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导数作为高中数学的一个新增内容,在近几年高考中都有重要的体现.作为一个解题工具,它与其他知识点的联系密切,如导数与单调性,导数与值域,导数与不等式,导数与解析几何等,正因为以导数为工具的题型覆盖面广,而且导数也切实实现了简化解题步骤,明晰解题思路的作用,所以在近几年高考中,导数问题才经久不衰,稳居压轴题之位.下面是我对近几年高考题中的导数压轴题得分及解法技巧的一些粗浅认识,仅供大家参考.
一、得分技巧
1.中等偏下学生,记住公式,求导得分.
导数问题虽然是压轴题,但他的第一个问通常是在含参数的前提下求单调区间,求极值的问题,只要有函数,就一定要求导,求导时会应用的公式为
①相乘形式的函数导数的求法,即(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x))
②自然对数的导数,指数函数的导数,三角函数的导数,即(lnx)′=■,(ex)′=ex,(sinx)′=cosx,(cosx)′=－sinx
所以作为中等偏下学生只要记住以上几个公式,就可以得到这道高考题的2分左右.
2.中等学生注意定义域,利用导数的恒成立,解决第一问.
高考中的导数大题一定是含参数的,我们会在参数参与的前提下求解点调区间,或极值问题,这就需要对参数的取值范围进行讨论.
例如1:2011辽宁卷文科22题第一问
已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.
（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；
在对函数求导后得到,f′(x)=■+2ax=■,
在定义域为(0,+∞)的前提下,导数的分子为最高次项含参数的一个新函数g(x)=2ax2+a+1,而当a≥0时,函数g(x)≥0恒成立.所以得到了第一种情况的单调性.同时,第一种情况中a≥0这个范围的出现也给下面的讨论提供了范围依据,接下来再在a<0时按照函数g(x)的零点情况继续讨论即可.
这道题是利用导数与0之间存在某种可确定大小关系的可能性,先分析出导数大于0或小于0恒成立的参数的取值范围,得到单调性的第一个结论,再在参数的其他范围内,对导数与0所构成的不等式进行求解,从而得到第一个问的结论.
3.上中等学生常回顾,利用本题曾经获得的结论,构造函数争取满分.
高考中导数问题一般为两个问,第一个问以讨论函数的单调性居多,第二个问多为不等式的恒成立问题,第二个问的不等式的求解过程中常常要用到第一个问曾经获得的结论,所以在解题时要时刻回顾,寻找可利用的依据.
二、解题技巧
在对最近五年高考题的整理中，我发现，导数问题在解法上还是有一定的规律可查的。
具体规律有以下几个：
(1)求导后导数的几个固定形式：①含分母的导数形式f(x)=■ ，此类导数是由含有lnx的函数求导得到的，所以定义域为(0,+∞)，此时导数的正负与分母无关，只要研究分母g(x)=mx2+nx+p，分m=0 及m≠0时△与0的关系即可.②含ex的导数形式，此类导数的原函数若为相乘形式的函数，则提取ex，导数的正负与ex无关，若只有个别式子含有ex则考虑二次求导。③含三角函数的导数形式，利用三角函数的有界性。
（2） 二次求导的使用。
高考题中有时会涉及到二次求导的使用.
如2010课标卷第21题
设函数f(x)=ex－1－x－ax2。
（1）若a=0，求f(x)的单调区间；
（2）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围
在(2)问中,一阶求导后,f′(x)=ex－1－2ax,而这一函数仍为超越函数,要研究原函数的单调性,我们还是无从下手,所以用二阶求导,令g(x)=f′(x),则g′(x)=ex－2a ,此时,由已知x≥0,所以ex≥1,即2a与1的大小关系是二阶导数与0的关系讨论的依据,而二阶导数与0的关系决定一阶导数的单调性,一阶导数若单调的话,则一定有f′(x)≥(≤)f′(0)=0恒成立,即获得了原函数得单调性.
考虑会用到二阶求导,是当一阶导数仍为超越函数,无法直接研究原函数的单调性.
(3)恒成立的应用.恒成立是导数问题中永恒的话题.归结为一句话就是恒成立即为求最大值与最小值问题,所以是导数应用的一个最重要的体现.在导数问题中,几乎所有的最后一问都要涉及到这类恒成立问题.
如2011年北京卷第18题
已知函数f(x)=(x－k)■e■.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的x∈(0,+∞)，都有f(x)≤■，求k的取值范围；
即为证明f(x)■≤■即可.
如2010课标卷第21题
设函数f(x)=ex－1－x－ax2。
(1)若a=0，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.
