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摘要：针对两个幂单矩阵生成的矩阵是否幂单的问题，先利用矩阵对数工具得到了自由群生成元的新的组合性质。从这些新的组合性质出发，证明了由一个若当块不高于二阶和若当块不高于五阶矩阵生成的群，在本原元若当块不高于六阶的情况下，当本原元素均幂单时，生成的群是幂单群。这样就可以得出线性表示像满足同样条件的自由群也是幂单群。
关键词：幂单群;本原元;自由群;群表示
DOI：10.15938/j.jhust.2019.01.021
中图分类号： O153 3
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2019）01-0124-08
The Unipotency of Linear Groups Generated by Matrices with Primitive
Elements Contain no more than Six Jorden Blocks
YANG Xin song，MA Chang
（Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）
Abstract：In order to solve the problem of whether the matrices generated by two unipotent matrices are unipotency， a new combinatorial property of generators of free groups is obtained by using the matrix logarithmic tool From the point of the combination of these new properties， it is proved that a Jordan block is not higher than two and if the order when the block is not higher than five order matrix generated group， when the block is not higher than six order ， the primitive element is unipotency， the group generated is unipotent group
Keywords：unipotent group; primitive element; free group; group representation
0引言
21世紀代数界的最大成就就是完成了有限单群的分类，接下来的工作自然是无限群。由于任意群均同构于自由群的像，因此，无限自由群的研究具有十分重要意义。特别是在研究自由群的自同构群的时候，其本原元素是幂单的[1]。于是研究本原元幂单条件下的自由群的性质成了代数中一个趋向。
自从Plotonov 提出幂单性研究以来，本原元幂单的自由群的幂单性已经取得了一些进展[2-10]，也有国内外学者对此表现出了兴趣。同时，与幂单性相关联的研究也取得了很多好的结果[11-20]。就幂单性质而言，2016年有一个最新的结论如下：
定理A：若二元生成矩阵群的本原元素P均满足 （P-E） 5=0并且至少有一个本原元A满足 （A-E） 2=0，则此二元生成矩阵群是幂单群[16]。
本文将力求推广此定理。定理A中要求每个本原元的若当标准型里面不含高于五阶的若当块。本文考虑每个本原元素若当标准型不含高于六阶若当块。也就是要证明：
定理1如果矩阵A，B生成的矩阵群中，每个本原元素P均满足 （P-E） 6=0，并且 （B-E） 5=0， （A-E） 2=0，则此二元生成矩阵群是幂单群。
在以下论述中，G一直表示A=E+H， B=E+T生成的矩阵群，其中T 5=0，H 2=0，E是单位矩阵。在G中的每个本原元素P均满足 （P-E） 6=0。本文中提到本原元素的结构形式都是根据文[2]中结论。
由于矩阵 （B-E） 5=0，因此根据对数运算规则，可以记
F=f（T）= log B=T-12T 2+13T 3-14T 4，T=f -1 （F）= exp （F）-E=F+12F 2+16F 3+124F 4
