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【摘 要】 如何提高学生的解题能力？重视问题反思是提高解题能力的有效途径，学生只有在思考，再思考的过程中获取知识，才能沟通新旧知识联系，促进知识的同化和迁移，拓宽思路，优化解题策略，提高学习效率。
【关键词】 问题反思 数学思维
许多学生平时在解题时，只重视解题过程及结果，而往往忽略了对问题的反思。古人云：“学贵自得，学贵多疑。”虽然解题是培养数学思维能力的一个重要环节，但如果对问题缺乏解后反思，对问题的理解不深刻，很难及时发现自身思维存在的缺点，就难以获得深入学习的能力和不断创新的品质。因此，学生若能在对问题的反思中获取知识，应有助于拓宽思路，防止错解，克服思维定势，同时可以不断积累经验，培养思维的发散性，全面性，增强创造性解决问题的能力。
现在的高中生虽然普遍具有反思的意识，有了一定的反思能力，但由于学生个体的差异，反思能力发展不平衡，大多还没有发展到自觉反思的阶段，而且也不知道从哪些方面来对问题反思，因此，需要我们教师在教学过程中对学生的反思能力进行指导，使学生自己能够对问题做到有效的反思。下面就个人体会略谈几点，以飨读者。
１ 反思所学过的知识，形成完整的知识体系
一道问题的设计都是建立在所学过的知识的基础上，随着学生学习的深入，所学知识越来越多，知识面也越来越宽。如果对所学知识没有进行系统整理、没有纵横联系的话，所学知识也都是零散的知识点，要是遇到问题要提取，往往就无所适从。因此在解完一道问题后，可以引导学生反思这道题考察了哪些所学的知识点，这些知识点有哪些内在的联系，为何可以这样沟通？理清了这些，也就同时加深了所学知识的记忆，拓展了知识体系。
在教学球的接切问题时，我举了一道例子：正三棱锥S-ABC中，M，N分别为SC，BC的中点，MN⊥AM，SA=2，求正三棱锥S-ABC的外接球的体积。
解：由正三棱锥性质知：SB⊥AC， ∵ M，N为中点∴ MN∥SB ∴ MN⊥AC，又MN⊥AM ∴ MN⊥面SAC ∴ SB⊥面SAC得：SB⊥SASB⊥SC又由正三棱锥性质知侧面为全等的等腰三角形， ∴ SC⊥SA 即三侧棱两两垂直，设外接球半径为R，则4R2=3（2）2得R=3 ∴ V球=πR2=π•27=36π，解后我让学生总结了题目所考察的知识点：正三棱锥的性质：对棱垂直，侧面为全等的等腰三角形。线面垂直的判定定理；“墙角型” 三棱锥的外接球半径求法；球的体积公式。一道问题考察了立体几何的重要性质、定理、公式，同时，锥球的内在联系通过“接”得以实现，总结了这些以后，学生对所学的知识就有了更深的认识。
2 反思解题规律，解题思想方法，探求共性，提高解题能力
通常同一类型问题解法一般都有其规律性，一般蕴涵在一定的数学思想方法下，因此一个问题解决后，要善于引导学生对解题过程中反映的数学思想、方法、解题规律进行反思，从中总结、概括找出普遍适用的东西，以现在解决的问题的经验帮助今后问题的解决。
在讲解（07年高考福建理科卷）第20题时，我引导学生一起总结了这道题所考察的思想方法，解题的规律，同时对问题做了变式让学生也能运用所总结的方法进行开放式探究：
如图，已知点Ｆ（１，０），直线l:x=-1，p为平面上的动点，过p作直线l的垂线，垂足为点Q，且•=•①求动点p的轨迹Ｃ的方程；②过点Ｆ的直线交轨迹Ｃ于Ａ，Ｂ两点，交直线l于点Ｍ，已知＝λ１，＝λ２，求λ１＋λ２的值。
解：①Ｃ＝y2=4x．②设直线AB的方程为：x=my+1（m≠0）．
设Ａ（x1，y1），B（x2，y2），又M（－１，－），联立方程组y2=4xx=my+1，消去x得：y2-4my-4=0，△＝（-4m）２＋１２>0，故y1＋y2=4my1y2=－4由＝λ１，＝λ２，得：y1＋＝－λ１y1，y２＋＝－λ２y２，整理得：λ１＝－１－，λ２＝－１－，∴ λ１+λ2=-2-（+）=-2-（）=-2-•＝０．
