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初中数学课堂教学难点是指在教学过程中，与学生已有的数学发展水平矛盾较突出的、在数学教材中所体现的教学目标和要求。通俗来讲，课堂教学难点就是大部分学生在学习过程中难于理解和运用的知识点。中学数学课堂教学难点内容往往蕴涵着丰富的教学功能，通常也是创设课堂教学高潮的重要环节，作为新课改浪潮下的教师，我们应视课堂教学难点为契机，认真研究难点内容、难点环节的知识结构，分析学生学习的实际情况巧妙进行教学方法的预设，充分利用难点激活课堂气氛，让学生经历感知、探究、分析、归纳、运用的过程，培养学生良好的数学思维能力、思维习惯。基于此，我认为教学难点正是数学课堂的魅力所在。采取适当方法突破数学课堂教学难点尤为重要。下面就几种方法谈谈个人的看法，以供商榷。
一、预习先行，旧知铺垫
“凡事预则立,不预则废。”不论是杜郎口“三、三、六”自主学习模式，还是东庐中学的“讲学稿”，学生的自主预习都是必不可少的一个重要环节。预习的过程是学生作为独立的个体，先入为主的学习过程。通过预习，学生对教学内容初步进行了探索，什么地方已学懂，什么地方还不会，学生心中有数，听课时学生就能有效地把注意力集中在难以理解的知识点上，从而加强了听课的目的性。从心理学的角度来讲，预习为学生上课打好了注意定向的基础；用教育学的角度来讲，带着问题上课，学生的求知欲望会更强烈，有利于变“被动学习”为“主动学习”。故而于课堂知识难点的突破便有了很好的铺垫。
课前预习指上新课前利用较短的时间对学习内容进行学习。课前预习是要把学生的行为引导到“最近发展区”，因而老师要精心布置课前预习,并为学生提供自学目标,学习知识重点，课前预习一般应做到以下二点：①复习、巩固与新课内容有关的旧知识、概念,以保证与新知识顺利衔接；②初步领会学习内容,找出划出自己预习中不懂的难点问题，标记疑惑，让学生并把不懂的问题记在预习本上，以便在课堂有针对性地听课。
二、创设情境，激发思维
在数学课堂教学难点即将出现或者导入之前，创设一种情境，让学生在特定的氛围中展开积极的思维活动，激发探求欲望。要让学生懂得深而透，由情懂意，也可采用现代化手段，创设、利用“数学情境”，演示知识的生成，将学生引入问题情境，激发他们思考问题的欲望。前苏联教育家赞可夫说：“教学法一旦触及学生的情绪和意志领域，触发学生的心理需要，这种教学法就会变得高度有效。”难点也会在无形中化为乌有。这种方法的优势是能直观展现知识的生成过程，好的情境设计不但能激活学生思维，还能有效调动学生的积极性，使人赏心悦目，甚而能在学生头脑中留下深刻的印象。例如，在教两圆位置关系时，利用几何画板制作动画课件,将两圆进行拖动演示，学生对于圆心距和两圆半径之间的关系很容易掌握。
三、分散难点，逐个突破
这是突破课堂教学难点的传统策略，即在教学时，要有整体和大局观念，如果教师对于所授知识点的知识结构认真分析，或引导学生分析数学命题的条件和结论，在导入问题前，根据原题适当对原条件或结论进行“改造”，先创设铺垫问题，或运用类比、等价、归纳等手段对原知识点进行变式、拓展，可将难点进行转化、削弱或分散。将难点分别渗透到几个相关知识内容当中，进而化解难点，各个击破。还有利于学生问题意识的形成和创新能力的培养。
例如，我在一堂初三复习课——“二次函数中的三角形问题”时，考虑到这个内容是多个知识点的综合运用，它包括函数图象中的三角形面积计算、三角形相似、锐角三角函数、二次函数、直线的平移、一元二次方程等多个内容的融合，综合性强，中考中通常将它们设计成中考压轴题，是一个难点内容。于是，在教学设计时，采用循序渐进、步步深入的方式，将难点分散到各个环节中。大致步骤为：①根据一个二次函数图象找出特殊点（图象与坐标轴的交点、图象的顶点等），写出它们的坐标，并找出这些点的坐标与二次函数解析式之间的关系；②找出图象中由特殊点构成的三角形，并求出其面积；③根据现有的特殊三角形，思考在抛物线上找到与之有公共边且和它相似的三角形，利用相似的三角形对应边成比例尝试求出符合条件的三角形的顶点坐标……通过问题的层层推进，环环相扣，学生的思维逐步引入最佳状态，不但学生的学习兴趣点被调动起来，难点也被逐步化解，逐个击破。
