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【摘 要】我国四大名著之一的《红楼梦》中，有一段精彩的有关生日的描写，就是几个人的生日正好遇在了一起。这个问题在数学上称之为“生日问题”，它是《概率论》中一个典型的数学问题。很多人都对生日问题进行过探讨和研究，得到了很多有价值的结论，本文在总结他人结论的基础上，进行了一些新的探讨，特别是与指定某人生日相同的问题、三人生日相同的问题和至少三人生日相同的问题，谈了一些粗浅的认识。
【关键词】典型 数学问题 生日问题
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2011）09－0163－02
【Abstract】In the book The Story of The Stone, one of the four most famous Chinse literature works, there is a wonderful description on birthday, that is some people’s birthday is the same day. This case in mathematics is known as the “Birthday Problem”, which is a typical mathematical problem in the theory of probability. Many people have studied on the topic “Birthday Problem” and have gained a lot of valuable conclusions. This article has carried on some new discussions, based on other people’s conclusion, especially stressed on the two problems: the same birthday with someone arranged and the same birthday to three or more people.
【Key words】Typical Mathematical problem Birthday Problem
一、原 文
在《红楼梦》［1］第六十二回“憨湘云醉眠芍药茵，呆香菱情解石榴裙”有这样一段文字描述：“当下又值宝玉生日已到，原来宝琴也是这日，二人相同。”……“袭人笑推宝玉：‘你再作揖。’宝玉道：‘已经完了，怎么又作揖？’袭人笑道：‘这是他来给你拜寿。今儿也是他的生日，你也该给他拜寿。’宝玉听了，喜的忙作下揖去，说：‘原来今儿也是姐姐的芳诞。’平儿还万福不迭。湘云拉宝琴岫烟说：‘你们四个人对拜寿，直拜一天才是。’探春忙问：‘原来邢妹妹也是今儿？我怎么就忘了。’”……“探春笑道：‘倒有些意思，一年十二个月，月月有几个生日。人多了，便这等巧，也有三个一日，两个一日的。’”……“袭人道：‘二月十二是林姑娘，怎么没人？就只不是咱家的人。’探春笑道：‘我这个记性是怎么了！’宝玉笑指袭人道：‘他和林妹妹是一日，所以他记的。’”
二、问题的提出与分析
上面的文字，述说了贾府里的人生日相同的问题，或2人、3人相同，或4人相同。在数学中，这是一个典型的概率问题，曹雪芹先生在那时就发现了这个现象，只是他不可能理解为什么会有这么多人生日相同。生日相同，绝不是像探春说的是巧合，而是有它深厚的数学背景。这个问题在一些书籍或杂志上进行了解决，但更多解决的是两人生日相同的问题，笔者认为这个问题解决应从以下几个方面进行考虑：①必须明确我们所要研究的这个群体（集合）所含人（元素）数的多少，集合所含元素的个数不同，计算出的概率是不一样的；②解决好至少有两人生日相同的问题，这是一个较原始、较基本的问题；③解决好与某一指定的人生日相同的问题，这是一个特定的新问题；④考虑一下多人（大于2人）生日相同的问题，要求生日相同所含人数不同（如3人或4人的生日在同一天），计算出的概率是不一样的。
三、解决问题的前提条件
解决问题的前提条件为：第一，以1年365天计（不考虑闰年闰月因素）；第二，双胞胎乃至多胞胎现象不得参与，否则以1人计；第三，某个人出生在哪一天，是等概率事件，没有人为地控制；第四，所研究的群体人数一般不多于365，否则“至少两人生日相同”成为必然事件。若群体数多于365，应不再考虑“至少两人生日相同”的问题。
四、问题的解决
1．对问题①②的解决
假定所要研究的这个群体（集合）所含的人（元素）数为m（2≤m≤365，m∈N）人，则m人中有两人概率相同的计算如下：
m个人可能的生日组合数是N＝365×365×365×……×365（共m个）；
m个人生日都不重复的组合数是M＝365×364×363×……×（365－m＋1）；
则m个人生日有重复的概率是P（m）＝ ，数值计算
见表1，折线图见图1。
表1
群体人数m 至少有两人生日相同的概率P（m）
10 12%
20 41.1%
23 50.7%
30 70.6%
50 97.0%
100 99.99997%
200 99.9999999999999999999999999998%
≥366 100%
人数m
图1 至少有两人生日相同的概率P（m）
2．对问题③的解决
由于该特定人生日一定，所以对这个问题的解决应从两个方面考虑：一是一定的群体与他生日相同的概率是多少；二是要想与他的生日相同的概率达到某种程度，需要多大的一个群体。
