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研究表明，学生在学习之前头脑里并非一片空白，在日常的观察和体验过程中，会形成一些自己的看法，并在无形中养成一定的思维方式。国外研究者将学生在学习之前形成的概念简称为“前概念”，而把学生围绕“前概念”建立起来的一种特有的错误思维结构称为“相异构想”或“不同的概念框架”。“相异构想”对学生的学习有较大的影响，表现在当新知识与学生已有的“相异构想”不同时，可能会被学生排斥、异化，影响其对知识的理解。很多教师在教学时不重视学生“相异构想”的转变，认为只要把正确的概念传授给学生，学生的错误认识就自然被纠正过来。殊不知，学生先有的“相异构想”是不容易被抛弃的，会顽固地影响其学习行为的理性趋向，如果教师不能帮助学生消除疑惑、解除困扰，将他们从“相异构想”的羁绊中解放出来，学生对知识的正确理解就会受到阻碍，造成“我都讲三次了，你还不懂”的现象。因此，教师在教学时应着力改善学生的“相异构想”，有效促进学生的数学理解，以下谈谈自己在这方面的一些做法：
一、指导实验操作，让错误变醒悟
教学中，创设适应学生认知需要的操作活动，引导学生开展数学实验进行探索、验证，可以让学生在活动中发现自身的“相异构想”与数学问题之间的矛盾，经历自我否定的过程，促进数学知识的理解。
例如，教学“平行四边形的面积公式”时，受长方形面积计算方法的影响，学生会产生“平行四边形的面积=底×邻边长”的“相异构想”。这时教师可以让学生操作学具，将一个平行四边形拉成一个长方形，如图所示：
学生在操作中会发现平行四边形拉成长方形后，长方形的长是平行四边形的一组对边的长，宽是平行四边形的另一组对边的长，用平行四边形的底×邻边的长可以算出长方形的面积。但在拉的过程中面积变大了，原来平行四边形的面积比拉成的长方形面积小，因此平行四边形的面积不能用底×邻边长来计算。这时，再引导学生在方格纸上画出与平行四边形面积相等的长方形。如图所示：
通过这些实验，学生会发现与平行四边形面积相等的长方形面积=平行四边形的底×高，产生有关平行四边形面积计算的正确猜想，促进学生对平行四边形面积公式的理解。
二、运用多种变式，让局限变全面
有研究者发现，“模拟”在科学概念的发展上扮演着一个极其重要的角色。人们在解决一个不熟悉的问题时，通常会用自己熟悉的类似的事物来诠释，“相异构想”往往也会在模拟的过程中产生。例如学生在学习2、5的倍数的特征后，以为3的倍数的特征也体现在个位上的数，列举出了3、6、9、36、93、96……这样的数。此时，就需要给学生提供一些变式和实例，开拓学生的视野，为学生创设多元化研究的可能，从而摆脱已有经验的束缚，修正自身的片面认识和错误构想。因此在教学时，笔者秘而不宣，让学生在百数表中圈出3的倍数，学生很快发现百数表里3的倍数个位上分别出现了0-9中的任意一个数。由此，学生很自然地得出判断3的倍数不能只看个位的结论，去除了只看个位判断3的倍数的“相异构想”。
在教学《三角形的底和高》时，不少学生认为“底下的边”才是底，竖直方向的垂线段才是高。为了消除学生的思维定势，在教学时，笔者用课件将三角形旋转，让学生观察，如图：
通过观察，学生发现在旋转的过程中底和高的位置变了，但位置关系是不变的，因此三角形的底和高不只是水平或竖直的，一个三角形的三条边都可以看成底并存在相应的高。通过变式，学生很快理解了三角形高的数学本质。
三、利用正向关联，让缺陷变建构
奥苏贝尔认为：“有意义学习过程的实质，就是符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立非人为的和实质性的联系。”学生在日常生活和学习中积累起来的经验是学习新事物的基础，在正式学习前产生的“相异构想”中也会含有一些可加以利用的因素。此时，应积极在学生已有的经验与所学知识之间搭建桥梁，以求发挥迁移在学习中的作用，促进学生加速理解和掌握新知。
例如，在教学“倒数”一课时，教师若问学生“什么是倒数”，大多数学生都会猜想“倒数就是倒过来的数”，这是因为根据生理和心理的特点，学生在研究问题时大多着重于外在的因素，所以首先从字面对数的特征进行构想。这样的构想虽然有一定的缺陷，但也反映了两个互为倒数关系的分数的外在属性。教师可以在学生这一猜想的基础上追问：“0.6与1.6的倒数分别是多少呢？”“6和16的倒数分别是多少呢？”学生可能会想出把这这些数化作分数找出它们的倒数的方法，也可能因这些问题的出现，会让学生不满足于仅仅认为倒数就是倒过来的数，产生探求倒数概念本质的欲望，促进其对倒数概念的理解。