问题②为定值探索题，考查圆锥曲线坐标运算（整体代换）方法研究曲线几何特征，我做了如下变式：将命题推广至椭圆与双曲线得：设椭圆+=1（a>b>0）（双曲线－=1（a>0，b>0））的焦点为F，相应的准线为l，过点F的直线交椭圆（双曲线）于A、B两点，交直线l于点M，已知＝λ１，＝λ２，求λ１＋λ２的值。
将焦点F与准线位置作相应变化得：设椭圆+=1（a>b>0）（双曲线－=1（a>0，b>0）），N（n，０）（｜n｜ 通过对原问题的解题思路、思想方法的反思后，领会了同类问题的解法，培养了触类旁通的能力，原问题变式的求解对学生来说就没有多大的困难了。
3 反思思维过程，开阔思路，培养思维灵活性
解题的关键是在未知和已知之间寻找解题途径，在做完一道题后的反思，不仅是简单的总结和检验，也应该根据题目的特征与特殊元素进行多角度、多方位的观察、联想。反思是否还有新的解题途径，有否更佳、最简单的解法，使学生思维的灵活性在多解中得到培养和发展。
例题：椭圆－=1的焦点是F1、F2，椭圆上一点P满足PF1⊥PF2，下面结论正确的是（ ）
（A）P点有两个 （B）P点有四个
（C）P点不一定存在 （D）P点一定不存在
解：思路1：求利用焦半径公式结合勾股定理求点P坐标看个数。设P（x0，y0）由焦半径知：｜PF1｜＝a+ex0=5+x0，
｜PF2｜＝a-ex0=5-x0 ∴ PF1⊥PF2 ∴ ｜PF1｜2+｜PF2｜2=｜F1F2｜（5+x0）２＋（5+x0）２＝１０２x0２＝５０x0２＝ ∴ x=±，而在椭圆中｜x0｜≤５而｜x0｜＝>８，不符合题意，故选D。
思路2：由椭圆性质知：当p点在短轴端点处∠F1PF2最大，想到由∠F1PF2大小来判别点P个数。
解：设∠F1PF2＝２a，tana=<1，a<，所以此时∠F1PF2为锐角，与题设矛盾。故选D。
思路3：由PF1⊥PF2联想圆的定义知：P在以F1，F2为直径端点的圆上，即判别以F1，F2为直径端点的圆与椭圆的交点个数，从而想到更简捷的解法：
解：以F1F2为直径构圆，知：圆的半径r=c=3<4=b，即圆与椭圆不可能有交点。故选D。
通过引导学生反思多种解法，不仅培养了学生思维的多样性，同时也揭示了同类问题的常用解题技巧，也有助于学生能力的提高。
4 反思错解原因，提高思维全面性
学生在解题中出现的错误有知识缺陷造成的，又有能力缺陷造成的，也有逻辑，策略上造成的，更有非智力因素如思维定势造成的，因此以此为切入点，正确引导学生进行反思，在知错中改错，在改错中防错，找“病根”，再“对症下药”，有助于改善思维品质。
例：光线每通过一块玻璃，其强度要失掉10％，把几块同样的玻璃重叠起来，通过它们的光线的强度减弱到原来强度的以下，那么至少重叠________块玻璃。（lg3=0.477）学生这样解：设玻璃数需要n块，∵（１－１０％）n<两边取以10为底的对数得nlg0.9 失误的原因：解不等式时受心理定势影响与解方程等同起来，未判别除数符号，导致错误。
例：△ABC中，cosA=，sinB=，求cosC值。
错解：∵cosA= ∴ sinA=，又∵ sinB=， ∴cosB=±∴ cosC=cos〔π-（A+B）〕=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-或，错解原因：没看清题设条件：cosA=，sinB=中隐含关系：A>B，A为锐角，则B也为锐角，∴cosB=，∴cosC=cos〔π-（A+B）〕=-，即在于没有注意审题，对隐含的条件没有挖掘，考虑不周全。
例.已知{an}为等比数列，且Sn=a，S2n=b，（ab≠0），求S3n．错解：设等比数列{an}的公比为q。
由已知Sn＝=a ① S2n＝=b ②
又ab≠0，②/①得1＋qn＝，qn＝－１ ③
将③代入①，得＝ ∴ S３n＝＝（1-q３n）＝［１－（－１）３］＝，错解原因：Sn=的使用前提：q≠1，忽略了q=1的情况。
