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[摘要] 人们在生产活动中，为了计量物品的个数，产生了自然数的概念，从对物品的分割中有了分数，为了表示相反意义的量引进了正负数，对连续的量进行度量时，引进了无理数，从负数不能开方出发引进了虚数，并把实数扩展到复数。
[关键词] 数的概念数觉计数十进位分数
完全没有数的概念的思维是不可想象的，有确凿的证据表明，数字的产生比有文字记载的历史还要早几千年。
人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。但是人类在进化的蒙昧时期，就已经具有一种才能，当在一个小的集合里面增加或者减去一样的东西的时候，尽管他未曾直接知道增减，他也能够辨认到其中有所变化，这种才能可被称为数觉。许多鸟类是具有这种数觉的，鸟巢若是有四个卵，那么可安然拿去一个，但是，如果拿掉两个，这鸟通常就要逃走了，一种比鸟类好不了多少的原始的数觉，就是我们产生数的概念的核心，毫无疑问，如果人类单凭这种直接的数的知觉，在计算的技术上就不会比鸟类有什么进步，但是经历了一系列的特殊环境，人类在有限的数的知觉之外学会了另一种技能来为之帮忙，这种技巧使他们未来的生活受到巨大的影响，这技巧就是计数。在使用文字之前，人们用结绳计数，后来又用象形计数，正是计数才使具体的不同质的表达多少的概念结合为统一的抽象的数的概念，而数的概念正是数学发展的前提。粗略地说，数学是数量的科学，而数是数出来的，有了度量才能对量有所认识。并且，正是由于数的观念，我们才赢得了用数来表达我们世界的惊人成就。
数的科学在人类知识的总体里占有举足轻重的地位。数学是数的科学，它是数量这个概念出发的，数的概念虽然很早就已发生，但和语言文学一样，它的发展也经过了一个漫长的过程。
自然数的问世
自然数的产生起源于人类在生产活动中计数的需要，开始只有几个很少的自然数，后来随着生产力的发展和计数方法的改进，人类的文化也有了越来越多的自然数，我们从年幼时代开始就学习和运用自然数，并且通过自然数的不断接触，逐步深化了对自然数的认识。人们在数各种集合中的事物时发现数与被数物的各自特性无关。“五”这个数包含一个事物的实际抽象，它与这些东西的特性或者所引用的符号无关。这样，数的概念的抽象特性愈加显得清晰。自然数是这样的一些数，每个数的后面跟随着一个确定的数，从1开始，可以把他们一个跟随一个地排成一串，既不重复，也不遗漏，对于这些自然数人们还进行加法乘法等运算。像1、2、3、4、5、……，这样的数叫做自然数。自然数的问世是从现实世界中得出的第一个数的系统。自然数的运算如1+2、2+3、1×2、2×3、……
第一次扩张：从自然数到分数
显然，在自然数之间可以无阻碍的进行加法运算和乘法运算，随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的，但人们在生产实践中又遇到一类新的问题，就拿量布来说吧，有一块布用尺量了有五尺还有剩余，而又不足六尺，那么这块布的长既不能用五尺又不能用六尺表示，但在五和六之间再也没有其他自然数。同时在数的实际运用中不但需要对数做加法和乘法，而且往往需要考虑减法和除法。任意两个自然数相加或相乘其结果还是一个自然数，但两个自然数相除其结果就不一定了，比如三个人平分吃五个西瓜，问每个可分得多少？像这样的问题就不能用自然数的除法来解决，也就是说除得的商不再是一个自然数了。用什么数来表示这类量呢？为了解决这个矛盾，引进了新的数——分数来解决除法问题。用“几分之几”表示不足1的数。从历史上来看，分数的发现是比较早的，大约在公元前1700年，埃及有个叫亚斯麦的人，他写的一本《算术》的书，其中就介绍了表示分数的符号，人们对于分数的认识首先是从“单一分数”开始的，所谓单一分数是分子为1分母为任意自然数的分数，如、、等，而一分钟又是小时，后来在计算实践中又出现了分子分母是任意自然数的分数叫做普通分数，如、。总之分数概念的引入，担当了表示连续分割量的重要角色，同时也解决了自然数除法不能完全解决的矛盾。
从自然数开始到分数概念的产生，这是数的概念的第一次扩张。