假定群体的人数为m（m≥0）人，概率为P（m）。
故与某一特定人生日相同的概率是P（m）＝ ，数
值计算见表2，折线图见图2。
表2
群体人数m 与指定人生日相同的概率P（m）
10 2.71%
20 5.34%
30 7.90%
50 12.82%
100 23.99%
200 42.23%
300 56.09%
400 66.63%
500 74.63%
800 88.86%
1000 93.57%
图2 与指定人生日相同的概率P（m）
3．对问题④的解决
多人（大于2人）生日相同，一是看要研究的群体所含人数的多少；二是要看要求几人生日相同。假定群体的人数为m人，要求至少三个人生日在同一天的概率为P（m）。解决这个问题有两个方案。
方案一：首先要假定至少两人的生日在同一天，在其他m－2人中有一人生日也在这一天，问题就可以解决了。所以要求第三个人与前两个人生日相同，相当于前两个是特定的人，然后求第三个人与特定人生日相同的问题。在这个问题的解决中，要用到上述1. 与2. 的结论，所以0≤m≤365。
故至少有三人生日相同的概率是 ，
（M，N与上述1. 相同），数值计算见表3，折线图见图3。
表3
群体人数m 至少三人生日相同的概率P（m）
10 0.33%
20 2.19%
30 5.58%
50 12.44%
100 23.99%
200 42.23%
图3 至少三人生日相同的概率P（m）
方案二：第一人的生日在某一天，第二人也在这一天，第三人也在这一天。对于第一人来说，出生在365天中的一天是必然事件，对于第二和第三人来说，他们应该是指定这一天的概率问题，又因为每个人生日在哪一天是相互独立事件，设这三个人在指定这天的概率分别为P（m1）、P（m2）、P（m3），群体的人数为m（m≥0）人，则P（m）＝P（m1）P（m2）P（m3）。P（m1）＝1，
P（m2）＝ ，P（m3）＝ ，数值计算见表4，折
线图见图4。
表4
群体人数m P（m2） P（m3） P（m）
10 2.71% 2.71% 0.0734%
20 5.34% 5.34% 0.2852%
30 7.90% 7.90% 0.6241%
50 12.82% 12.82% 1.6435%
100 23.99% 23.99% 5.7552%
200 42.23% 42.23% 17.8337%
300 56.09% 56.09% 31.4609%
400 66.63% 66.63% 44.3956%
500 74.63% 74.63% 55.6964%
800 88.86% 88.86% 78.9610%
1000 93.57% 93.57% 87.5534%
图4 三人生日相同的概率P（m）
三人以上生日在同一天，解决方案越来越复杂。在此就不作讨论了。
参考文献
1 曹雪芹、高鹗著.红楼梦［M］.长沙：岳麓书社，1987
2 盛骤等编.概率论与数理统计［M］.北京：高等教育出版社，2005
【关键词】典型 数学问题 生日问题
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2011）09－0163－02
【Abstract】In the book The Story of The Stone, one of the four most famous Chinse literature works, there is a wonderful description on birthday, that is some people’s birthday is the same day. This case in mathematics is known as the “Birthday Problem”, which is a typical mathematical problem in the theory of probability. Many people have studied on the topic “Birthday Problem” and have gained a lot of valuable conclusions. This article has carried on some new discussions, based on other people’s conclusion, especially stressed on the two problems: the same birthday with someone arranged and the same birthday to three or more people.
【Key words】Typical Mathematical problem Birthday Problem
一、原 文
在《红楼梦》［1］第六十二回“憨湘云醉眠芍药茵，呆香菱情解石榴裙”有这样一段文字描述：“当下又值宝玉生日已到，原来宝琴也是这日，二人相同。”……“袭人笑推宝玉：‘你再作揖。’宝玉道：‘已经完了，怎么又作揖？’袭人笑道：‘这是他来给你拜寿。今儿也是他的生日，你也该给他拜寿。’宝玉听了，喜的忙作下揖去，说：‘原来今儿也是姐姐的芳诞。’平儿还万福不迭。湘云拉宝琴岫烟说：‘你们四个人对拜寿，直拜一天才是。’探春忙问：‘原来邢妹妹也是今儿？我怎么就忘了。’”……“探春笑道：‘倒有些意思，一年十二个月，月月有几个生日。人多了，便这等巧，也有三个一日，两个一日的。’”……“袭人道：‘二月十二是林姑娘，怎么没人？就只不是咱家的人。’探春笑道：‘我这个记性是怎么了！’宝玉笑指袭人道：‘他和林妹妹是一日，所以他记的。’”
