摘 要：“角平分线的性质”是初中几何教学的重要部分，文章作者教学所涉及的思想方法经常出现在九年级的专题训练中，角平分线的问题处理策略和截长补短思想是教学中学生所要重点掌握的思想方法。文章通过对例题进行深入的研究，寻求不同解法，进行变式训练，有效开展例题教学，力求达到传递新知、探究方法、领会思想、学以致用、学科育人的目的，使学生能够触类旁通，实现深度学习，发展思维。
　　关键词：例题教学;一题多解;变式教学
　　中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2021）19-0083-02
　　一、例题呈现
　　北师大版教材八年级数学下册第一章《三角形的证明》第4节角 平分线例3：如图1，在?ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是?ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
　　（1）已知CD=4 cm，求AC的长;
　　（2）求证：AB=AC+CD。
　　二、功能分析
　　（一） 联系旧知，巩固新知
　　本例题是在学生学习了角平分线的概念、角平分线的性质和全等三角形的基础上进行教学的，学生通过联系已有知识解答本例题，加深了对角平分线性质的理解，有效地巩固应用了新学知识。解题回顾，本例题具备利用角平分线性质的条件，即?ACD和?AED以AD所在直线为对称轴成轴对称图形，有过角平分线上一点向角两边作垂线，因此可得全等和等线段。一般来说，我们可以把过角平分线上一点向角两边作垂线的方法叫作角分线边垂线法[1]，基本图形如图2。
　　（二）通过变式，挖掘价值
　　从知识的学习运用、挖掘例题的思想方法出发，可以使例题发挥更大的作用。在教学设计中，笔者将例题里的一个条件隐藏，题目如下。
　　变式1：如图3，在?ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
　　（1）已知CD=4 cm，求AC的长;
　　（2）求证：AB=AC+CD。
　　学生在解答时，需要分析题目中已知条件，联系以前学过的方法。已知中含有构成三角形全等的部分条件，结合本节课学习的角平分线性质，辅助线添加顺理成章。
　　证法1：利用角平分线的性质，过点D作DE⊥AB，垂足为E（见图4）。不难看出，用原例题的解答方法即可完成证明。
　　帮助学生梳理与角平分线性质的相关内容，可以帮助学生进一步巩固全等三角形的性质和判定，培养学生合理联系已学知识，作辅助线的学习迁移能力。从解题方法上看，这是间接利用截长补短的方法来解决线段的和差问题，即通过作垂线，将长线段AB分割成两部分，利用全等得到线段AE=AC，相当于在AB上截取AE=AC，再证明EB=CD，问题迎刃而解。這样的设计，利于新旧知识的联系与运用，使例题有更高的探究价值。对于线段和差问题的解决办法，我们常用截长补短的方法来解决，这样的变式和总结更有利于促进学生思维深度发展，进而加深学生对角平分线性质的理解，培养学生的核心素养。
　　（三）一题多解，渗透思想
　　构造角分线两边的图形关于角分线对称，简称角分线对称法，如图5，作点B关于角分线AD的对称点C，则DB=DC。
　　教材的探究活动为本题的证明提供了思想方法，绝大多数学生在思考后都会得到证法1的解决方法，教学中，笔者大胆放手，给学生独立思考的机会，通过小组活动让学生自行探索，寻求其他解题方法。根据角分线对称法，学生可以利用补短来构造全等三角形，通过直观感知较长线段AB所在?ABD关于AD的对称图形，进而在同伴的互相讨论中，逐步形成新的解题思路。
　　证法2： 如图6，延长线段AC到E，使得CE=CD，连接ED，通过证明?ABD≌?AED，得线段AB=AE。
　　通过证法1和证法2的分析和总结，学生对于本例中第（2）小题证明线段之间的和差关系这种数量关系呈现形式由不熟悉到会分析能解题，培养了学生关联已知条件与已有知识借助已有解题经验来解决未知问题的能力。对学生来讲，这是为解决线段和差问题开辟新的思路，更重要的是本例题教学渗透的截长补短的数学思想方法，可以为九年级的以二次函数和圆为背景的截长补短问题的学习作铺垫，具有承前启后的作用。
　　三、变式教学
　　回顾是解题中的一个重要而且有益的活动。通过回顾完整的答案，重新斟酌、审查结果及导致结果的途径，这样能够巩固知识，并培养学生的解题能力[2]。