四、设问“新”“趣”，化难为易
这种方法主要体现为创设问题时寻求“新”和“趣”，使问题的出现让学生产生一种需要，产生一种解决问题的渴求，这种渴求就是一种动力。新课程特别重视问题在教学活动中的重要作用。而巧妙的提问，更能诱发学生的创新思维、创新动机，等于给学生一泓创新的源泉。在教学过程中，出现难点问题，教师可根据教学过程中的实际情况，了解问题内部环环相扣的结构特点，将一个问题巧妙设计，使设计的问题在具有创新性、开放性、探究性的同时，又要使设计的问题具有趣味性、诱导性、易于操作性的特点，可引导学生从不同角度思考问题，追求问题的本质，诱发学生的发散思维。也可诱导学生发现或提出新的问题，教师引导或鼓励学生将新的问题或子问题进行重新组合，寻找解决问题的策略。
五、相信学生，“相机诱导”
作为教师，我们面对的学生是一个个不同的独特个体。“学生是课堂中真正的主人”。在学习过程中，每个学生现有的知识、经验和信念各不相同，每个学生在对待同一问题时,由于认识角度不同，思维方式不同，其获得的认识也会有差异，通过教师的诱导，他们对问题会有独特的理解，这其实是我们急待出现的“课堂生成”，我们要相信学生，并给他们以足够的自信，当老师根据教学过程中出现的难点，设计出具有挑战性的问题、开放性问题、探索性问题时，就可留给学生思考的机会和时间，让学生自己尝试找出问题的本质，寻求解决方案，这有利于学生深层思考，尤其是难点知识的理解。在寻求解决问题的过程中，学生会涌现出常规的解法，也会有超常的想法，或会一知半解，此时，教师应抓住时机，及时引导和发现学生独特的、新颖的方法，教师在具体问题的辅导过程中也要适度, 不能因学生积极好问就“全盘托出”,而应“相机诱导”进行适当的点拨，诱导学生加以整合，如“庖丁解牛”般将难点问题巧妙地层层化解。教师不是旁观者，可从以下几方面给学生以启示、诱导：
⑴解读问题，给学生一段语言文字的描述，打开学生想象的空间。
⑵根据问题，引导学生画出图形，数形结合，诱导学生思考，探求解决问题的方法。
⑶给学生创造相互交流、合作的平台，让学生在相互交流、合作探讨的过程中互相弥补，相互启发、相互影响，从中受到启迪。
⑷留给学生独立思考的时间，教师适时点拔：尝试添作辅助线、移动图形、尝试拼剪、构建假设、验证猜想等。
六、进退自如，捕捉灵感
教师在教学过程中，通常会遇到这种状况：学生对于教师细心的讲解、分析，仍然是一头雾水，尤其是对于数学难题的分析。此时，我们可采用“退”的方法：避难择易，先探求最原始、且较易于接受的问题，或举出特殊例子，这容易把握难点知识的破解方向，打开解题思路障碍。当运用通常方法和“退”的方法很难解决的问题时，我们又可考虑“进”的方法：由原始问题诱导出新的变式出子问题，对新问题的探讨、分析，往往能探寻到对于原问题新颖奇特、简洁的解题方法。或运用限定的方法，由一般退到特殊，运用从特殊进到一般，先解决一个一般性问题，从而特殊情况的难点也就很容易理解。有时教师在课堂中还应抓住瞬间生成，捕捉智慧火花，适时调整策略，因势利导，捕捉解决难点的灵感。
七、难点反思，作业延伸
由于受各种因素的制约，如学生现有的基础水平，或教师讲解的速度，或教师的教法设计……等等，对难点知识的分析花了很长时间，可学生仍是一知半解，似懂非懂。故此，教师应引导学生对难点内容进行反思。通过对难点知识、问题的分析过程反思回顾，对例题步骤讲解的回放，再加上师生的交流、问答，对原知识点进行引导、归纳、总结，通过对难点问题的反思，可能诱发学生对原问题的新的解题思路和方向，或会有更深入的理解，甚至会超过预期的效果。另外，教师应针对知识难点预设一组有层次的课后延伸习题，通过练习可让学生在后续的课后时间内继续领悟知识难点，或独立完成，或合作解决，这不仅有利于本堂知识难点突破、知识的巩固，还可培养学生自主学习和独立解决问题的良好习惯，甚至能激发学生更深入探究数学问题的兴趣。