此外，文中将用W（X m，Y n，Z k，Q t）表示X，Y，Z，Q的乘积组合，其中各个字母的总次数依次是m，n，k，t。例如
W（H 4，F）=H 4F+H 3FH+H 2FH 2+HFH 3+FH 4
下面来看定理证明的准备。
1引理
引理1[16]如果H和T有共同的特征向量，则G是幂单群。
注意到T=f -1 （F）= exp （F）-E=F+12F 2+16F 3+124F 4，所以，当H和F有共同的特征向量时，H和T有共同的特征向量，于是由引理1可得：
引理2如果H和F有共同的特征向量，则G是幂单群。 由于文[4]中已经证明了表示维数是7的结论，因此可以得到：
引理3如果H和F或者H和T有共同的維数小于7的非零不变子空间，那么G是幂单群。
根据文[2]矩阵A，B生成的自由群和A，BA生成的自由群相同。因此还有：
引理4如果H和AB或者H和BA有共同的维数小于7的非零不变子空间，那么G是幂单群。
上面的三个结论从公式描述的角度看就可以如下表达：
引理5如果G不是幂单群，那么元素X=0的充要条件是下列等式之一成立。
1）HX=TX=0;2）HX=FX=0;3）XH=XT=0;4）XH=XF=0。
下面来看生成元的一些组合性质。
引理6在群G中，必有HTHT 3H+HT 3HTH+HT 2HT 2H=THTHTHT。
证明：根据文[2]知，对于任意的正整数m，A mB是本原元。因此，根据定理条件知， （A mB-E） 6=0。注意到H 2=0， （A mB-E） 6=0也就是 （mHB+T） 6=0。此式展开后按照m的升幂排列为
D 0+D 1m+D 2m 2+D 3m 3+D 4m 4+D 5m 5+D 6m 6=0
依次取m为不同的整数m t，t=1，2，…，7并根据范德蒙行列式性质以及克莱姆法则可得：D t=0，t=0，1，…，6。
根据D 1=0可以得到T 4HBT+T 3HBT 2+T 2HBT 3+THBT 4=0。注意到T与B可交换，因此可以在右侧消去可逆矩阵B得
T 4HT+T 3HT 2+T 2HT 3+THT 4=0（1）
这个式子两端左乘或者右乘T的幂可分别得到：
T 4HT 2+T 3HT 3+T 2HT 4=0（2）
T 4HT 3+T 4HT 3=0（3）
T 4HT 4=0（4）
根据D 2=0，右侧的矩阵B并将不在右侧的矩阵B都展为E+T，并利用式（1）～（4）化简得
HT 4H+T 3HTH+T 2HT 2H+THT 3H+HT 3HT+HT 2HT 2+HTHT 3+T 3HTHT+THT 3HT+THTHT 3+THT 2HT 2+T 2HTHT 2+T 2HT 2HT+T 2HTHT+THT 2HT+THTHT 2=0（5）
式（5）两端左乘T 4得
T 4HT 3HT+T 4HTHT 3+T 4HT 2HT 2=0（6）
类似地，分别用T 3，T 2，T左乘式（5）两端并不断用得到的式子化简可得
T 3HT 3HT+T 3HTHT 3+T 3HT 2HT 2+T 4HTHT 2+T 4HT 2HT=0（7）
T 4HTHT+T 2HT 3HT+T 2HTHT 3+T 2HT 2HT 2+T 3HTHT 2+T 3HT 2HT=0（8）
T 3HTHT+THT 3HT+THTHT 3+THT 2HT 2+T 2HTHT 2+T 2HT 2HT=0（9）
此时的式（5）可以化简为
HT 4H+T 3HTH+T 2HT 2H+THT 3H+HT 3HT+HT 2HT 2+HTHT 3+T 2HTHT+THT 2HT+THTHT 2=0（10）
（10）式两端左乘、右乘H可得
-（HT 3HTH+HT 2HT 2H+HTHT 3H）=H（T 2HTHT+THT 2HT+THTHT 2）=（T 2HTHT+THT 2HT+THTHT 2）H（11）
类似地，根据D 3=0可并结合（1），（9）和（11）化简得
T 2HTHTHT+THTHTHT 2+THT 2HTHT+THTHT 2HT+2THTHTHT+THTHTH+HTHTHT+HT 2HTH+HTHT 2H=2（HT 3HTH+HT 2HT 2H+HTHT 3H）（12） （12）式两端右乘H得T 2HTHTHTH+2THTHTHTH+HTHTHTH=0。也就是B 2HTHTHTH=0。消去左侧的矩阵B得到
HTHTHTH=0（13）
