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【摘要】培养学生的推理能力，旨在提高学生分析和解决问题的能力，这是数学教育的重要目标和任务，也是学生适应社会、立足社会的必备素质。教师要利用一切可能的时机，创造一切可能的条件，使所有学生通过自主学习来培养数学推理能力。
【关键词】数学课程标准 培养 数学推理能力 一题多解 多元化 合情猜想
How to teach students to learn mathematics reasoning
Tan Guangxin
【Abstract】The purpose of cultivating students’ reasoning ability is to improve students’ ability to analyze and solve problems, which is the main direction and task of the mathematics education and also the diathesis that students must have for following the society and being established in the society. Therefore, teachers must make use of all possible chances to create all possible conditions to make all students have the mathematics reasoning ability through their autonomic learning.
【Keywords】Mathematics standard Cultivation Mathematics reasoning ability One question with more than one solution Many entity Fair and reasonable guess
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）在“总体目标”中指出：学生通过义务教育阶段的数学学习，“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。”培养学生的推理能力，旨在提高学生分析和解决问题的能力，这是数学教育的重要目标和任务，也是学生适应社会、立足社会的必备素质。因此，在数学教学中培养推理能力，不仅是数学本身发展的需要，也是数学教学目标和素质教育的要求。
1．《标准》中关于推理能力的论述。在日常生活、学习和工作中，人们经常要对各种各样的事物进行判断，判断事物的对与错、是与非、可能与不可能等。判断是“对事物的情况有所断定的思维形式”。“由一个或几个已知判断推出另一个未知判断的思维形式”叫做推理。推理有演绎推理、归纳推理、类比推理等等形式。合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境过程中推出可能性结论的推理，归纳推理、类比推理和统计推理是合情推理的3种重要形式。演绎推理的前提和结论间具有蕴涵关系，是必然性推理，三段论是演绎推理的一种主要形式。长期以来，数学教学注重采用“形式化”的方式来发展学生的演绎推理能力，忽视了合情推理能力的培养。事实上，数学需要演绎推理，更需要合情推理。科学结论的发现往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比……即通过合情推理提出猜想，然后再通过演绎推理证明猜想正确或错误。因此，演绎推理和合情推理是既有区别又相辅相成的两种推理形式。
《标准》对推理能力的主要表现做了如下阐述：“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”这就是说，学生获得数学结论应当经历合情推理——演绎推理的过程，合情推理的实质是“发现”，因而关注合情推理能力的培养有助于发展学生的创新精神。当然，由合情推理得到的猜想常常需要证实，这就是通过演绎推理给出证明或举出反例。《标准》中对一些公式、法则、定理，也提出了相应的论证要求。
2．数学推理能力的培养。逻辑推理是指按照规律，由已知条件出发，逐步分析推导，最后获得合乎逻辑的正确答案或合理的结论。它注重的是已知条件、事物间的联系及原有知识的储备等，强调的是步步为营、依次推进。从这个角度来说，逻辑推理是“微观”方面的。在数学教学中，合情推理是一种有一定数学根据的探索性的判断过程。在这个过程中可暂时忽略问题的某些条件，在整体上通过观察、比较、直觉、类比、联想去发现问题，直到问题解决。从这个角度上来说，合情推理过程既是宏观方面的推理过程，也是学生发现、探索、创新的过程。发散性思维是创新活动必需的思维品质。因此，要培养学生的合情推理能力，首先必须培养学生的发散性思维能力。
心理学认为，发散性思维是把思考总体的信息朝各种可能的方向扩散，沿不同的方向思考问题，寻求作出合乎条件的各种解答。由于受传统教学模式的影响，在学生思维活动中，收敛性思维占主导地位，特别是解题时学生往往满足于教师所讲的解题方法，而不善于探求其他的解题方法，这种思维习惯往往会限制思维活动，导致思维能力发展的迟缓。因此，教师在教学活动中必须给学生提供探索、交流的空间，要为学生创设良好的思维情境。
2．1 一题多解。通过一题多解的训练，使学生自主开阔数学思维的广度，从多角度、全方位审视数学问题，并逐步优化数学解题中的推理模式。
