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【摘 要】 学习空间与图形时，除了应理解和掌握它的概念、性质和判定方法外，还必须理解和掌握辅助线的功能或作用。
【关键词】 辅助线 全等三角形 不等关系
１ 引言
教育的一个目的是让今天的受教育者在未来充满变化的生活中能够理智地选择自己的生活。数学学习有助于培养人的理性思维，其实质是数学推理的学习能力有助于人们进行合理、有效的推理活动。数学证明的学习包括对证明过程的理解，把握（了解命题的含义、条件与结论之间的逻辑关系等），以及准确地表达证明的过程。
要让学生学会推理、证明，而不仅仅是能够证明一些具体的数学命题。这实质上是提高学生数学实践能力的问题。《新课标》“空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好的认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。教材分别安排学生通过观察、画图、折纸、运动等方法进行了探讨，学生们在对图形性质及其相互之间的关系进行探索的过程中同时经历了推理的过程。在这样的过程中，暗含着提高学生数学实践能力的重要工具——辅助线。
２ 思路
人教版八年纪上册第十一章介绍了三角形全等的相关知识。在作业中，不难发现有一类问题是学生感觉比较困难的，即关于三角形中不等关系的证明。这类问题往往需要适当添加辅助线，构造全等三角形，将某些线段进行“等量代换”，最后结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质得出结论。这里，问题的难点在于如何添加辅助线。就此，笔者在研读《课标》的基础上，结合教学实践，对怎样指导学生添加辅助线提出以下几点意见：
2.1 积累平面图形位置关系变换的常见方法：折叠、平移、旋转、翻转、对称、拼接……
2.2 通过典型习题深化对辅助线本身的认识：可以在形内，也可以在形外；可以是一条，也可以是多条。
2.3 训练读题与读图相结合的能力：这是确定位置关系变换方法的关键。
2.4 由等式的性质迁移出简单的不等式的性质
例如:如果a>b，那么a+a>b+b；如果a>b，那么a+c>b+c；如果a>b，b>c，那么a>b>c……
３ 例题
3.1 已知：在△ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC，求证：AB-AC>BD-DC
分析：读题：AB>AC，设问：AB比AC大多少？行动：比长度，设问：将AB与AC的哪一端固定在一起，比较另一端好呢？如何比？发现：A为公共端点，可采用旋转法，行动：将AC绕A点旋转，使AC与AB在同一直线上，将C在AB上的落点记为E，结论：AC=AE，AB-AC=BE
原命题转化为求证BE>BD-DC①
观察：BE与BD可以放在一个三角形中，行动：连接DE
观察：在△BED中，BE>BD-DE，对比①式，注意到DC与DE，读题：AD平分∠BAC，结论：∠EAD=∠CAD，恰可用于证明三角形全等（SAS）
上述分析主要是训练学生的读题与读图相结合的能力，在此过程中用到了直线的旋转以及线段的代换。共做了一条辅助线，且辅助线在形内。完整的证明过程如下：
证明：∵ AB>AC ∴可在AB上截取AE=AC，在△AED和△ACD中AE=AC∠EAD=∠CADAD＝AD
∴ △AED≌△ACD（SAS）
ED=CD（全等三角形的对应边相等）
∵ AB-AE=BE>BD-DE∴ AB-AC>BD-DC
３.2 已知：在△ABC中，AB=AC，AD=CE，求证：DE≥BC
分析：读题：AB=AC，AD=CE，结论：BD=AE
读图：AD与AE在一个三角形中，∠A是它们的夹角，设问：在等式的另一边，CE与BD是否能够放在一个三角形中？发现：可以采用平移法，平移CE或BD都可以，下面以平移BD为例继续说明，行动：平移BD，使点B与点C重合，把平移后的D点记为F，∠ECF是它们的夹角，且∠ECF=∠A （两直线平行，内错角相等）连接EF，发现可以证明三角形全等，则DE=EF，转化：欲证DE≥BC，只需证DE+EF≥BC，观察：在△DEF中DE+EF≥DF，而DF=BC
上述分析主要是训练学生的读题与读图相结合的能力，在此过程中用到了直线的平移以及线段的代换、简单的不等式的性质。共做了三条辅助线，且辅助线有的在形外，有的与形相交。
完整的证明过程如下：证明：过C作CF∥BD，连接EF，DF，∵ CF∥BD（已知） ∴∠DAE＝∠ECF（两直线平行，内错角相等） ∵ AB=AC，AD=CE（已知） ∴ AB－AD＝AC－CE，即 BD＝AE
∴ AE＝CF（等量代换），在△ADE和△CEF中AＤ＝CＥ∠DAE＝∠ECFAE＝CF ∴ △ADE≌△CEF（SAS），DE=EF（全等三角形的对应边相等）又∵DE+EF≥DF，DF=BC ∴DE≥BC
４ 后记
数学证明本身的学习包括：获得或质疑需要证明的命题；理解命题的结构，特别是条件与结论之间的逻辑联系；获得完成证明的基本策略。在教学活动中，让学生能关注知识的发生过程而不仅仅是结论，不去为做题而做题是素质教育的要求，更是学科发展的根基。“义务教育阶段数学课程的主要任务不是培养数学家；但是，我们的数学课程不能给那些未来数学家的成长制造障碍。”这是一位老数学教师的话，放在这里作为本文的结尾，与各位数学教师共勉！
参考文献