（12）式还可以化简为B（HTHTHT+THTHTH+HT 2HTH+HTHT 2H）B=0，两端消去矩阵B得到
HTHTHT+THTHTH+HT 2HTH+HTHT 2H=0（14）
结合（11）可得
HT 3HTH+HT 2HT 2H+HTHT 3H=THTHTHT（15）
引理证毕。
引理6研究的是固定矩阵B的幂指数是一时本原元的性质，下面是固定矩阵A的幂指数是一的情况。
引理7在群G中，F 3HF 3HF 3HF 3=0。
证明：首先根据F=T-12T 2+13T 3-14T 4，直接演算即得
F 4HF 4=0（16）
F 4HF 3+F 4HF 3=0（17）
F 4HF 2+F 3HF 3+F 2HF 4=0（18）
F 4HF+F 3HF 2+F 2HF 3+FHF 4=0（19）
其次，根據文[2]知B mA是本原元，因此 （B mA-E） 6=0。此式也可以记做 （ exp[mF]A-E） 6=0，计算为
（A-E+mFA+12m 2F 2A+16m 3F 3A+124m 4F 4A） 6=0
此式记作（N 0+N 1m+N 2m 2+N 3m 3+N 4m 4） 6=0。此式的展开式按照m的升幂排列为
L 0+L 1m+L 2m 2+…+L 24 m 24 =0（20）
同样，依次取m为不同的整数m t，t=1，2，…，25，根据范德蒙行列式性质以及克莱姆法则可以得到L t=0，t=1，2，…，25。
根据L 3=0，可得W（N 5 0，N 3）+W（N 4 0，N 1，N 2）+W（N 3 0，N 3 1）=0，考虑到N 2 0=H 2=0，因此，只剩下W（N 3 0，N 3 1）=0。注意到AH=H，右侧消去矩阵A后用式（16）～（19）化简为：
HF 2HFH+HFHF 2H+HFHFHF+FHFHFH+2HFHFHFH=0
此式乘H得：
HFHFHFH=0（21）
将（21）式代回到前一个式子得到
HFHF 2H+HF 2HFH+HFHFHF+FHFHFH=0（22）
用同样的方法，从L 4=0得到
HF 4H+F 3HFH+F 2HF 2H+FHF 3H+HF 3HF+HF 2HF 2+HFHF 3+F 2HFHF+FHF 2HF+FHFHF 2=0（23）
此式乘H得到
HF 3HFH+HF 2HF 2H+HFHF 3H=FHFHFHF（24）
（23）式依次乘F 4，F 3，F 2，F并利用已得到的式子化简可依次得
F 4HF 3HF+F 4HFHF 3+F 4HF 2HF 2=0（25）
F 3HF 3HF+F 3HFHF 3+F 3HF 2HF 2+F 4HFHF 2+F 4HF 2HF=0（26）
F 4HFHF+F 2HF 3HF+F 2HFHF 3+F 2HF 2HF 2+F 3HFHF 2+F 3HF 2HF=0（27）
F 3HFHF+FHF 3HF+FHFHF 3+FHF 2HF 2+F 2HFHF 2+F 2HF 2HF=0（28）
使用同样的技巧，从L 5=0得到
HFHF 2HF 2+HF 2HFHF 2+HF 2HF 2HF+F 2HF 2HFH+F 2HFHF 2H+FHF 2HF 2H+HF 2HF 3H+HF 3HF 2H=0（29） 以及
HFHF 2HF 2H+HF 2HFHF 2H+HF 2HF 2HFH=0（30）
从L 6=0化简为
4HF 2HF 2HF 2H+5（HF 2HF 2HF 2+F 2HF 2HF 2H）+2F 2HF 2HF 2-4（HF 4HFHFH+HFHF 4HFH+HFHFHF 4H）-2（F 4HFHF+FHF 4HF+FHFHF 4）-5（HF 4HFHF+HFHF 4HF+HFHFHF 4+F 4HFHFH+FHF 4HFH+FHFHF 4H）-6（F 3HFHFHF+FHF 3HFHF+FHFHF 3HF+FHFHFHF 3）=0（31）
在式（31）兩端同时从左右两侧各乘H得到
HF 4HFHFH+HFHF 4HFH+HFHFHF 4H=HF 2HF 2HF 2H（32）
在式（31）两端同时左乘H并利用式（32）化简得到
HF 4HFHF+HFHF 4HF+HFHFHF 4=HF 2HF 2HF 2（33）
在式（31）中用-H替代H再与式（31）比较，并且利用式（32），（33）化简得到：
F 4HFHF+FHF 4HF+FHFHF 4=F 2HF 2HF 2（34）
以及