分数的出现是数的概念的第一次扩张，但是随着社会实践的宽广和复杂，对于事物形与量的处理也越来越要求精确化了。公元1582年，罗马帝国的统治者下令，从日历上“抹”去了10天，他们把1582年10月4日之后的一天写为10月15日。罗马统治者为什么要这样呢？原来限于当时的科学水平，天文学上的一个“回归年”的误差值为0.0078天。看似这是微不足道的一点小错误，但从公元前46年确定公历开始到了十六世纪，这个历法竟与实际天文现象相差了十天之多，可见数的概念精确化是多么重要！为了满足计算中日益精确化的要求，人们在应用普通分数的基础上又引进了“十进位”分数的概念。我国古代数学家刘徽在注《九章算术》时，为了近似的表示不尽根，曾指出了在小数点后的第一位数作为以“十”为分母的分数，第二位数作为以“百”为分母的分数，这是最早的十进位分数。后来，十进分数的广泛运用在日常生活和科学技术领域里发挥了巨大作用，它和阿拉伯数字、对数，在一起被称为数学计算的三大发明。
都知道自然数的单位是一，而分数没有统一的单位，比如的单位是，的单位是，正因为他们的单位很不统一，在实际运用仍有不足之处。有困难就想办法，人们又在分数领域里开辟了一块“百分数”园地。百分数是分母恒为一百的分数，那么，它就有统一的单位1%。因此，百分数在税收、折扣、保险、利息、统计和科学技术的领域获得了广泛的运用。百分数是分数“园地”里的一支奇花，它是分数的继续和发展。
第二次扩张：从正数到负数
人们在生产实践中得到了自然数、零和分数，许多量都可以用他们表示，数学在历史上得到了进一步发展。但人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。
从正数到负数这是数的概念的第二次扩张，它使人们对数的认识更上了一层楼。
经过漫长的发展过程，零、分数、正数、负数逐渐被人们所接受。零和自然数统称为整数，正负整数，正负分数就统称为有理数。自然数的算术基本定律在有理数域中继续保持，有理数域对于算术的基本运算是闭合的。有理数域的建立扩大了数的概念。
第三次扩张：从有理数到无理数
关于数概念的第三次扩张，要从公元前六世纪的毕达哥拉斯学派谈起。“点是位置的单位元素。”这是毕达哥拉斯学派几何的基础，线是由原子连接构成的，就像项链由一串珠子构成一样。原子非常小，但都质地相同，大小一样，它们可作为度量的最小单位。因此，任取两条线段，它们的长度之比不多是各段所含的原子数目之比。任何三角形，特别是直角三角形的各边情形也自然如此，这样，认为一切三角形都是有理的。这种观念占统治地位达一千多年，限制了数学的发展。同时，他们还发现了勾股定理，但是，这个定理的直接结果是另一个发现：正方形的对角线是不可度量的。设正方形的边长为1，按照勾股定理，对角线长就为。有什么特点？首先求出的平方根，1.4,1.41，1.414……小数点后无论有多少有效数字都不是2的平方根，小数点后面有效数字位数越多，它的平方数就越和2接近，要把表示出来，就要用通常求平方根的方法把小数点后面的一切有效数字都开出来，显然这个新数应当是一个无限的小数，记作1.4142135……
古希腊时期的数的观念是可度量的，一旦出现了不可转化为两个整数之比的数，就爆发了“危机”——第一次数学危机。离开数，把正方形的边长与对角线之比看成两线段之比，就避开了这种危机。但另一方面，第一次数学危机又是数学对“无限”认识的危机，每个普通分数都可以划分为无限循环的小数，但不可能是分数，所以表示的无限小数不能是无限循环的小数，而应是无限不循环的小数了。这样就把无限不循环小数叫做无理数。无理数的引入，克服了第一次数学危机。第一次数学危机影响了数学的研究和发展，反过来无理数的发现又促进了数学的研究和发展，解决了许多理论和实际的问题。数学就是这样不断发现矛盾又不断解决矛盾的过程。
从有理数到无理数，这是数的概念的第三次扩张。
有了无理数后，数学的发展上了一个新的台阶。有理数和无理数统称为实数，尽管有理数不能盖满数轴，但实数和数轴上的点都是一一对应的，全体实数盖满了整个数轴，有了无理数后人们才可以量出许多线段。例如边长为1的正方形的对角线长就等于。也可以算出许多图形确切的面积，特别是实数系的形成，扩大了数学运算的范围。例如方程在有理数范围内是无解的，但在实数范围内却有两个根，，无理数的引进又推进了人们对方程的研究。
第四次扩张：从实数到虚数