１ 初中数学课程标准（实验稿）.人民教育出版社
２ 八年级数学教科书.人民教育出版社
３ 数理化生学习大全.上海教育出版社
【关键词】 辅助线 全等三角形 不等关系
１ 引言
教育的一个目的是让今天的受教育者在未来充满变化的生活中能够理智地选择自己的生活。数学学习有助于培养人的理性思维，其实质是数学推理的学习能力有助于人们进行合理、有效的推理活动。数学证明的学习包括对证明过程的理解，把握（了解命题的含义、条件与结论之间的逻辑关系等），以及准确地表达证明的过程。
要让学生学会推理、证明，而不仅仅是能够证明一些具体的数学命题。这实质上是提高学生数学实践能力的问题。《新课标》“空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好的认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。教材分别安排学生通过观察、画图、折纸、运动等方法进行了探讨，学生们在对图形性质及其相互之间的关系进行探索的过程中同时经历了推理的过程。在这样的过程中，暗含着提高学生数学实践能力的重要工具——辅助线。
２ 思路
人教版八年纪上册第十一章介绍了三角形全等的相关知识。在作业中，不难发现有一类问题是学生感觉比较困难的，即关于三角形中不等关系的证明。这类问题往往需要适当添加辅助线，构造全等三角形，将某些线段进行“等量代换”，最后结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质得出结论。这里，问题的难点在于如何添加辅助线。就此，笔者在研读《课标》的基础上，结合教学实践，对怎样指导学生添加辅助线提出以下几点意见：
2.1 积累平面图形位置关系变换的常见方法：折叠、平移、旋转、翻转、对称、拼接……
2.2 通过典型习题深化对辅助线本身的认识：可以在形内，也可以在形外；可以是一条，也可以是多条。
2.3 训练读题与读图相结合的能力：这是确定位置关系变换方法的关键。
2.4 由等式的性质迁移出简单的不等式的性质
例如:如果a>b，那么a+a>b+b；如果a>b，那么a+c>b+c；如果a>b，b>c，那么a>b>c……
３ 例题
3.1 已知：在△ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC，求证：AB-AC>BD-DC
分析：读题：AB>AC，设问：AB比AC大多少？行动：比长度，设问：将AB与AC的哪一端固定在一起，比较另一端好呢？如何比？发现：A为公共端点，可采用旋转法，行动：将AC绕A点旋转，使AC与AB在同一直线上，将C在AB上的落点记为E，结论：AC=AE，AB-AC=BE
原命题转化为求证BE>BD-DC①
观察：BE与BD可以放在一个三角形中，行动：连接DE
观察：在△BED中，BE>BD-DE，对比①式，注意到DC与DE，读题：AD平分∠BAC，结论：∠EAD=∠CAD，恰可用于证明三角形全等（SAS）
上述分析主要是训练学生的读题与读图相结合的能力，在此过程中用到了直线的旋转以及线段的代换。共做了一条辅助线，且辅助线在形内。完整的证明过程如下：
证明：∵ AB>AC ∴可在AB上截取AE=AC，在△AED和△ACD中AE=AC∠EAD=∠CADAD＝AD
∴ △AED≌△ACD（SAS）
ED=CD（全等三角形的对应边相等）
∵ AB-AE=BE>BD-DE∴ AB-AC>BD-DC
３.2 已知：在△ABC中，AB=AC，AD=CE，求证：DE≥BC
分析：读题：AB=AC，AD=CE，结论：BD=AE
读图：AD与AE在一个三角形中，∠A是它们的夹角，设问：在等式的另一边，CE与BD是否能够放在一个三角形中？发现：可以采用平移法，平移CE或BD都可以，下面以平移BD为例继续说明，行动：平移BD，使点B与点C重合，把平移后的D点记为F，∠ECF是它们的夹角，且∠ECF=∠A （两直线平行，内错角相等）连接EF，发现可以证明三角形全等，则DE=EF，转化：欲证DE≥BC，只需证DE+EF≥BC，观察：在△DEF中DE+EF≥DF，而DF=BC
上述分析主要是训练学生的读题与读图相结合的能力，在此过程中用到了直线的平移以及线段的代换、简单的不等式的性质。共做了三条辅助线，且辅助线有的在形外，有的与形相交。
完整的证明过程如下：证明：过C作CF∥BD，连接EF，DF，∵ CF∥BD（已知） ∴∠DAE＝∠ECF（两直线平行，内错角相等） ∵ AB=AC，AD=CE（已知） ∴ AB－AD＝AC－CE，即 BD＝AE
∴ AE＝CF（等量代换），在△ADE和△CEF中AＤ＝CＥ∠DAE＝∠ECFAE＝CF ∴ △ADE≌△CEF（SAS），DE=EF（全等三角形的对应边相等）又∵DE+EF≥DF，DF=BC ∴DE≥BC
４ 后记
数学证明本身的学习包括：获得或质疑需要证明的命题；理解命题的结构，特别是条件与结论之间的逻辑联系；获得完成证明的基本策略。在教学活动中，让学生能关注知识的发生过程而不仅仅是结论，不去为做题而做题是素质教育的要求，更是学科发展的根基。“义务教育阶段数学课程的主要任务不是培养数学家；但是，我们的数学课程不能给那些未来数学家的成长制造障碍。”这是一位老数学教师的话，放在这里作为本文的结尾，与各位数学教师共勉！
参考文献
１ 初中数学课程标准（实验稿）.人民教育出版社
２ 八年级数学教科书.人民教育出版社
３ 数理化生学习大全.上海教育出版社