　　笔者引导学生回顾思考本例中的已知条件，AD是?ABC的角平分线，∠C=90°，∠B=45°，不难发现存在∠C=2∠B的倍角关系，可以利用二倍角等腰法构辅助线，如果把例题中的特殊角变式转化成一般的角，即∠B=2∠C，那么AC=AB+BD这一结论是否成立？
　　变式2：如图7，已知AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C，求证：AC=AB+BD。
　　证法1：如图8，在AC上截取AE=AB，证△ABD≌
　　?AED，得BD=DE，∠B=∠AED，因为∠B=2∠C，易证DE=EC，从而得证。
　　证法2：如图9，延长AB到F，使得BF=BD，因为∠ABC=2∠C，易证∠F=∠C，证?AFD≌?ACD，得AC=AF，从而得证。
　　变式2：基于学生的最近发展区，在探寻变式题目的产生及证明思路的过程中，学生感悟到从特殊到一般的思想方法，发展学生的逻辑推理能力。在解题反思和回顾中，总结本题所蕴含的解题策略有角分线对称法、二倍角等腰法，以及截长补短法思想方法，让学生体会到解题研究的快乐。
　　波利亚在《怎样解题》中指出，要解决一个问题，必须让学生理解这个问题，对条件进行联想[3]，分析它们之间的关联，再让学生利用已有解题经验进行分析，寻求解决问题的对策和方法。在变式2教学之前，学生初步掌握了此类几何问题的思维方法，从已知条件出发，根据条件进行知识关联，基本掌握角分线问题的处理策略——角分线对称法、边垂线对称法结合截长补短构造全等，实现线段转换解答问题。通过一系列思考、引导和鼓励一题多解，学生逐渐学会从数学角度提出问题、分析问题，并综合运用所学知识和技能解决问题。在课堂教学中，教师要力求使学生成为知识的探究者、获得者，鼓励学生对问题勤于思考、敢于质疑，善于解决问题，培养学生的创新思维[4]。 　　四、教学建议
　　（一） 深度挖掘教材，寻求潜在资源
　　教材的设计者既关注知识的传授，也重视对学生实践能力、创新思维的培养。本节例题，结合三角形全等，重在应用角平分线的性质，我们挖掘教材例题的本质，对例题进行简单变式，既符合最近发展区理论，又给学生搭建了思考的平台，引导学生对不同解法进行反思，感受解题的思想方法。在每个章节和每个课时备课时，我们不仅要熟悉理解教材，还要再深入地挖掘、开发一些有用的资源和素材，作为教学的拓展和延伸，让教学内容更丰富，让呈现的思想方法更自然易懂。本节课，学生在例题的变式教学中，随着多方位知识的调动与重组，已知经验与未知问题之间的关联与迁移，逐渐形成把握数学知识本质联系的创新意識。
　　（二）注重方法迁移，变式提升思维
　　通过本节课的例题教学，学生经历了一个普通的课本例题的演变过程。教师通过问题的解决向学生渗透解决数学问题的方法和思路，形成解题经验，对解题的经验进行总结，形成基本模型，运用类比联想思想在新的情境中即不同背景下进行辅助线的构造，达到“授人以渔”的目的。我们不仅要让学生会做一道题、一类题，当在不同的情境下或遇到一个新的问题时，学生要学会用截长补短的思想方法，会用类比、迁移的方法来分析问题，学会给自己搭梯子，寻找突破口，同时，在解决问题后，学生要及时地反思，要能够发现新的问题，再去思考总结，只有这样，学生所获得的数学方法、能力和数学思维才是可持续的。
　　（三）强化深度学习，聚焦核心素养
　　在数学解题教学中，教师应注重学生解题经验的迁移才能加强思维训练。例题的变式中，教师要以帮助学生巩固解题方法为目标，纵向挖掘，引导学生抓住问题本质，实现思维跨越。通过对原题横向、纵向地辨识，学生不仅能清晰地识别到原例题的结构，而且能在几个变式题目的解题过程中积累解题经验，进而发展高一级思维。教师在数学课堂教学中从例题出发，通过运用变式教学，强化深度学习，让学生学会创造性地解决问题，能够高效地促进学生数学思维发展，实现通过例题教学来培养学生核心素养的目标。
　　[参考文献]
　　[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2016.
　　[2][3]（美）G.波利亚.怎样解题[M].涂 泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2011.
　　[4]高峰官.运用数学思想进行构造，促进学生数学思维发展[J].中学数学教学参考，2020（35）：27-30.
　　作者简介：赵 群（1986— ），女，满族，辽宁营口人，中学一级教师，本科，研究方向：数学教育。