在正有理数范围内，开方运算不能完全施行，有了无理数，矛盾得到了解决。在实数范围内，加、减、乘（包括乘方）、除运算的结果仍为实数，但开方运算就不一定了。当考虑一个简单的方程，二次方程将作为方程的解答似乎没什么意义，这就遇到负数开平方的问题。可见，只有允许对负数开平方，同时把负数的平方根作为一个数来处理，才能把求根的运算进行到底。文艺复兴时期的意大利人卡尔丹不仅讨论了负根而且第一次用了相当于虚数的概念，卡尔丹是第一个敢于把负数的平方根写下来的人，当他对三次方程求根时，得到了这里的就是负数的平方根，在这个基础上进一步钻研取得了新的成就。1637年法国数学家笛卡尔开始使用实数和虚数这两个名次。1777年瑞士数学家欧拉用符号表示虚数的单位设，如。“复数”这个名次是十九世纪德国数学家高斯给出的。如果用字母a、b表示任意两个实数，复数的一般形式为()。
从实数到虚数，这是数的概念的第四次扩张。
早在十六世纪，当虚数概念刚刚出现时，大家都认为它没有什么实际意义，笛卡尔也说复数的开方是不可思议的，所以他把这样的数叫做虚数，实际上虚数并不是虚无缥缈的东西。恩格斯在《反杜林论》中指出，虚数是正确的数学运算的必然结果，直到十九实际数学家高斯采用平面上的点给予复数几何上的解释后才使虚数有了稳固的立足点。由此复数进一步发展编程复变函数论成为解决技术问题的有力工具。例如解决飞机飞行理论，热运动理论，电场理论的某些问题，交流电的理论也广泛的运用了复变函数论。它在数学中取得了越来越巩固的地位，从此以后虚数之“虚”只剩下历史意义了。
数的概念发展到虚数和复数以后，数学家族的成员已经基本到齐了。于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。
人类对数的认识，一方面不断地由近及远，越来越扩大到更大的范围，另一方面又不断地由浅入深，越来越深入到物质的更深的层次中去，数的概念的发展，是在不断地揭露和解决数的运算中包括的矛盾的结果。可以说人类认识数的历史就是在社会实践的推动下不断揭示数的基本矛盾的历史。
参考文献：
[1] 汪浩,朱煜民.数学是什么[M]．湖南教育出版社,1985.
[2] 周金才，梁兮.数学的过去、现在和未来[M].中国青年出版社,1982.
[3] 中外数学简史编写组. 外国数学简史[M]. 山东教育出版社,1987.
[4] （美）T.丹齐克.数：科学的语言[M].上海教育出版社,2000.
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
[关键词] 数的概念数觉计数十进位分数
完全没有数的概念的思维是不可想象的，有确凿的证据表明，数字的产生比有文字记载的历史还要早几千年。
人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。但是人类在进化的蒙昧时期，就已经具有一种才能，当在一个小的集合里面增加或者减去一样的东西的时候，尽管他未曾直接知道增减，他也能够辨认到其中有所变化，这种才能可被称为数觉。许多鸟类是具有这种数觉的，鸟巢若是有四个卵，那么可安然拿去一个，但是，如果拿掉两个，这鸟通常就要逃走了，一种比鸟类好不了多少的原始的数觉，就是我们产生数的概念的核心，毫无疑问，如果人类单凭这种直接的数的知觉，在计算的技术上就不会比鸟类有什么进步，但是经历了一系列的特殊环境，人类在有限的数的知觉之外学会了另一种技能来为之帮忙，这种技巧使他们未来的生活受到巨大的影响，这技巧就是计数。在使用文字之前，人们用结绳计数，后来又用象形计数，正是计数才使具体的不同质的表达多少的概念结合为统一的抽象的数的概念，而数的概念正是数学发展的前提。粗略地说，数学是数量的科学，而数是数出来的，有了度量才能对量有所认识。并且，正是由于数的观念，我们才赢得了用数来表达我们世界的惊人成就。
数的科学在人类知识的总体里占有举足轻重的地位。数学是数的科学，它是数量这个概念出发的，数的概念虽然很早就已发生，但和语言文学一样，它的发展也经过了一个漫长的过程。
自然数的问世
自然数的产生起源于人类在生产活动中计数的需要，开始只有几个很少的自然数，后来随着生产力的发展和计数方法的改进，人类的文化也有了越来越多的自然数，我们从年幼时代开始就学习和运用自然数，并且通过自然数的不断接触，逐步深化了对自然数的认识。人们在数各种集合中的事物时发现数与被数物的各自特性无关。“五”这个数包含一个事物的实际抽象，它与这些东西的特性或者所引用的符号无关。这样，数的概念的抽象特性愈加显得清晰。自然数是这样的一些数，每个数的后面跟随着一个确定的数，从1开始，可以把他们一个跟随一个地排成一串，既不重复，也不遗漏，对于这些自然数人们还进行加法乘法等运算。像1、2、3、4、5、……，这样的数叫做自然数。自然数的问世是从现实世界中得出的第一个数的系统。自然数的运算如1+2、2+3、1×2、2×3、……
