程、函数、不等式之间的关系上。
三、导数如何用
1.利用导数研究函数的性质
例：函数的零点的个数是_________。
解析：对于三次函数的研究是导数应用的一个很好的体现。对于三次函数的零点问题，只需画出函数简图结果便一目了然。
定义域为R
可得或；当或时，；当时，。
因而在上递增，在上递减，在上递增。
因而在处取得极大值，且，此时可做函数简图，由图象可得此函数有且只有一个零点。
2.利用导数证明不等式
例：证明：当时，不等式恒成立。
解析：这类题通常的做法是构造新函数，求函数在已知区间上的最值，解答的关键在于找到函数在什么时候等于0。
构造函数，定义域为。
当时，恒大于0，因而在上单调递增，所以，原不等式成立。
3.利用导数解决几何问题
例：在上求一点P，使P到直线的距离最短？
解析：解析几何中的距离问题有很多解法，对于抛物线来讲，导数提供了一种非常便利的解法，这里利用的是导数的几何意义。原理是将直线平移至与曲线相切的位置，此时切点恰好就是所求的点。
，可得，因而所求的点P 为（2，4）。
4.导数在函数综合性问题中的使用
这类问题中着重体现的是导数的工具性，其核心是代数中函数、方程、不等式之间的关系，很多时候用到分类讨论、数形结合、等价转化等高中数学中重要的思想，具有一定难度。
例：（2015年宁夏高考题21）设函数。
（1）证明：在单调递减，在单调递增；
（2）若对于任意，都有，求m的取值范围。
解析：此题作为高考压轴，难度很大，许多同学第（1）问都证不出来。可以发现，高考中的导数题目是跳脱常规的，必须要建立在对于函数的研究方法非常熟悉的基础上。
定义域为R。
（1）当时，，明显结论成立。
若，则当时，，，于是，则；当时，，，于是，则，因而结论成立。
若，则当时，，，于是，则；当时，，，于是，则，因而结论成立。
综上，无论m取任何实数，原结论都成立。
（2）由（1）可知，对任意的m，在单调递减，在单调递增，因而在处取到最小值。所以对于任意，的充要条件是，即。
构造函数，则，易知在单调递减，在单调递增；又，因而当时，。
当时，，则充要条件成立；
当时，由的单调性，，即；
当时，，即。
综上，m的取值范围是。
以上只举到了导数应用的一些方面，在具体解题中，还需仔细分析问题，发现难点，然后开动脑筋击破难点，在平常做题的过程要注意归纳总结，体会高中数学中各种解题思想方法。
由平均速度到瞬时速度，由平均变化率到瞬时变化率，由割线斜率到切线斜率，这一过程非常漂亮，足可见新教材对于导数的编写下的功夫。学生刚开始接触导数的兴奋也仍然历历在目，但是到了高三总复习阶段学生对于导数的应用平淡无奇，含参量的问题非常容易出错，稍复杂的问题感到无从下手，造成这些问题的根本原因还是高中生对于导数的理解并不到位，对于函数的研究仍然不得要领。因而在教学中，必须加强基础概念的理解和深化，使得学生能从学数学到应用数学解决生活中的实际问题的转化。对于这一目标，我们高中一线教师的道路还非常漫长。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中新课程标准[M].北京：人民教育出版社.2003.
[2]李倩 胡典顺 赵军.对新课程标准下微积分课程教学的思考[J].高等函授学报（自然科学版）.2008.
作者简介：刘芳 （1983.8-）女 ，中学二级教师，大学本科，银川唐徕回民中学，高中数学教育。