论文部分内容阅读
同学们在本章内容的学习中出现的错误,大多是由以下情况造成的:对等弧、圆周角等重要概念模糊不清,认识不够,理解不透,忽视垂径定理、切线判定定理等重要定理适用的前提条件,对点与圆、直线与圆以及圆和圆的位置关系认识不全面,对图形和已知条件还没有完全把握就急忙下手寻求解答方法,等等.下面就今年中考中出现的一些典型错误进行解析,希望给同学们带来帮助.
例1 (2012连云港)如图1,⊙O的圆心在坐标原点,半径为2,直线y=x+b(b>0)与⊙O交于A、B两点.点O关于直线y=x+b的对称点为O′.(1) 求证:四边形OAO′B是菱形;(2) 当点O′恰好落在⊙O上时,求b的值.
错解?摇在第(1)小题的解决过程中,很多同学忽略了“直线y=x+b(b>0)与⊙O交于A、B两点”这个条件,从而无法得出OA=OB. 在第(2)题的解决过程中,部分同学无法从“当点O′恰好落在⊙O上”这个条件中得出OO′=2.
分析?摇此题图形并不复杂,但忽视了隐含的条件,便会错误百出.
正解 (1) 点O与点O′关于直线y=x+b对称, AO=AO′,BO=BO′.
又因为OA=OB,所以AO=AO′=BO=BO′,四边形OAO′B是菱形.
(2) 如图2,当点O′落在圆上时,OM=1,因为直线y=x+b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(-b,0),P(0,b),所以△ONP为等腰直角三角形,所以∠ONP=45°.所以OP=■,b=■.
例2 (2010锦州)如图3所示,点A、B在直线MN上,AB=11 cm,⊙A、⊙B的半径均为1 cm,⊙A以每秒2 cm的速度自左向右运动,与此同时,⊙B的半径也不断增大,其半径r(cm)与时间t(s)之间的关系式为r=1+t(t≥0).(1) 试写出A,B之间的距离d(cm)与时间t(s)之间的函数关系式;(2) 当⊙A出发几秒后两圆相切?
错解?摇第(1)问的函数表达式漏写一种,第(2)问的分类讨论不全面.
分析?摇此题以运动变化为背景,分类思想突出,综合了函数知识,图中⊙B的位置不变,即圆心不变,但半径在变,所以圆心距与时间之间的函数关系式应遵循相等关系分为两种情况,一种是点A在线段AB上,另一种是点A在点B的右侧.第(2) 问的解决方法是将变化过程中,两圆相切的情况全面地分析出来,再建立t的方程.
正解 (1) 当0≤t≤5.5时,d=11-2t,当t>5.5时,d=2t-11.
(2) 两圆相切可分为4种情况:当两圆第一次外切时,11-2t=1+1+t,解得t=3;当两圆第一次内切时,11-2t=1+t-1,解得t=■;当两圆第二次内切时, 2t-11=1+t-1,解得t=11;当两圆第二次外切时,2t-11=1+t+1解得t=13.所以,当点A出发后3s,■ s,11 s或13 s时,两圆内切.
例1 (2012连云港)如图1,⊙O的圆心在坐标原点,半径为2,直线y=x+b(b>0)与⊙O交于A、B两点.点O关于直线y=x+b的对称点为O′.(1) 求证:四边形OAO′B是菱形;(2) 当点O′恰好落在⊙O上时,求b的值.
错解?摇在第(1)小题的解决过程中,很多同学忽略了“直线y=x+b(b>0)与⊙O交于A、B两点”这个条件,从而无法得出OA=OB. 在第(2)题的解决过程中,部分同学无法从“当点O′恰好落在⊙O上”这个条件中得出OO′=2.
分析?摇此题图形并不复杂,但忽视了隐含的条件,便会错误百出.
正解 (1) 点O与点O′关于直线y=x+b对称, AO=AO′,BO=BO′.
又因为OA=OB,所以AO=AO′=BO=BO′,四边形OAO′B是菱形.
(2) 如图2,当点O′落在圆上时,OM=1,因为直线y=x+b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(-b,0),P(0,b),所以△ONP为等腰直角三角形,所以∠ONP=45°.所以OP=■,b=■.
例2 (2010锦州)如图3所示,点A、B在直线MN上,AB=11 cm,⊙A、⊙B的半径均为1 cm,⊙A以每秒2 cm的速度自左向右运动,与此同时,⊙B的半径也不断增大,其半径r(cm)与时间t(s)之间的关系式为r=1+t(t≥0).(1) 试写出A,B之间的距离d(cm)与时间t(s)之间的函数关系式;(2) 当⊙A出发几秒后两圆相切?
错解?摇第(1)问的函数表达式漏写一种,第(2)问的分类讨论不全面.
分析?摇此题以运动变化为背景,分类思想突出,综合了函数知识,图中⊙B的位置不变,即圆心不变,但半径在变,所以圆心距与时间之间的函数关系式应遵循相等关系分为两种情况,一种是点A在线段AB上,另一种是点A在点B的右侧.第(2) 问的解决方法是将变化过程中,两圆相切的情况全面地分析出来,再建立t的方程.
正解 (1) 当0≤t≤5.5时,d=11-2t,当t>5.5时,d=2t-11.
(2) 两圆相切可分为4种情况:当两圆第一次外切时,11-2t=1+1+t,解得t=3;当两圆第一次内切时,11-2t=1+t-1,解得t=■;当两圆第二次内切时, 2t-11=1+t-1,解得t=11;当两圆第二次外切时,2t-11=1+t+1解得t=13.所以,当点A出发后3s,■ s,11 s或13 s时,两圆内切.