对定理、公式，性质理解不透彻，忽略公式定理的使用条件，通过对错题的反思总结，真正让学生“吃一堑，长一智”。因此，引导学生对问题多角度的解后反思能促进学生从新的角度，多层次、多侧面的对问题及解决问题的思维过程进行全面的分析与思考，从而深化对问题的理解，提升学生的数学能力，这也是我们教师在教学实践中应当尝试的探索。
参考文献
１ 徐斌艳.数学课程与教学论
2 田书华.数学思维方略
【关键词】 问题反思 数学思维
许多学生平时在解题时，只重视解题过程及结果，而往往忽略了对问题的反思。古人云：“学贵自得，学贵多疑。”虽然解题是培养数学思维能力的一个重要环节，但如果对问题缺乏解后反思，对问题的理解不深刻，很难及时发现自身思维存在的缺点，就难以获得深入学习的能力和不断创新的品质。因此，学生若能在对问题的反思中获取知识，应有助于拓宽思路，防止错解，克服思维定势，同时可以不断积累经验，培养思维的发散性，全面性，增强创造性解决问题的能力。
现在的高中生虽然普遍具有反思的意识，有了一定的反思能力，但由于学生个体的差异，反思能力发展不平衡，大多还没有发展到自觉反思的阶段，而且也不知道从哪些方面来对问题反思，因此，需要我们教师在教学过程中对学生的反思能力进行指导，使学生自己能够对问题做到有效的反思。下面就个人体会略谈几点，以飨读者。
１ 反思所学过的知识，形成完整的知识体系
一道问题的设计都是建立在所学过的知识的基础上，随着学生学习的深入，所学知识越来越多，知识面也越来越宽。如果对所学知识没有进行系统整理、没有纵横联系的话，所学知识也都是零散的知识点，要是遇到问题要提取，往往就无所适从。因此在解完一道问题后，可以引导学生反思这道题考察了哪些所学的知识点，这些知识点有哪些内在的联系，为何可以这样沟通？理清了这些，也就同时加深了所学知识的记忆，拓展了知识体系。
在教学球的接切问题时，我举了一道例子：正三棱锥S-ABC中，M，N分别为SC，BC的中点，MN⊥AM，SA=2，求正三棱锥S-ABC的外接球的体积。
解：由正三棱锥性质知：SB⊥AC， ∵ M，N为中点∴ MN∥SB ∴ MN⊥AC，又MN⊥AM ∴ MN⊥面SAC ∴ SB⊥面SAC得：SB⊥SASB⊥SC又由正三棱锥性质知侧面为全等的等腰三角形， ∴ SC⊥SA 即三侧棱两两垂直，设外接球半径为R，则4R2=3（2）2得R=3 ∴ V球=πR2=π•27=36π，解后我让学生总结了题目所考察的知识点：正三棱锥的性质：对棱垂直，侧面为全等的等腰三角形。线面垂直的判定定理；“墙角型” 三棱锥的外接球半径求法；球的体积公式。一道问题考察了立体几何的重要性质、定理、公式，同时，锥球的内在联系通过“接”得以实现，总结了这些以后，学生对所学的知识就有了更深的认识。
2 反思解题规律，解题思想方法，探求共性，提高解题能力
通常同一类型问题解法一般都有其规律性，一般蕴涵在一定的数学思想方法下，因此一个问题解决后，要善于引导学生对解题过程中反映的数学思想、方法、解题规律进行反思，从中总结、概括找出普遍适用的东西，以现在解决的问题的经验帮助今后问题的解决。
在讲解（07年高考福建理科卷）第20题时，我引导学生一起总结了这道题所考察的思想方法，解题的规律，同时对问题做了变式让学生也能运用所总结的方法进行开放式探究：
如图，已知点Ｆ（１，０），直线l:x=-1，p为平面上的动点，过p作直线l的垂线，垂足为点Q，且•=•①求动点p的轨迹Ｃ的方程；②过点Ｆ的直线交轨迹Ｃ于Ａ，Ｂ两点，交直线l于点Ｍ，已知＝λ１，＝λ２，求λ１＋λ２的值。
解：①Ｃ＝y2=4x．②设直线AB的方程为：x=my+1（m≠0）．
设Ａ（x1，y1），B（x2，y2），又M（－１，－），联立方程组y2=4xx=my+1，消去x得：y2-4my-4=0，△＝（-4m）２＋１２>0，故y1＋y2=4my1y2=－4由＝λ１，＝λ２，得：y1＋＝－λ１y1，y２＋＝－λ２y２，整理得：λ１＝－１－，λ２＝－１－，∴ λ１+λ2=-2-（+）=-2-（）=-2-•＝０．