总之，对于数学课堂教学难点的突破，涉及的步骤、程序、方法很多，在于教师在平时教学中不断积累，不断改进，不断创新，根据不同情况选用最佳方案。但最根本的一点是教师要结合教材的特点，充分了解所针对的不同施教对象，精心安排教学内容和时间，精心创设教学步骤，让教学中的难点瓦解，让数学课堂探究过程中的难点成为学生学习过程中的“趣点”。
（作者单位：湖南省长沙市岳麓区双枫中学）
一、预习先行，旧知铺垫
“凡事预则立,不预则废。”不论是杜郎口“三、三、六”自主学习模式，还是东庐中学的“讲学稿”，学生的自主预习都是必不可少的一个重要环节。预习的过程是学生作为独立的个体，先入为主的学习过程。通过预习，学生对教学内容初步进行了探索，什么地方已学懂，什么地方还不会，学生心中有数，听课时学生就能有效地把注意力集中在难以理解的知识点上，从而加强了听课的目的性。从心理学的角度来讲，预习为学生上课打好了注意定向的基础；用教育学的角度来讲，带着问题上课，学生的求知欲望会更强烈，有利于变“被动学习”为“主动学习”。故而于课堂知识难点的突破便有了很好的铺垫。
课前预习指上新课前利用较短的时间对学习内容进行学习。课前预习是要把学生的行为引导到“最近发展区”，因而老师要精心布置课前预习,并为学生提供自学目标,学习知识重点，课前预习一般应做到以下二点：①复习、巩固与新课内容有关的旧知识、概念,以保证与新知识顺利衔接；②初步领会学习内容,找出划出自己预习中不懂的难点问题，标记疑惑，让学生并把不懂的问题记在预习本上，以便在课堂有针对性地听课。
二、创设情境，激发思维
在数学课堂教学难点即将出现或者导入之前，创设一种情境，让学生在特定的氛围中展开积极的思维活动，激发探求欲望。要让学生懂得深而透，由情懂意，也可采用现代化手段，创设、利用“数学情境”，演示知识的生成，将学生引入问题情境，激发他们思考问题的欲望。前苏联教育家赞可夫说：“教学法一旦触及学生的情绪和意志领域，触发学生的心理需要，这种教学法就会变得高度有效。”难点也会在无形中化为乌有。这种方法的优势是能直观展现知识的生成过程，好的情境设计不但能激活学生思维，还能有效调动学生的积极性，使人赏心悦目，甚而能在学生头脑中留下深刻的印象。例如，在教两圆位置关系时，利用几何画板制作动画课件,将两圆进行拖动演示，学生对于圆心距和两圆半径之间的关系很容易掌握。
三、分散难点，逐个突破
这是突破课堂教学难点的传统策略，即在教学时，要有整体和大局观念，如果教师对于所授知识点的知识结构认真分析，或引导学生分析数学命题的条件和结论，在导入问题前，根据原题适当对原条件或结论进行“改造”，先创设铺垫问题，或运用类比、等价、归纳等手段对原知识点进行变式、拓展，可将难点进行转化、削弱或分散。将难点分别渗透到几个相关知识内容当中，进而化解难点，各个击破。还有利于学生问题意识的形成和创新能力的培养。
例如，我在一堂初三复习课——“二次函数中的三角形问题”时，考虑到这个内容是多个知识点的综合运用，它包括函数图象中的三角形面积计算、三角形相似、锐角三角函数、二次函数、直线的平移、一元二次方程等多个内容的融合，综合性强，中考中通常将它们设计成中考压轴题，是一个难点内容。于是，在教学设计时，采用循序渐进、步步深入的方式，将难点分散到各个环节中。大致步骤为：①根据一个二次函数图象找出特殊点（图象与坐标轴的交点、图象的顶点等），写出它们的坐标，并找出这些点的坐标与二次函数解析式之间的关系；②找出图象中由特殊点构成的三角形，并求出其面积；③根据现有的特殊三角形，思考在抛物线上找到与之有公共边且和它相似的三角形，利用相似的三角形对应边成比例尝试求出符合条件的三角形的顶点坐标……通过问题的层层推进，环环相扣，学生的思维逐步引入最佳状态，不但学生的学习兴趣点被调动起来，难点也被逐步化解，逐个击破。
四、设问“新”“趣”，化难为易