第二问即求f(x)min≥0
以上 是我个人在导数问题上就得分技巧和解题技巧两方面的一些浅显认识,在高考中,要想顺利地解决导数问题还需要各位同仁共同努力,寻找更多好的方法和途径,使学生少走弯路,做到事倍功半,提高高考分数.
一、得分技巧
1.中等偏下学生,记住公式,求导得分.
导数问题虽然是压轴题,但他的第一个问通常是在含参数的前提下求单调区间,求极值的问题,只要有函数,就一定要求导,求导时会应用的公式为
①相乘形式的函数导数的求法,即(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x))
②自然对数的导数,指数函数的导数,三角函数的导数,即(lnx)′=■,(ex)′=ex,(sinx)′=cosx,(cosx)′=－sinx
所以作为中等偏下学生只要记住以上几个公式,就可以得到这道高考题的2分左右.
2.中等学生注意定义域,利用导数的恒成立,解决第一问.
高考中的导数大题一定是含参数的,我们会在参数参与的前提下求解点调区间,或极值问题,这就需要对参数的取值范围进行讨论.
例如1:2011辽宁卷文科22题第一问
已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.
（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；
在对函数求导后得到,f′(x)=■+2ax=■,
在定义域为(0,+∞)的前提下,导数的分子为最高次项含参数的一个新函数g(x)=2ax2+a+1,而当a≥0时,函数g(x)≥0恒成立.所以得到了第一种情况的单调性.同时,第一种情况中a≥0这个范围的出现也给下面的讨论提供了范围依据,接下来再在a<0时按照函数g(x)的零点情况继续讨论即可.
这道题是利用导数与0之间存在某种可确定大小关系的可能性,先分析出导数大于0或小于0恒成立的参数的取值范围,得到单调性的第一个结论,再在参数的其他范围内,对导数与0所构成的不等式进行求解,从而得到第一个问的结论.
3.上中等学生常回顾,利用本题曾经获得的结论,构造函数争取满分.
高考中导数问题一般为两个问,第一个问以讨论函数的单调性居多,第二个问多为不等式的恒成立问题,第二个问的不等式的求解过程中常常要用到第一个问曾经获得的结论,所以在解题时要时刻回顾,寻找可利用的依据.
二、解题技巧
在对最近五年高考题的整理中，我发现，导数问题在解法上还是有一定的规律可查的。
具体规律有以下几个：
(1)求导后导数的几个固定形式：①含分母的导数形式f(x)=■ ，此类导数是由含有lnx的函数求导得到的，所以定义域为(0,+∞)，此时导数的正负与分母无关，只要研究分母g(x)=mx2+nx+p，分m=0 及m≠0时△与0的关系即可.②含ex的导数形式，此类导数的原函数若为相乘形式的函数，则提取ex，导数的正负与ex无关，若只有个别式子含有ex则考虑二次求导。③含三角函数的导数形式，利用三角函数的有界性。
（2） 二次求导的使用。
高考题中有时会涉及到二次求导的使用.
如2010课标卷第21题
设函数f(x)=ex－1－x－ax2。
（1）若a=0，求f(x)的单调区间；
（2）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围
在(2)问中,一阶求导后,f′(x)=ex－1－2ax,而这一函数仍为超越函数,要研究原函数的单调性,我们还是无从下手,所以用二阶求导,令g(x)=f′(x),则g′(x)=ex－2a ,此时,由已知x≥0,所以ex≥1,即2a与1的大小关系是二阶导数与0的关系讨论的依据,而二阶导数与0的关系决定一阶导数的单调性,一阶导数若单调的话,则一定有f′(x)≥(≤)f′(0)=0恒成立,即获得了原函数得单调性.
考虑会用到二阶求导,是当一阶导数仍为超越函数,无法直接研究原函数的单调性.
(3)恒成立的应用.恒成立是导数问题中永恒的话题.归结为一句话就是恒成立即为求最大值与最小值问题,所以是导数应用的一个最重要的体现.在导数问题中,几乎所有的最后一问都要涉及到这类恒成立问题.
如2011年北京卷第18题
已知函数f(x)=(x－k)■e■.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的x∈(0,+∞)，都有f(x)≤■，求k的取值范围；
即为证明f(x)■≤■即可.
如2010课标卷第21题
设函数f(x)=ex－1－x－ax2。
(1)若a=0，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.
第二问即求f(x)min≥0
以上 是我个人在导数问题上就得分技巧和解题技巧两方面的一些浅显认识,在高考中,要想顺利地解决导数问题还需要各位同仁共同努力,寻找更多好的方法和途径,使学生少走弯路,做到事倍功半,提高高考分数.