二、问题的提出与分析
上面的文字，述说了贾府里的人生日相同的问题，或2人、3人相同，或4人相同。在数学中，这是一个典型的概率问题，曹雪芹先生在那时就发现了这个现象，只是他不可能理解为什么会有这么多人生日相同。生日相同，绝不是像探春说的是巧合，而是有它深厚的数学背景。这个问题在一些书籍或杂志上进行了解决，但更多解决的是两人生日相同的问题，笔者认为这个问题解决应从以下几个方面进行考虑：①必须明确我们所要研究的这个群体（集合）所含人（元素）数的多少，集合所含元素的个数不同，计算出的概率是不一样的；②解决好至少有两人生日相同的问题，这是一个较原始、较基本的问题；③解决好与某一指定的人生日相同的问题，这是一个特定的新问题；④考虑一下多人（大于2人）生日相同的问题，要求生日相同所含人数不同（如3人或4人的生日在同一天），计算出的概率是不一样的。
三、解决问题的前提条件
解决问题的前提条件为：第一，以1年365天计（不考虑闰年闰月因素）；第二，双胞胎乃至多胞胎现象不得参与，否则以1人计；第三，某个人出生在哪一天，是等概率事件，没有人为地控制；第四，所研究的群体人数一般不多于365，否则“至少两人生日相同”成为必然事件。若群体数多于365，应不再考虑“至少两人生日相同”的问题。
四、问题的解决
1．对问题①②的解决
假定所要研究的这个群体（集合）所含的人（元素）数为m（2≤m≤365，m∈N）人，则m人中有两人概率相同的计算如下：
m个人可能的生日组合数是N＝365×365×365×……×365（共m个）；
m个人生日都不重复的组合数是M＝365×364×363×……×（365－m＋1）；
则m个人生日有重复的概率是P（m）＝ ，数值计算
见表1，折线图见图1。
表1
群体人数m 至少有两人生日相同的概率P（m）
10 12%
20 41.1%
23 50.7%
30 70.6%
50 97.0%
100 99.99997%
200 99.9999999999999999999999999998%
≥366 100%
人数m
图1 至少有两人生日相同的概率P（m）
2．对问题③的解决
由于该特定人生日一定，所以对这个问题的解决应从两个方面考虑：一是一定的群体与他生日相同的概率是多少；二是要想与他的生日相同的概率达到某种程度，需要多大的一个群体。
假定群体的人数为m（m≥0）人，概率为P（m）。
故与某一特定人生日相同的概率是P（m）＝ ，数
值计算见表2，折线图见图2。
表2
群体人数m 与指定人生日相同的概率P（m）
10 2.71%
20 5.34%
30 7.90%
50 12.82%
100 23.99%
200 42.23%
300 56.09%
400 66.63%
500 74.63%
800 88.86%
1000 93.57%
图2 与指定人生日相同的概率P（m）
3．对问题④的解决
多人（大于2人）生日相同，一是看要研究的群体所含人数的多少；二是要看要求几人生日相同。假定群体的人数为m人，要求至少三个人生日在同一天的概率为P（m）。解决这个问题有两个方案。
方案一：首先要假定至少两人的生日在同一天，在其他m－2人中有一人生日也在这一天，问题就可以解决了。所以要求第三个人与前两个人生日相同，相当于前两个是特定的人，然后求第三个人与特定人生日相同的问题。在这个问题的解决中，要用到上述1. 与2. 的结论，所以0≤m≤365。
故至少有三人生日相同的概率是 ，
（M，N与上述1. 相同），数值计算见表3，折线图见图3。
表3
群体人数m 至少三人生日相同的概率P（m）
10 0.33%
20 2.19%
30 5.58%
50 12.44%
100 23.99%
200 42.23%
图3 至少三人生日相同的概率P（m）
方案二：第一人的生日在某一天，第二人也在这一天，第三人也在这一天。对于第一人来说，出生在365天中的一天是必然事件，对于第二和第三人来说，他们应该是指定这一天的概率问题，又因为每个人生日在哪一天是相互独立事件，设这三个人在指定这天的概率分别为P（m1）、P（m2）、P（m3），群体的人数为m（m≥0）人，则P（m）＝P（m1）P（m2）P（m3）。P（m1）＝1，
P（m2）＝ ，P（m3）＝ ，数值计算见表4，折
线图见图4。
表4
群体人数m P（m2） P（m3） P（m）
10 2.71% 2.71% 0.0734%
20 5.34% 5.34% 0.2852%
30 7.90% 7.90% 0.6241%
50 12.82% 12.82% 1.6435%
100 23.99% 23.99% 5.7552%
200 42.23% 42.23% 17.8337%
300 56.09% 56.09% 31.4609%
400 66.63% 66.63% 44.3956%
500 74.63% 74.63% 55.6964%
800 88.86% 88.86% 78.9610%
1000 93.57% 93.57% 87.5534%
图4 三人生日相同的概率P（m）
三人以上生日在同一天，解决方案越来越复杂。在此就不作讨论了。
参考文献
1 曹雪芹、高鹗著.红楼梦［M］.长沙：岳麓书社，1987
2 盛骤等编.概率论与数理统计［M］.北京：高等教育出版社，2005