问题②为定值探索题，考查圆锥曲线坐标运算（整体代换）方法研究曲线几何特征，我做了如下变式：将命题推广至椭圆与双曲线得：设椭圆+=1（a>b>0）（双曲线－=1（a>0，b>0））的焦点为F，相应的准线为l，过点F的直线交椭圆（双曲线）于A、B两点，交直线l于点M，已知＝λ１，＝λ２，求λ１＋λ２的值。
将焦点F与准线位置作相应变化得：设椭圆+=1（a>b>0）（双曲线－=1（a>0，b>0）），N（n，０）（｜n｜
3 反思思维过程，开阔思路，培养思维灵活性
解题的关键是在未知和已知之间寻找解题途径，在做完一道题后的反思，不仅是简单的总结和检验，也应该根据题目的特征与特殊元素进行多角度、多方位的观察、联想。反思是否还有新的解题途径，有否更佳、最简单的解法，使学生思维的灵活性在多解中得到培养和发展。
例题：椭圆－=1的焦点是F1、F2，椭圆上一点P满足PF1⊥PF2，下面结论正确的是（ ）
（A）P点有两个 （B）P点有四个
（C）P点不一定存在 （D）P点一定不存在
解：思路1：求利用焦半径公式结合勾股定理求点P坐标看个数。设P（x0，y0）由焦半径知：｜PF1｜＝a+ex0=5+x0，
｜PF2｜＝a-ex0=5-x0 ∴ PF1⊥PF2 ∴ ｜PF1｜2+｜PF2｜2=｜F1F2｜（5+x0）２＋（5+x0）２＝１０２x0２＝５０x0２＝ ∴ x=±，而在椭圆中｜x0｜≤５而｜x0｜＝>８，不符合题意，故选D。
思路2：由椭圆性质知：当p点在短轴端点处∠F1PF2最大，想到由∠F1PF2大小来判别点P个数。
解：设∠F1PF2＝２a，tana=<1，a<，所以此时∠F1PF2为锐角，与题设矛盾。故选D。
思路3：由PF1⊥PF2联想圆的定义知：P在以F1，F2为直径端点的圆上，即判别以F1，F2为直径端点的圆与椭圆的交点个数，从而想到更简捷的解法：
解：以F1F2为直径构圆，知：圆的半径r=c=3<4=b，即圆与椭圆不可能有交点。故选D。
通过引导学生反思多种解法，不仅培养了学生思维的多样性，同时也揭示了同类问题的常用解题技巧，也有助于学生能力的提高。
4 反思错解原因，提高思维全面性
学生在解题中出现的错误有知识缺陷造成的，又有能力缺陷造成的，也有逻辑，策略上造成的，更有非智力因素如思维定势造成的，因此以此为切入点，正确引导学生进行反思，在知错中改错，在改错中防错，找“病根”，再“对症下药”，有助于改善思维品质。
例：光线每通过一块玻璃，其强度要失掉10％，把几块同样的玻璃重叠起来，通过它们的光线的强度减弱到原来强度的以下，那么至少重叠________块玻璃。（lg3=0.477）学生这样解：设玻璃数需要n块，∵（１－１０％）n<两边取以10为底的对数得nlg0.9
例：△ABC中，cosA=，sinB=，求cosC值。
错解：∵cosA= ∴ sinA=，又∵ sinB=， ∴cosB=±∴ cosC=cos〔π-（A+B）〕=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-或，错解原因：没看清题设条件：cosA=，sinB=中隐含关系：A>B，A为锐角，则B也为锐角，∴cosB=，∴cosC=cos〔π-（A+B）〕=-，即在于没有注意审题，对隐含的条件没有挖掘，考虑不周全。
例.已知{an}为等比数列，且Sn=a，S2n=b，（ab≠0），求S3n．错解：设等比数列{an}的公比为q。
由已知Sn＝=a ① S2n＝=b ②
又ab≠0，②/①得1＋qn＝，qn＝－１ ③
将③代入①，得＝ ∴ S３n＝＝（1-q３n）＝［１－（－１）３］＝，错解原因：Sn=的使用前提：q≠1，忽略了q=1的情况。
对定理、公式，性质理解不透彻，忽略公式定理的使用条件，通过对错题的反思总结，真正让学生“吃一堑，长一智”。因此，引导学生对问题多角度的解后反思能促进学生从新的角度，多层次、多侧面的对问题及解决问题的思维过程进行全面的分析与思考，从而深化对问题的理解，提升学生的数学能力，这也是我们教师在教学实践中应当尝试的探索。
参考文献
１ 徐斌艳.数学课程与教学论
2 田书华.数学思维方略