第一次扩张：从自然数到分数
显然，在自然数之间可以无阻碍的进行加法运算和乘法运算，随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的，但人们在生产实践中又遇到一类新的问题，就拿量布来说吧，有一块布用尺量了有五尺还有剩余，而又不足六尺，那么这块布的长既不能用五尺又不能用六尺表示，但在五和六之间再也没有其他自然数。同时在数的实际运用中不但需要对数做加法和乘法，而且往往需要考虑减法和除法。任意两个自然数相加或相乘其结果还是一个自然数，但两个自然数相除其结果就不一定了，比如三个人平分吃五个西瓜，问每个可分得多少？像这样的问题就不能用自然数的除法来解决，也就是说除得的商不再是一个自然数了。用什么数来表示这类量呢？为了解决这个矛盾，引进了新的数——分数来解决除法问题。用“几分之几”表示不足1的数。从历史上来看，分数的发现是比较早的，大约在公元前1700年，埃及有个叫亚斯麦的人，他写的一本《算术》的书，其中就介绍了表示分数的符号，人们对于分数的认识首先是从“单一分数”开始的，所谓单一分数是分子为1分母为任意自然数的分数，如、、等，而一分钟又是小时，后来在计算实践中又出现了分子分母是任意自然数的分数叫做普通分数，如、。总之分数概念的引入，担当了表示连续分割量的重要角色，同时也解决了自然数除法不能完全解决的矛盾。
从自然数开始到分数概念的产生，这是数的概念的第一次扩张。
分数的出现是数的概念的第一次扩张，但是随着社会实践的宽广和复杂，对于事物形与量的处理也越来越要求精确化了。公元1582年，罗马帝国的统治者下令，从日历上“抹”去了10天，他们把1582年10月4日之后的一天写为10月15日。罗马统治者为什么要这样呢？原来限于当时的科学水平，天文学上的一个“回归年”的误差值为0.0078天。看似这是微不足道的一点小错误，但从公元前46年确定公历开始到了十六世纪，这个历法竟与实际天文现象相差了十天之多，可见数的概念精确化是多么重要！为了满足计算中日益精确化的要求，人们在应用普通分数的基础上又引进了“十进位”分数的概念。我国古代数学家刘徽在注《九章算术》时，为了近似的表示不尽根，曾指出了在小数点后的第一位数作为以“十”为分母的分数，第二位数作为以“百”为分母的分数，这是最早的十进位分数。后来，十进分数的广泛运用在日常生活和科学技术领域里发挥了巨大作用，它和阿拉伯数字、对数，在一起被称为数学计算的三大发明。
都知道自然数的单位是一，而分数没有统一的单位，比如的单位是，的单位是，正因为他们的单位很不统一，在实际运用仍有不足之处。有困难就想办法，人们又在分数领域里开辟了一块“百分数”园地。百分数是分母恒为一百的分数，那么，它就有统一的单位1%。因此，百分数在税收、折扣、保险、利息、统计和科学技术的领域获得了广泛的运用。百分数是分数“园地”里的一支奇花，它是分数的继续和发展。
第二次扩张：从正数到负数
人们在生产实践中得到了自然数、零和分数，许多量都可以用他们表示，数学在历史上得到了进一步发展。但人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。
从正数到负数这是数的概念的第二次扩张，它使人们对数的认识更上了一层楼。
经过漫长的发展过程，零、分数、正数、负数逐渐被人们所接受。零和自然数统称为整数，正负整数，正负分数就统称为有理数。自然数的算术基本定律在有理数域中继续保持，有理数域对于算术的基本运算是闭合的。有理数域的建立扩大了数的概念。
第三次扩张：从有理数到无理数