F 3HFHFHF+FHF 3HFHF+FHFHF 3HF+FHFHFHF 3=0（35）
利用式（24）对式（35）变形得到
F 3HFHFHF+FHFHFHF 3+F 2HFHFHF 2=FHF 2HF 2HF（36）
在式（34）左侧乘以F 3得到
F 4HFHF 4=0（37）
在式（34）左侧乘以F 2得到F 3HF 4HF+F 3HFHF 4=F 4HF 2HF 2利用式（17），（25）进行变形可得
F 4HFHF 3+F 3HFHF 4=0（38）
类似地，用F乘式（34）得到F 4HFHF 2+FHF 4HF 2=F 2HF 2HF 3，利用式（26），（18）可得
F 4HFHF 2+F 3HFHF 3+F 2HFHF 4=0（39）
而且，式（34）也可以利用式（19），（27）变形为
F 4HFHF+F 3HFHF 2+F 2HFHF 3+FHFHF 4=0（40）
将式（8）中的T换作F+12F 2+16F 3+124F 4，比较式（27）后用式（16）～（30）化简得到4（F 4HF 3HF 3+F 3HF 3HF 4）+5F 4HF 3HF 3=0。利用（17）式化简为
F 4HF 3HF 3=0（41）
在式（18）左侧乘F 4H得F 4HF 3HF 3+F 4HF 2HF 4+F 4HF 4HF 2=0利用式（16），式（41）化简得
F 4HF 2HF 4=0（42）
式（26）乘F并用式（38）化简得
F 3HF 3HF 2+F 4HF 2HF 2+F 3HF 2HF 3=0
于是有F 3HF 2HF 3=-F 3HF 3HF 2-F 4HF 2HF 2=F 2HF 4HF 2，也就是
F 3HF 2HF 3=F 2HF 4HF 2（43）
类似地，利用式（26）结合式（18）（39）可以变形整理得到
F 3HF 2HF 2+F 2HF 3HF 2+F 2HF 2HF 3=0（44）
将式（29）乘F 2利用式（44）化简，再利用式（22）变形得到
FHF 2HF 2HF 2=FHFHFHF 4+F 3HFHFHF 2+F 2HFHFHF 3（45） 此式两端同时左乘以F右乘F 2得到
F 2HF 2HF 2HF 4=F 4HFHFHF 4（46）
于是，根据式（18）（41）（19）（43）式直接计算得
F 3HF 3HF 3HF 3=0（47）
引理证毕。
可以看到，在上述证明过程中，研究本原元素组合性质的主要方法是讨论L t=0，t=1，2，…，24。但是，这个方法却并不能完成定理证明，组合的讨论必须要用到更多技巧。
引理8设群G不是幂单群，那么 （A nB m-E） 6=0，并且对于关于H，B的文字w i（H，B），如果表达式∑s i=1 w i（H，B）=0，一定有∑s i=1 w i（H，B m）=0。
证明：假设群G不是幂单群。
比较式（28）和（9）得
F 3HF 3HF 3=0（48）
同理，比较式（10）和（23）式并利用式（48）化简得
F 2HF 3HF 3+F 3HF 3HF 2+F 3HF 2HF 3=0（49）
同时，根据式（16），（17），（18），（19）又有
F 4HF 2HF 2+F 2HF 4HF 2+F 2HF 2HF 4=0（50）
比较式（14）式和式（22）得
（F 3HFHF 3+F 3HF 3HF+FHF 3HF 3）H+H（F 3HFHF 3+F 3HF 3HF+FHF 3HF 3）=0（51）
利用式（51）又可推导得到
H（F 3HFHF 3+F 3HF 3HF+FHF 3HF 3）H=0，F（F 3HFHF 3+F 3HF 3HF+FHF 3HF 3）H=0
由引理5可得
（F 3HFHF 3+F 3HF 3HF+FHF 3HF 3）H=0
又由（F 3HFHF 3+F 3HF 3HF+FHF 3HF 3）F=F 3HF 3HF 2-F 2HF 2HF 4=0并根据引理5可知，
F 3HFHF 3+F 3HF 3HF+FHF 3HF 3=0（52）
此时，利用式（52）和式（25）计算得
F 3HF 3HF 2=F 2HF 2HF 4（53）
同理有
F 4HF 2HF 2=F 2HF 3HF 3（54）
利用式（49）和式（44）计算得
F 2HF 3HF 3HF 2=F 3HF 2HF 2HF 3（55）
根据式（35），（52）得
F 3HFHFHF 3=FHF 3HF 3HF（56）