这种方法主要体现为创设问题时寻求“新”和“趣”，使问题的出现让学生产生一种需要，产生一种解决问题的渴求，这种渴求就是一种动力。新课程特别重视问题在教学活动中的重要作用。而巧妙的提问，更能诱发学生的创新思维、创新动机，等于给学生一泓创新的源泉。在教学过程中，出现难点问题，教师可根据教学过程中的实际情况，了解问题内部环环相扣的结构特点，将一个问题巧妙设计，使设计的问题在具有创新性、开放性、探究性的同时，又要使设计的问题具有趣味性、诱导性、易于操作性的特点，可引导学生从不同角度思考问题，追求问题的本质，诱发学生的发散思维。也可诱导学生发现或提出新的问题，教师引导或鼓励学生将新的问题或子问题进行重新组合，寻找解决问题的策略。
五、相信学生，“相机诱导”
作为教师，我们面对的学生是一个个不同的独特个体。“学生是课堂中真正的主人”。在学习过程中，每个学生现有的知识、经验和信念各不相同，每个学生在对待同一问题时,由于认识角度不同，思维方式不同，其获得的认识也会有差异，通过教师的诱导，他们对问题会有独特的理解，这其实是我们急待出现的“课堂生成”，我们要相信学生，并给他们以足够的自信，当老师根据教学过程中出现的难点，设计出具有挑战性的问题、开放性问题、探索性问题时，就可留给学生思考的机会和时间，让学生自己尝试找出问题的本质，寻求解决方案，这有利于学生深层思考，尤其是难点知识的理解。在寻求解决问题的过程中，学生会涌现出常规的解法，也会有超常的想法，或会一知半解，此时，教师应抓住时机，及时引导和发现学生独特的、新颖的方法，教师在具体问题的辅导过程中也要适度, 不能因学生积极好问就“全盘托出”,而应“相机诱导”进行适当的点拨，诱导学生加以整合，如“庖丁解牛”般将难点问题巧妙地层层化解。教师不是旁观者，可从以下几方面给学生以启示、诱导：
⑴解读问题，给学生一段语言文字的描述，打开学生想象的空间。
⑵根据问题，引导学生画出图形，数形结合，诱导学生思考，探求解决问题的方法。
⑶给学生创造相互交流、合作的平台，让学生在相互交流、合作探讨的过程中互相弥补，相互启发、相互影响，从中受到启迪。
⑷留给学生独立思考的时间，教师适时点拔：尝试添作辅助线、移动图形、尝试拼剪、构建假设、验证猜想等。
六、进退自如，捕捉灵感
教师在教学过程中，通常会遇到这种状况：学生对于教师细心的讲解、分析，仍然是一头雾水，尤其是对于数学难题的分析。此时，我们可采用“退”的方法：避难择易，先探求最原始、且较易于接受的问题，或举出特殊例子，这容易把握难点知识的破解方向，打开解题思路障碍。当运用通常方法和“退”的方法很难解决的问题时，我们又可考虑“进”的方法：由原始问题诱导出新的变式出子问题，对新问题的探讨、分析，往往能探寻到对于原问题新颖奇特、简洁的解题方法。或运用限定的方法，由一般退到特殊，运用从特殊进到一般，先解决一个一般性问题，从而特殊情况的难点也就很容易理解。有时教师在课堂中还应抓住瞬间生成，捕捉智慧火花，适时调整策略，因势利导，捕捉解决难点的灵感。
七、难点反思，作业延伸
由于受各种因素的制约，如学生现有的基础水平，或教师讲解的速度，或教师的教法设计……等等，对难点知识的分析花了很长时间，可学生仍是一知半解，似懂非懂。故此，教师应引导学生对难点内容进行反思。通过对难点知识、问题的分析过程反思回顾，对例题步骤讲解的回放，再加上师生的交流、问答，对原知识点进行引导、归纳、总结，通过对难点问题的反思，可能诱发学生对原问题的新的解题思路和方向，或会有更深入的理解，甚至会超过预期的效果。另外，教师应针对知识难点预设一组有层次的课后延伸习题，通过练习可让学生在后续的课后时间内继续领悟知识难点，或独立完成，或合作解决，这不仅有利于本堂知识难点突破、知识的巩固，还可培养学生自主学习和独立解决问题的良好习惯，甚至能激发学生更深入探究数学问题的兴趣。
总之，对于数学课堂教学难点的突破，涉及的步骤、程序、方法很多，在于教师在平时教学中不断积累，不断改进，不断创新，根据不同情况选用最佳方案。但最根本的一点是教师要结合教材的特点，充分了解所针对的不同施教对象，精心安排教学内容和时间，精心创设教学步骤，让教学中的难点瓦解，让数学课堂探究过程中的难点成为学生学习过程中的“趣点”。
（作者单位：湖南省长沙市岳麓区双枫中学）