在这3种解法中，第①种解法是最基本的，也是学生最容易想到的，通过求出m的值再求式子的结果。但很常规，而且计算量大，容易因为粗心大意导致错误；第②种方法通过变形求值，但这种变形很巧妙，没有经过对题目细致的观察、分析、判断、思考是很难想到的；第③种解法挖掘了m的内涵，m与 是方程 的两根，并与韦达定理进行了联系，这也体现了思维的发散性。三种解法运算量一种比一种小，所蕴涵的数学知识却越来越多，而数学推理强度也一种比一种高。
对学生的多种解法，教师除了要比较各自的优劣外，也应允许学生犯错误，更要鼓励其探索的精神，这样才能激发学生自主学习、探求问题的兴趣，这样能让学生体会到最佳解题方法的思维规律，使学生发散性思维能力的培养贯穿于整个学习过程中。
2．2 载体“单一化”向“多元化”改变。一般认为，学生推理能力的培养基本上依赖于代数，实际上，推理能力更应该是全面的甚至是超越数学学科的能力。教师要为学生提供自主探索、合作交流的时间和空间，要设置现实的、有意义的、富有挑战性的问题，引导学生参与“过程”的探索。如果说例1体现了“一题多解”，那么下面的例2则体现了“一题多变”、“一题多用”。
例2、求证：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。
分析：如图l，连接AC可利用中位线定理得出HG EF，因而四边形EFGH是平行四边形，这一证明过程就是演绎推理的过程。
然后提出：你能否将题中的“四边形”条件改为其它条件，从而得到新的数学问题呢？
学生探讨后可以得到。教师再问：若改为特殊四边形，即为平行四边形、矩形、正方形、菱形、梯形时，顺次连接各边的中点得到什么图形呢？
可让学生作图、测量、猜测，最后，让学生讲讲
所猜测的结论成立的理由。这样的过程，是一个经历
观测、实验、类比、猜想的过程，即既有合情推理又有演绎推理的过程。
2．3 鼓励合情猜想。从前文可知，数学直觉是数学发现的最常见的途径，数学推理能力是在猜想与证明的不断冲突中形成和成型，我们要鼓励学生对问题进行合情猜想。
例3、给出下列算式：
32－12＝8＝8×1
52－32＝16＝8×2
72－52＝24＝8×3
92－72＝32＝8×4
……
观察上面一系列等式，你能发现什么规律？用代数式来表示这个规律。
要解答这道题，学生必须对具体算式进行观察，然后进行合情猜想（归纳）：两个相邻的奇数的平方差是8的倍数，然后用数学符号表达，设n为正整数，则相邻的两个奇数为2n－l和2n+1，用代数式表示为 。这样的题目多得不胜枚举。教师在平时应多广泛阅读各种书籍和期刊，收集一些典型的题目，拿到课堂或课外让学生练习，这也是训练、培养他们合情推理能力的一种途径。
数学推理能力的培养是数学课堂教学的需要，也是学生数学素养形成的需要，它对于学生科学思维方式的养成和创新能力的提高有着重要的意义。我们要利用一切可能的时机、创造一切可能的条件，使所有学生都通过自主学习来培养数学推理能力。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】数学课程标准 培养 数学推理能力 一题多解 多元化 合情猜想
How to teach students to learn mathematics reasoning
Tan Guangxin
【Abstract】The purpose of cultivating students’ reasoning ability is to improve students’ ability to analyze and solve problems, which is the main direction and task of the mathematics education and also the diathesis that students must have for following the society and being established in the society. Therefore, teachers must make use of all possible chances to create all possible conditions to make all students have the mathematics reasoning ability through their autonomic learning.
【Keywords】Mathematics standard Cultivation Mathematics reasoning ability One question with more than one solution Many entity Fair and reasonable guess
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）在“总体目标”中指出：学生通过义务教育阶段的数学学习，“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。”培养学生的推理能力，旨在提高学生分析和解决问题的能力，这是数学教育的重要目标和任务，也是学生适应社会、立足社会的必备素质。因此，在数学教学中培养推理能力，不仅是数学本身发展的需要，也是数学教学目标和素质教育的要求。