四、形成知识结构，让零散变系统
学生的“相异构想”受制于其生理和心理的特点，会有一些不足，但暗含着学生的诸多探索和思考。如果教师能正确看待学生的一个又一个“相异构想”，寻找构想中的闪光点耐心打磨，这些“相异构想”也会成为一颗颗光彩夺目的珍珠，把它们串联起来，会帮助学生提升思维品质，促进知识的理解。
例如，在教学“圆锥的认识”时，笔者和学生一起经历了这样的学习过程。
师：我们已经认识了圆锥，想一想圆锥的侧面展开后是什么图形？
生1：是三角形！
生2：我同意他的想法，还想补充说明，圆锥的侧面展开会是一个等腰三角形。
“噢，”笔者饶有兴趣地问，“为什么呢？”
生3迫不及待地要求帮助解释：“圆锥的顶点到底面圆弧上的点的距离相等，圆锥侧面展开后得到一个三角形，它的顶点到底边上的点的距离也应该是相等的。所以，圆锥的侧面展开是一个等腰三角形。”
听到这样的解释，笔者深信学生这一猜想不是仅仅来自于他的直觉，一定经过了比较充分的思考。因为他们已经能够从曲面中选择圆锥的母线进行研究，而且发现了母线长度不变的特征。这说明，学生是敢于思考，能够思考的。
于是笔者问：“等腰三角形的两条腰相等说明三角形的顶点到底边两个端点的距离是相等的，那连接顶点和底边任意一点的线段长度都相等吗？”
学生自觉地在等腰三角形中画出了这样的线段，很快发现这些线段长度不全部相等。
“怎么办呢？怎样的图形才是圆锥侧面展开后的图形呢？”笔者故作不知。
一段沉默后，生4说：“要找到一种从中心点到周边任意一点的距离都相等的平面图形，这样的图形才可能是圆锥侧面展开的图形。”
他的回答让绝大多数学生都点头称是，纷纷在纸上比划，找寻这样的图形……经过画图实验，学生最终发现圆锥的侧面展开后是扇形。
在這一教学环节中，学生并不缺少发现的眼光，只是没有能够抓住平面图形的特征系统、深刻地思考，离成功发现只有一步之遥。华罗庚先生说过：“学习数学要经过‘由薄到厚’和‘由厚到薄’的过程。‘由薄到厚’是学习、接受的过程，‘由厚到薄’是消化、提炼的过程。只有同时经历这两个过程，学生才能达到融会贯通、透彻理解，才能抓住统帅全书的基本线索和贯穿全书的精神实质。”因此，在教学中，教师应引导学生将分散、割裂的认识进行整合，形成一个统一的整体，帮助学生构建科学、系统的认知结构，促进学生的构想日趋合理，实现学生对数学知识的自主理解。
德国教育家鲍勒洛夫曾强调：“教育者只能以儿童的先天素质为起点，按其内在法则，帮助儿童成长。”因此，在教学中教师应注意研究学生的“相异构想”，顺应学生的学习心理和认知规律，通过智慧地应答、追问、论辩，有效地促进其思维的完善，引导学生科学地理解数学知识，做一个生命的牧者！
责任编辑 林云志
一、指导实验操作，让错误变醒悟
教学中，创设适应学生认知需要的操作活动，引导学生开展数学实验进行探索、验证，可以让学生在活动中发现自身的“相异构想”与数学问题之间的矛盾，经历自我否定的过程，促进数学知识的理解。
例如，教学“平行四边形的面积公式”时，受长方形面积计算方法的影响，学生会产生“平行四边形的面积=底×邻边长”的“相异构想”。这时教师可以让学生操作学具，将一个平行四边形拉成一个长方形，如图所示：
学生在操作中会发现平行四边形拉成长方形后，长方形的长是平行四边形的一组对边的长，宽是平行四边形的另一组对边的长，用平行四边形的底×邻边的长可以算出长方形的面积。但在拉的过程中面积变大了，原来平行四边形的面积比拉成的长方形面积小，因此平行四边形的面积不能用底×邻边长来计算。这时，再引导学生在方格纸上画出与平行四边形面积相等的长方形。如图所示：
通过这些实验，学生会发现与平行四边形面积相等的长方形面积=平行四边形的底×高，产生有关平行四边形面积计算的正确猜想，促进学生对平行四边形面积公式的理解。
二、运用多种变式，让局限变全面
有研究者发现，“模拟”在科学概念的发展上扮演着一个极其重要的角色。人们在解决一个不熟悉的问题时，通常会用自己熟悉的类似的事物来诠释，“相异构想”往往也会在模拟的过程中产生。例如学生在学习2、5的倍数的特征后，以为3的倍数的特征也体现在个位上的数，列举出了3、6、9、36、93、96……这样的数。此时，就需要给学生提供一些变式和实例，开拓学生的视野，为学生创设多元化研究的可能，从而摆脱已有经验的束缚，修正自身的片面认识和错误构想。因此在教学时，笔者秘而不宣，让学生在百数表中圈出3的倍数，学生很快发现百数表里3的倍数个位上分别出现了0-9中的任意一个数。由此，学生很自然地得出判断3的倍数不能只看个位的结论，去除了只看个位判断3的倍数的“相异构想”。