经过类似地推导，可以利用式（48）式（52）式（24）式（55）以及式（35），式（24）得到
F 4HFHFHF 4=F 2HF 3HF 3HF 2=F 3HF 2HF 2HF 3=F 4HF 2HF 2HF 2（57）
F 3HFHFHF+F 2HFHFHF 2+FHFHFHF 3=FHF 2HF 2HF（58）
F 3HFHFHF 2+F 2HFHFHF 3+FHFHFHF 4=FHF 2HF 2HF 2（59）
F 3HFHFHF 2+F 2HFHFHF 3+F 4HFHFHF=F 2HF 2HF 2HF（60）
在這个情况下，计算发现，L t=0，t=7，8，…，24成为了恒等式，也就是说从这些式子中不会有新的条件。由于直接计算这些式子就会是0，因此得到 （B mA 2-E） 6=0， （B mA 3-E） 6=0，…， （B mA n-E） 6=0。类似地就有 （A nB m-E） 6=0。由于B与B m满足同样的等式条件，所以只要得到一个H，B的等式，那么把其中的B换成B m后仍然成立。 引理得证。
下面就可以完成定理证明了。为了简洁，将不再赘述对称的式子的证明。也就是说，一旦得到了某一个式子（例如式（59）），那么它的对称式子（式（60））就自然成立。
2定理证明
使用反证法。假设群G不是幂单群。那么前面的引理都成立。所得到的式子都可用。根据式子（30），（48），（49），（50），（52），（19），（34）并利用T=F+12F 2+16F 3+124F 4，计算得：
HTHT 2HT 2H+HT 2HTHT 2H+HT 2HT 2HTH+12HT 2HT 2HT 2H=0（61）
于是根据式（14），式（61）有HT 2HTHTHT 2H=12HTHT 2HT 2HT 2H+HTHT 2HT 2HTH。再将T=F+12F 2+16F 3+124F 4代入此式中可化简左边最终得到
HT 2HTHTHT 2H=HF 2HFHFHF 2H+12HF 2HF 2HF 2HFH+14HF 3HFHFHF 3H+136HF 4HFHFHF 4H
同样，右边为
12HTHT 2HT 2HT 2H+HTHT 2HT 2HTH=HFHF 2HF 2HFH+12HFHF 2HF 2HF 2H+16HF 2HF 2HF 2HF 2H-38HF 3HF 2HF 2HF 2H-56HF 3HFHFHF 3H-116HF 4HF 2HF 2HF 2H
比较两边得到
0=（HF 2HFHFHF 2H-HFHF 2HF 2HFH）+1312HF 3HFHFHF 3H+13144HF 4HFHFHF 4H+14HF 3HF 2HF 2HF 2H
根據引理8，将这个式子中的B换做B的任意次幂仍然成立。注意到 log B m=m log B=mF，所以有
0=（HF 2HFHFHF 2H-HFHF 2HF 2HFH）m 6+1312HF 3HFHFHF 3Hm 8+13144HF 4HFHFHF 4Hm 10 +14HF 3HF 2HF 2HF 2Hm 9
于是，取不同的自然数m并根据范德蒙行列式特点和克莱姆法则可知
HF 2HFHFHF 2H-HFHF 2HF 2HFH=0（62）
HF 3HFHFHF 3H=0（63）
HF 4HFHFHF 4H=0（64）
HF 3HF 2HF 2HF 2H=0（65）
由于HF 4HFHFHF 4H=0，FF 4HFHFHF 4H=0所以根据引理5知F 4HFHFHF 4H=0。同理可得F 4HFHFHF 4=0。再根据（57）式可知
F 4HFHFHF 4=F 2HF 3HF 3HF 2=F 3HF 2HF 2HF 3=F 4HF 2HF 2HF 2=0（66）
同样，利用HF 3HF 2HF 2HF 2H=0，F 3HF 2HF 2HF 3=0以及引理5可知
F 3HF 2HF 2HF 2=0（67）
仿效式（62）～（65）的推导过程把T=F+12F 2+16F 3+124F 4代入
HT 3HTHTHT+HT 2HTHTHT 2-HTHT 2HT 2HT=-12HT 2HT 2HT 2HT（68）
化简比较两边F的次数可得
HF 3HFHFHF 3=0（69）
HF 4HFHFHF+HFHF 2HF 2HF 2=HF 2HF 2HF 2HF（70）
