高中数学开放性习题研究

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  【摘    要】近几年来,高中数学中的开放性题目显著增多,本文对高中数学开放性习题的特点、分类和解决方法三个方面做了简单阐述,希望对高中数学教学有所帮助。
  【关键词】高中数学  开放性习题  特点  分类  解题方法
  中图分类号:G4     文献标识码:A DOI:10.3969/j.issn.1672-0407.2015.05.023
   随着素质教育和新课改的不断推进,教育更加注重学生的创新能力和实践能力,重视学生思维能力的培养。高中数学作为一门训练学生思维能力的学科,在近几年的考试中注重学生思维的开放性和灵活性,开放性习题的数量大大增加,本文对此题型并结合自己的教学经验,浅谈对开放性习题的看法。
   一、开放性习题的特点
   之所以被称之为开放性习题是因为其具有一定的开放性,所谓开放性就是与常规习题不一样,它注重考察学生的知识的整体运用能力、思维的发散性和灵活性,能让学生的思维能力得到较充分的培养和提高,而常规习题的作用强调学生对知识的掌握和运用,对所学知识起到巩固和检验的作用。开放性习题的特点具体体现在以下几个方面:
   (一)涉及的知识面较为广泛
   开放性习题在解题时运用到的知识较为广泛,他不跟一般习题一样,是针对某个知识点的应用,更多的会涉及到多个知识点的整体运用,对学生所学知识的整体运用能力提出了考验,注重考查学生对知识的迁移运用能力。此外,开放性习题涉及到的题材较为广泛,贴近生活实际,体现现实生活中对数学知识的应用,不仅在学习上对学生的学习能力进行检验,还能拉近学生与数学之间,数学与生活之间的距离,让学生认识到数学在生活中的作用,从而提高学生学习数学的兴趣和动力。
   (二)题目类型新颖多样
   与一般题目相比,开放性习题的题目类型更加新颖多样。这与两者的不同作用有关,一般题目主要考查学生对某个具体知识点的掌握和运用情况,因此,在设计上主要针对某个知识点,题目类型比较单一。开放性习题注重学生发散思维能力的培养,考查学生对知识的整体迁移能力,在题目设计上要给学生以启发,因此,在题目设计上要比一般题目更加具有多样性和新颖性。除了单一的文字叙述外,还可以运用图画、图表、对话等形式,在题目的设计上就可以让学生眼前一亮,能够提高学生的解题兴趣,激发学生思考的欲望。
   (三)注重发散性思维的锻炼
   由于开放性习题的在设计时考查学生对知识的整体运用能力,考查学生的发散思维能力和创新能力,在解题方法和解题思路上富有多样性,答案具有不唯一性,因此,开放性题目具有锻炼学生思维能力的特点。
   (四)注重创新性
   与一般题目相比,开放性题目更具有创新性,体现了新课改和素质教育下,对学生能力的培养。解题思路的发散性,题目设计上的新颖、多样性都是其创新性的表现。
   二、开放性习题的分类
   数学题一般包括条件、依据、方法和结论四个要素,根据开放性习题所寻求的答案我们一般将之分为四类:第一类为条件开放题,这类题目寻求的答案是数学题的条件。第二类为策略开放题,这类题目寻求的答案是数学题的依据和方法。第三类为结论开放题,这类题目寻求的答案是数学题的结论。第四类为综合开放题,这类题目侧重对学生对条件或者结论或者依据方法等的综合考察,考察的不是数学题的一个方面,要求学生在已知条件或者情境中寻找多个数学因素。
   (一)条件开放题
   条件开放性习题也就是给出结论,依据结论寻求条件的题目,如关于圆锥曲线的一道题目:已知以坐标原点为中心,一焦点坐标为(5,0)的曲线,在添上什么条件可求得此方程                               。这就是一道条件开放性题目,已知结论为方程,求得出方程的条件。该题目考查学生对双曲线的定义、标准方程以及图像和性质的综合运用情况,可以锻炼学生对知识整体迁移能力。
   (二)策略开放题
   策略开放性题目就是在条件和结论已知的情况下,探索两者能够相互成立的路径,重在考查学生在探求路径过程中的发散思维和创新思维的过程。如,大家耳熟能详的鸡兔同笼问题,就是一道策略开放题,针对鸡兔同笼问题学生可以运用算数方法,假设兔子的数量为零,再结合题目中腿的数量求出,也可以利用代数方法,假设鸡和兔子的数量都为未知,根据方程式求出鸡和兔子的数量,也可以自己创设情境,假设鸡和兔子的腿都减少一半在根据题目已知求出鸡和兔子的数量,每一种解题方法都是学生思维能力的表现。
   (三)结论开放题
   结论开放性题目,也就是题目的结论具有多样性,如,写出几个以y轴为对称轴的三角函数。这就是一道结论开放性题目,通过分析,学生很容易根据以y轴为对称轴的函数具有的特点找出与之对应的三角函数,以y轴为对称轴的函数,一般具有以下特点,是偶函数,有些函数的对称变换也是以y轴为对称轴,根据其奇偶性和对称函数,就可以找出问题的答案。
   (四)综合开放题
   综合性开放题就是题目给出一定的情景,让学生根据问题和题目情境自己设定条件和解题策略等等的题目,如给出一系列数字,找出其特点和性质:
   (1)1,2,3,4,5,6,7,8,……
   (2)1,3,5,7,9,11,13,15,……
   (3)2,4,6,8,10,12,14,16,……
   (4)4,8,12,16,20,24,……
   (5)5,10,15,20,25,30,……
   (6)1,1,1,1,1,1,1,1,1,……
   通过观察学生可以发现这一些数字中的诸多特点,考查学生思考问题是的全面性,有利于学生的发散性思维和灵活性思维能力的培养。
   三、开放性习题的解题方法
   开放性习题涉及到数学知识的方方面面,其解题方法和思路也是多种多样的,数学学习重在日常生活中的积累和总结,通过练习题找到解题的方法和思路,并在此过程中培养和提高自身的创新性思维和发散性思维能力。以下只是选取众多开放性题目中的几个浅谈其解题方法。
   (一)利用函数模型解决实际问题
   近年来,利用数据模型解决实际问题的题目越来越多,数据模型主要包括不等式模型、排列模型、数列模型等,这类方法主要在应用题中的运用较多,如,生产企业要生产两种不同的饮料,每一百箱的
   A饮料需用6kg的原料,人力10个,可得到利润10万元;每一百箱B饮料需要5kg的原料和人力20个,可获得的利润为9万元。现企业有原料60kg,人员150个,由于其他条件限制所以A产量不能大于800箱,那应如何安排(下转第102页)(上接第23页)生产方案,既能够使得企业生产两种饮料又能够获得最大的利润?(1)如果投资8000元可以增加原料1kg,问是否应该投资?(2)若果每一百箱的A饮料获得利润1万元,是否改变生产计划?针对这种类型的题目重在选对模型,思路清晰就可以寻找出正确的答案。
   (二)利用图形解决数字问题
   有些数字型的题目可以转化为图形的形式解决,如,根据x,y的图表数据,分析出X对于Y的函数。
   x=……1,3,5,8,9,12,16,…;
   y=……1,8,24,65,102,256,560,…。
   这类题目就可以利用图形的形式解决,步骤就是:一建立坐标系,二标出对应的x,y值,三猜测函数的模型。这类题目的答案不是唯一的,重要的是学会如何解决这类题目。
   开放性题目重在对学生进行思维能力的培养,做为高中数学教师要不断探索创新,找出更加适合学生的教学方式和方法,为社会培养出更多的栋梁之才。
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