关于数概念的第三次扩张，要从公元前六世纪的毕达哥拉斯学派谈起。“点是位置的单位元素。”这是毕达哥拉斯学派几何的基础，线是由原子连接构成的，就像项链由一串珠子构成一样。原子非常小，但都质地相同，大小一样，它们可作为度量的最小单位。因此，任取两条线段，它们的长度之比不多是各段所含的原子数目之比。任何三角形，特别是直角三角形的各边情形也自然如此，这样，认为一切三角形都是有理的。这种观念占统治地位达一千多年，限制了数学的发展。同时，他们还发现了勾股定理，但是，这个定理的直接结果是另一个发现：正方形的对角线是不可度量的。设正方形的边长为1，按照勾股定理，对角线长就为。有什么特点？首先求出的平方根，1.4,1.41，1.414……小数点后无论有多少有效数字都不是2的平方根，小数点后面有效数字位数越多，它的平方数就越和2接近，要把表示出来，就要用通常求平方根的方法把小数点后面的一切有效数字都开出来，显然这个新数应当是一个无限的小数，记作1.4142135……
古希腊时期的数的观念是可度量的，一旦出现了不可转化为两个整数之比的数，就爆发了“危机”——第一次数学危机。离开数，把正方形的边长与对角线之比看成两线段之比，就避开了这种危机。但另一方面，第一次数学危机又是数学对“无限”认识的危机，每个普通分数都可以划分为无限循环的小数，但不可能是分数，所以表示的无限小数不能是无限循环的小数，而应是无限不循环的小数了。这样就把无限不循环小数叫做无理数。无理数的引入，克服了第一次数学危机。第一次数学危机影响了数学的研究和发展，反过来无理数的发现又促进了数学的研究和发展，解决了许多理论和实际的问题。数学就是这样不断发现矛盾又不断解决矛盾的过程。
从有理数到无理数，这是数的概念的第三次扩张。
有了无理数后，数学的发展上了一个新的台阶。有理数和无理数统称为实数，尽管有理数不能盖满数轴，但实数和数轴上的点都是一一对应的，全体实数盖满了整个数轴，有了无理数后人们才可以量出许多线段。例如边长为1的正方形的对角线长就等于。也可以算出许多图形确切的面积，特别是实数系的形成，扩大了数学运算的范围。例如方程在有理数范围内是无解的，但在实数范围内却有两个根，，无理数的引进又推进了人们对方程的研究。
第四次扩张：从实数到虚数
在正有理数范围内，开方运算不能完全施行，有了无理数，矛盾得到了解决。在实数范围内，加、减、乘（包括乘方）、除运算的结果仍为实数，但开方运算就不一定了。当考虑一个简单的方程，二次方程将作为方程的解答似乎没什么意义，这就遇到负数开平方的问题。可见，只有允许对负数开平方，同时把负数的平方根作为一个数来处理，才能把求根的运算进行到底。文艺复兴时期的意大利人卡尔丹不仅讨论了负根而且第一次用了相当于虚数的概念，卡尔丹是第一个敢于把负数的平方根写下来的人，当他对三次方程求根时，得到了这里的就是负数的平方根，在这个基础上进一步钻研取得了新的成就。1637年法国数学家笛卡尔开始使用实数和虚数这两个名次。1777年瑞士数学家欧拉用符号表示虚数的单位设，如。“复数”这个名次是十九世纪德国数学家高斯给出的。如果用字母a、b表示任意两个实数，复数的一般形式为()。
从实数到虚数，这是数的概念的第四次扩张。
早在十六世纪，当虚数概念刚刚出现时，大家都认为它没有什么实际意义，笛卡尔也说复数的开方是不可思议的，所以他把这样的数叫做虚数，实际上虚数并不是虚无缥缈的东西。恩格斯在《反杜林论》中指出，虚数是正确的数学运算的必然结果，直到十九实际数学家高斯采用平面上的点给予复数几何上的解释后才使虚数有了稳固的立足点。由此复数进一步发展编程复变函数论成为解决技术问题的有力工具。例如解决飞机飞行理论，热运动理论，电场理论的某些问题，交流电的理论也广泛的运用了复变函数论。它在数学中取得了越来越巩固的地位，从此以后虚数之“虚”只剩下历史意义了。
数的概念发展到虚数和复数以后，数学家族的成员已经基本到齐了。于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。
人类对数的认识，一方面不断地由近及远，越来越扩大到更大的范围，另一方面又不断地由浅入深，越来越深入到物质的更深的层次中去，数的概念的发展，是在不断地揭露和解决数的运算中包括的矛盾的结果。可以说人类认识数的历史就是在社会实践的推动下不断揭示数的基本矛盾的历史。
参考文献：
[1] 汪浩,朱煜民.数学是什么[M]．湖南教育出版社,1985.
[2] 周金才，梁兮.数学的过去、现在和未来[M].中国青年出版社,1982.
[3] 中外数学简史编写组. 外国数学简史[M]. 山东教育出版社,1987.
[4] （美）T.丹齐克.数：科学的语言[M].上海教育出版社,2000.
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”