由于HF 3HFHFHF 3=0，所以HF 3HFHFHF 4=0。也就是HFHF 2HF 2HF 4=0。由HFHF 2HF 2HF 4=0，F 2HF 2HF 2HF 4=F 4HF 2HF 2HF 2=0以及引理5可知FHF 2HF 2HF 4=0。再根据FHF 2HF 2HF 4=0，HHF 2HF 2HF 4=0以及引理3得到HF 2HF 2HF 4=0。再考虑式（53）便有 HF 3HF 3HF 2=HF 2HF 2HF 4=0（71）
另一方面，根据式（69）和（56）有HFHF 3HF 3HF=0。再根据HFHF 3HF 3HF=0，HFHF 3HF 3HH=0以及引理5知HFHF 3HF 3H=0。对称地可以得到，HF 3HF 3HFH=0。利用HF 3HF 3HFH=0，式（71）以及引理5可知HF 3HF 3HF=0。仍然是利用引理5，结合HF 3HF 3HF=0和HF 3HF 3HH=0可得
HF 3HF 3H=0（72）
在式子（58）两侧从左边乘F，并注意到F 3HFHFHF 3=FHF 3HF 3HF=0可以得到F 4HFHFHF 2= F 3HF 2HF 2HF也就是（F 4HFHFHF-F 3HF 2HF 2H）F=0。再由（F 4HFHFHF-F 3HF 2HF 2H）H=0以及（F 4HFHFHF-F 3HF 2HF 2H）F=0和引理5可得
F 4HFHFHF=F 3HF 2HF 2H（73）
把F=T-12T 2+13T 3-14T 4代入（29）化简得
HTHT 2HT 2+HT 2HTHT 2+HT 2HT 2HT+T 2HT 2HTH+T 2HTHT 2H+THT 2HT 2H+HT 2HT 3H+HT 3HT 2H+12HT 2HT 2HT 2+12T 2HT 2HT 2H=0
利用此式以及式（9），式（14）化简T 3HTHTHT+THT 3HTHT+THTHT 3HT+THTHTHT 3：
T 3HTHTHT+THT 3HTHT+THTHT 3HT+THTHTHT 3=12THT 2HT 2HT 2+12T 3HT 2HT 2H
此结果从左边乘H并与式（68）比较得到HT 3HT 2HT 2H=0。由式（72）和式（54）有
TT 3HT 2HT 2H=T 4HT 2HT 2H=T 2HT 3HT 3H=0
于是，結合这两个结果HT 3HT 2HT 2H=0，TT 3HT 2HT 2H=0利用引理5得到
T 3HT 2HT 2H=0（74）
把式（52）、（74）代入式（15）可得T 4HTHTHT=T 3HT 2HT 2H=0。再根据引理5知T 4HTHTH=0
T 4HTHTH=0（75）
如果把代入T 4HTHTHT=T 3HT 2HT 2H=0式还可得到
F 4HFHFHF=F 3HF 2HF 2H=F 4HFHFH=0（76）
结合式（70），（76）知HFHF 2HF 2HF 2=HF 2HF 2HF 2HF。此式再结合式（76）可知HF 2HF 2HF 2HF 2=0。 结合HF 2HF 2HF 2HF 2=0以及式（67），根据引理3可得
F 2HF 2HF 2HF 2=0（77）
根据F 4HFHFH=0，的推导过程，可以对称地得到HFHFHF 4=0。于是，利用式（34）可得
HF 2HF 2HF 2HFH=HFHF 4HFHFH+HFHFHF 4HFH+HF 4HFHFHFH=0
结合此式和式（76）、（77）以及引理5可得F 2HF 2HF 2HF=0。再次使用引理5，从F 2HF 2HF 2HF=0可知F 2HF 2HF 2H=0。对称地可以得到F 2HF 2HF 2H=0。此即
F 2HF 2HF 2H=HF 2HF 2HF 2=0（78）
将此结论再代回到式（34）可得0=F 2HF 2HF 2H=F 4HFHFH+FHF 4HFH+FHFHF 4H。也就是FHF 4HFH+FHFHF 4H=0。将此式结合引理5以及式（19）就得到 HF 4HFH+HFHF 4H=0=HF 2HF 3H+HF 3HF 2H（79）
根据式（19）有F 3（HF 4H+HF 3HF+HF 2HF 2+HFHF 3）F=0，另一方面，根据式（24）、（76）有
F 3（HF 4H+HF 3HF+HF 2HF 2+HFHF 3）H=F 3HF 3HFH+F 3HF 2HF 2H+F 3HFHF 3H=F 4HFHFHF=0
根据引理5可知
F 3HF 4H+F 3HF 3HF+F 3HF 2HF 2+F 3HFHF 3=0（80）