在教学《三角形的底和高》时，不少学生认为“底下的边”才是底，竖直方向的垂线段才是高。为了消除学生的思维定势，在教学时，笔者用课件将三角形旋转，让学生观察，如图：
通过观察，学生发现在旋转的过程中底和高的位置变了，但位置关系是不变的，因此三角形的底和高不只是水平或竖直的，一个三角形的三条边都可以看成底并存在相应的高。通过变式，学生很快理解了三角形高的数学本质。
三、利用正向关联，让缺陷变建构
奥苏贝尔认为：“有意义学习过程的实质，就是符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立非人为的和实质性的联系。”学生在日常生活和学习中积累起来的经验是学习新事物的基础，在正式学习前产生的“相异构想”中也会含有一些可加以利用的因素。此时，应积极在学生已有的经验与所学知识之间搭建桥梁，以求发挥迁移在学习中的作用，促进学生加速理解和掌握新知。
例如，在教学“倒数”一课时，教师若问学生“什么是倒数”，大多数学生都会猜想“倒数就是倒过来的数”，这是因为根据生理和心理的特点，学生在研究问题时大多着重于外在的因素，所以首先从字面对数的特征进行构想。这样的构想虽然有一定的缺陷，但也反映了两个互为倒数关系的分数的外在属性。教师可以在学生这一猜想的基础上追问：“0.6与1.6的倒数分别是多少呢？”“6和16的倒数分别是多少呢？”学生可能会想出把这这些数化作分数找出它们的倒数的方法，也可能因这些问题的出现，会让学生不满足于仅仅认为倒数就是倒过来的数，产生探求倒数概念本质的欲望，促进其对倒数概念的理解。
四、形成知识结构，让零散变系统
学生的“相异构想”受制于其生理和心理的特点，会有一些不足，但暗含着学生的诸多探索和思考。如果教师能正确看待学生的一个又一个“相异构想”，寻找构想中的闪光点耐心打磨，这些“相异构想”也会成为一颗颗光彩夺目的珍珠，把它们串联起来，会帮助学生提升思维品质，促进知识的理解。
例如，在教学“圆锥的认识”时，笔者和学生一起经历了这样的学习过程。
师：我们已经认识了圆锥，想一想圆锥的侧面展开后是什么图形？
生1：是三角形！
生2：我同意他的想法，还想补充说明，圆锥的侧面展开会是一个等腰三角形。
“噢，”笔者饶有兴趣地问，“为什么呢？”
生3迫不及待地要求帮助解释：“圆锥的顶点到底面圆弧上的点的距离相等，圆锥侧面展开后得到一个三角形，它的顶点到底边上的点的距离也应该是相等的。所以，圆锥的侧面展开是一个等腰三角形。”
听到这样的解释，笔者深信学生这一猜想不是仅仅来自于他的直觉，一定经过了比较充分的思考。因为他们已经能够从曲面中选择圆锥的母线进行研究，而且发现了母线长度不变的特征。这说明，学生是敢于思考，能够思考的。
于是笔者问：“等腰三角形的两条腰相等说明三角形的顶点到底边两个端点的距离是相等的，那连接顶点和底边任意一点的线段长度都相等吗？”
学生自觉地在等腰三角形中画出了这样的线段，很快发现这些线段长度不全部相等。
“怎么办呢？怎样的图形才是圆锥侧面展开后的图形呢？”笔者故作不知。
一段沉默后，生4说：“要找到一种从中心点到周边任意一点的距离都相等的平面图形，这样的图形才可能是圆锥侧面展开的图形。”
他的回答让绝大多数学生都点头称是，纷纷在纸上比划，找寻这样的图形……经过画图实验，学生最终发现圆锥的侧面展开后是扇形。
在這一教学环节中，学生并不缺少发现的眼光，只是没有能够抓住平面图形的特征系统、深刻地思考，离成功发现只有一步之遥。华罗庚先生说过：“学习数学要经过‘由薄到厚’和‘由厚到薄’的过程。‘由薄到厚’是学习、接受的过程，‘由厚到薄’是消化、提炼的过程。只有同时经历这两个过程，学生才能达到融会贯通、透彻理解，才能抓住统帅全书的基本线索和贯穿全书的精神实质。”因此，在教学中，教师应引导学生将分散、割裂的认识进行整合，形成一个统一的整体，帮助学生构建科学、系统的认知结构，促进学生的构想日趋合理，实现学生对数学知识的自主理解。
德国教育家鲍勒洛夫曾强调：“教育者只能以儿童的先天素质为起点，按其内在法则，帮助儿童成长。”因此，在教学中教师应注意研究学生的“相异构想”，顺应学生的学习心理和认知规律，通过智慧地应答、追问、论辩，有效地促进其思维的完善，引导学生科学地理解数学知识，做一个生命的牧者！
责任编辑 林云志