1．《标准》中关于推理能力的论述。在日常生活、学习和工作中，人们经常要对各种各样的事物进行判断，判断事物的对与错、是与非、可能与不可能等。判断是“对事物的情况有所断定的思维形式”。“由一个或几个已知判断推出另一个未知判断的思维形式”叫做推理。推理有演绎推理、归纳推理、类比推理等等形式。合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境过程中推出可能性结论的推理，归纳推理、类比推理和统计推理是合情推理的3种重要形式。演绎推理的前提和结论间具有蕴涵关系，是必然性推理，三段论是演绎推理的一种主要形式。长期以来，数学教学注重采用“形式化”的方式来发展学生的演绎推理能力，忽视了合情推理能力的培养。事实上，数学需要演绎推理，更需要合情推理。科学结论的发现往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比……即通过合情推理提出猜想，然后再通过演绎推理证明猜想正确或错误。因此，演绎推理和合情推理是既有区别又相辅相成的两种推理形式。
《标准》对推理能力的主要表现做了如下阐述：“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”这就是说，学生获得数学结论应当经历合情推理——演绎推理的过程，合情推理的实质是“发现”，因而关注合情推理能力的培养有助于发展学生的创新精神。当然，由合情推理得到的猜想常常需要证实，这就是通过演绎推理给出证明或举出反例。《标准》中对一些公式、法则、定理，也提出了相应的论证要求。
2．数学推理能力的培养。逻辑推理是指按照规律，由已知条件出发，逐步分析推导，最后获得合乎逻辑的正确答案或合理的结论。它注重的是已知条件、事物间的联系及原有知识的储备等，强调的是步步为营、依次推进。从这个角度来说，逻辑推理是“微观”方面的。在数学教学中，合情推理是一种有一定数学根据的探索性的判断过程。在这个过程中可暂时忽略问题的某些条件，在整体上通过观察、比较、直觉、类比、联想去发现问题，直到问题解决。从这个角度上来说，合情推理过程既是宏观方面的推理过程，也是学生发现、探索、创新的过程。发散性思维是创新活动必需的思维品质。因此，要培养学生的合情推理能力，首先必须培养学生的发散性思维能力。
心理学认为，发散性思维是把思考总体的信息朝各种可能的方向扩散，沿不同的方向思考问题，寻求作出合乎条件的各种解答。由于受传统教学模式的影响，在学生思维活动中，收敛性思维占主导地位，特别是解题时学生往往满足于教师所讲的解题方法，而不善于探求其他的解题方法，这种思维习惯往往会限制思维活动，导致思维能力发展的迟缓。因此，教师在教学活动中必须给学生提供探索、交流的空间，要为学生创设良好的思维情境。
2．1 一题多解。通过一题多解的训练，使学生自主开阔数学思维的广度，从多角度、全方位审视数学问题，并逐步优化数学解题中的推理模式。
在这3种解法中，第①种解法是最基本的，也是学生最容易想到的，通过求出m的值再求式子的结果。但很常规，而且计算量大，容易因为粗心大意导致错误；第②种方法通过变形求值，但这种变形很巧妙，没有经过对题目细致的观察、分析、判断、思考是很难想到的；第③种解法挖掘了m的内涵，m与 是方程 的两根，并与韦达定理进行了联系，这也体现了思维的发散性。三种解法运算量一种比一种小，所蕴涵的数学知识却越来越多，而数学推理强度也一种比一种高。
对学生的多种解法，教师除了要比较各自的优劣外，也应允许学生犯错误，更要鼓励其探索的精神，这样才能激发学生自主学习、探求问题的兴趣，这样能让学生体会到最佳解题方法的思维规律，使学生发散性思维能力的培养贯穿于整个学习过程中。
2．2 载体“单一化”向“多元化”改变。一般认为，学生推理能力的培养基本上依赖于代数，实际上，推理能力更应该是全面的甚至是超越数学学科的能力。教师要为学生提供自主探索、合作交流的时间和空间，要设置现实的、有意义的、富有挑战性的问题，引导学生参与“过程”的探索。如果说例1体现了“一题多解”，那么下面的例2则体现了“一题多变”、“一题多用”。
例2、求证：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。
分析：如图l，连接AC可利用中位线定理得出HG EF，因而四边形EFGH是平行四边形，这一证明过程就是演绎推理的过程。
然后提出：你能否将题中的“四边形”条件改为其它条件，从而得到新的数学问题呢？
学生探讨后可以得到。教师再问：若改为特殊四边形，即为平行四边形、矩形、正方形、菱形、梯形时，顺次连接各边的中点得到什么图形呢？
可让学生作图、测量、猜测，最后，让学生讲讲
所猜测的结论成立的理由。这样的过程，是一个经历
观测、实验、类比、猜想的过程，即既有合情推理又有演绎推理的过程。
2．3 鼓励合情猜想。从前文可知，数学直觉是数学发现的最常见的途径，数学推理能力是在猜想与证明的不断冲突中形成和成型，我们要鼓励学生对问题进行合情猜想。
例3、给出下列算式：
32－12＝8＝8×1
52－32＝16＝8×2
72－52＝24＝8×3
92－72＝32＝8×4
……
观察上面一系列等式，你能发现什么规律？用代数式来表示这个规律。
要解答这道题，学生必须对具体算式进行观察，然后进行合情猜想（归纳）：两个相邻的奇数的平方差是8的倍数，然后用数学符号表达，设n为正整数，则相邻的两个奇数为2n－l和2n+1，用代数式表示为 。这样的题目多得不胜枚举。教师在平时应多广泛阅读各种书籍和期刊，收集一些典型的题目，拿到课堂或课外让学生练习，这也是训练、培养他们合情推理能力的一种途径。
数学推理能力的培养是数学课堂教学的需要，也是学生数学素养形成的需要，它对于学生科学思维方式的养成和创新能力的提高有着重要的意义。我们要利用一切可能的时机、创造一切可能的条件，使所有学生都通过自主学习来培养数学推理能力。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”