比较式（80）与（26）可知
F 3HF 4H=F 4HF 2HF+F 4HFHF 2（81）
类似地，利用式（1）、（15）、（7）、（75）可得
T 3HT 4H=T 4HT 2HT+T 4HTHT 2（82）
由于 （A nB-E） 6=0，也就是说 （A nAB-E） 6=0。记AB-E=N则运用推导（1）～（4）的方法可得N 4HN 5+N 5HN 4=0，N 5HN 5=0。 用类似地方式讨论 （A nA kB-E） 6=0則可得到类似的式子，于是有
0=（T 2HT 2+THT 3+T 3HT）H（T 2HT 2+THT 3+T 3HT）k 2+[（T 2HT 2+THT 3+T 3HT）H（T 2HTHT+THT 2HT+THTHT 2+T 2HTH+THT 2H+THTHT）+（T 2HTHT+THT 2HT+THTHT 2+HT 2HT+HTHT 2+THTHT）H（T 2HT 2+THT 3+T 3HT）]k 3+（T 2HTHT+THT 2HT+THTHT 2+HT 2HT+HTHT 2+THTHT）·H·（T 2HTHT+THT 2HT+THTHT 2+T 2HTH+THT 2H+THTHT）k 4
依次取不同的k，利用范德蒙行列式以及克莱姆法则就得到
（T 2HT 2+THT 3+T 3HT）H（T 2HT 2+THT 3+T 3HT）=0（83）
（T 2HT 2+THT 3+T 3HT）H（T 2HTHT+THT 2HT+THTHT 2+T 2HTH+THT 2H+THTHT）+（T 2HTHT+THT 2HT+THTHT 2+HT 2HT+HTHT 2+THTHT）H（T 2HT 2+THT 3+T 3HT）=0（84）
其中k 4的系数项为零已经涵盖在前面的各个式子之中顾不列出。
式（83）左乘T并用式（1）、（75）化简可得
T 4HTHT 2HT 2+T 4HTHT 3HT=0（85）
同样，从式（84）可以化简出
T 3HT 2HTHTHT+THTHTHT 2HT 3=0（86）
式（86）右乘T 2得到T 3HT 2HTHTHT 3=0，结合式（68）右乘T以及式（78）可得T 3HT 3HTHTHT 2=0。根据引理5可知T 3HT 3HTHTHT=0进而
T 3HT 3HTHTH=0（87）
把T=F+12F 2+16F 3+124F 4代入（83）中化简后的结果就是把（83）中T换成F。因此可以得到
F 4HFHF 2HF 2+F 4HFHF 3HF=0（88）
把T=F+12F 2+16F 3+124F 4代入（86）中化简后得
F 3HF 2HFHFHF+FHFHFHF 2HF 3-12（F 3HF 3HFHFHF+FHFHFHF 3HF 3）=0
根据引理8，把此式中F换成2F仍然成立。即有
F 3HF 2HFHFHF+FHFHFHF 2HF 3-（F 3HF 3HFHFHF+FHFHFHF 3HF 3）=0 所以有F 3HF 2HFHFHF+FHFHFHF 2HF 3=F 3HF 3HFHFHF+FHFHFHF 3HF 3=0。于是得到了与（86），（87）对应的式子
F 3HF 2HFHFHF+FHFHFHF 2HF 3=F 3HF 3HFHFH=0（89）
利用式（22），式（76）和式（89）可以得到
（F 3HF 3HFHF 2+F 3HF 3HF 2HF）H=F 3HF 3HFHF 2H+F 3HF 3HF 2HFH=-F 3HF 3HFHFHF-F 3HF 4HFHFH=0
另一方面利用式（72），式（80）和式（48）可以得到
（F 3HF 3HFHF 2+F 3HF 3HF 2HF）F=F 3HF 3HFHF 3+F 3HF 3HF 2HF 2=F 3HF 3HFHF 3+F 3HF 3HF 3HF+F 3HF 3HF 2HF 2=F 3HF 3HF 4H=0
利用这两个式子结合引理5就得到F 3HF 3HFHF 2+F 3HF 3HF 2HF=0。再结合式（89）以及引理5即得
F 3HF 3HFHF+F 3HF 3HF 2H=0（90）
類似地推导也可以得到
T 3HT 3HTHT+T 3HT 3HT 2H=0（91）
把T=F+12F 2+16F 3+124F 4代入式（91）中化简后得
12（F 3HF 3HFHF 2+F 3HF 3HF 2HF）+112F 3HF 3HF 2HF 2+124F 3HF 3HF 2HF 3=0
根据引理8，这个式子中的F换成3F，2F仍然成立。因此利用范德蒙行列式以及克莱姆法则可知
F 3HF 3HFHF 2+F 3HF 3HF 2HF=F 3HF 3HF 2HF 2=F 3HF 3HF 2HF 3=0（92）
根据式（92），式（78）可知FF 2HF 3HF 2HF 2=HF 2HF 3HF 2HF 2=0。此结果结合引理5就有
F 2HF 3HF 2HF 2=0（93）
看式（89）：F 3HF 2HFHFHF+FHFHFHF 2HF 3=0。右乘F得F 3HF 2HFHFHF 2+FHFHFHF 2HF 4=0。
利用式（18），（76）以及（89）后面的等号部分得FHFHFHF 2HF 4=-FHFHFHF 3HF 3-FHFHFHF 4HF 2=0（这里用的是对称的式子）。因此有F 3HF 2HFHFHF 2=0。接下来使用推导式（87）式的方法，连续使用引理5就得到
F 3HF 2HFHFH=0（94）
同样，利用式（86），（87）等式子可以类似地推导出T 3HT 2HTHTH=0。把T=F+12F 2+16F 3+124F 4代入T 3HT 2HTHTH=0中化简并与式（93）比较得到F 3HF 2HFHF 2H=0。再结合式（30），（78）可得
F 3HFHF 2HF 2H=0（95）
F 3HFHF 2HF 2H=0因此F 2HFHF 3HF 2H+FHFHF 4HF 2H=0也就是FHFHF 2HF 3H=HFHF 4HF 2H。同理还有HF 3HF 2HFHF=HF 2HF 4HFH。利用（80）、（81）F 3HF 4H=F 4HF 2HF+F 4HFHF 2，F 3HF 4H+F 3HF 3HF+F 3HF 2HF 2+F 3HFHF 3=0这两个式子以及F 2HF 2HF 2=F 3HF 3H+HF 3HF 3得到HF 4HF 2HF 3=HF 3HF 4HF 2=（F 2HF 2HF 2-F 3HF 3H）FHF 2=-F 3HF 3HFHF 2。也就是 HF 4HF 2HF 3+F 3HF 3HFHF 2=0。
注意到右邊去掉F换做H仍然是0，因此有HF 4HF 2HF 2+F 3HF 3HFHF=0 。另一方面，HF 4HF 2HF 2=HF 3HF 4HF=F 2HF 2HF 3HF-F 3HF 3HFHF。比较就发现F 2HF 2HF 3HF=0。进而由引理5可知F 2HF 2HF 3H=0。此结果代回到（80）中HF 3HF 4H=HFHF 3HF 3。于是HF 3HF 4HF 2=0。由引理8知F 3HF 4HF 2=0。如此一来，反复使用引理8就有F 2HF 2HF 2=0。那么就有F 3HF 3H+HF 3HF 3=0。那么F 2HF 3HF 3=0。再看到F 2HF 2HF 3H=0，就有F 2HF 3HF 2=0进而F 2HF 4HF 2=0。代入到（88）F 4HFHF 2HF 2+F 4HFHF 3HF=0中就有F 4HFHF 3=0，再用（25）式可得F 4HF 3HF=0。连续使用引理8得到F 4HF 3=0，并进而是F 3HF 3=0。
在这种情况下，F 3HF 2HFH，F 3HF 2HFHF，F 3HF 2HFHF 2，F 3HF 2HFHF 3，F 3HF 2HFHF 4生成维数不超过5维的，A，B的公共不变子空间。根据引理4知此空间为0，因此F 3HF 2HFH=0。连续使用引理8可得到F 3HF 2=0。一直推导发现F 4=0（此时群是幂单的）。矛盾。
定理得证。
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关键词：幂单群;本原元;自由群;群表示
DOI：10.15938/j.jhust.2019.01.021
中图分类号： O153 3
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2019）01-0124-08
The Unipotency of Linear Groups Generated by Matrices with Primitive
Elements Contain no more than Six Jorden Blocks
YANG Xin song，MA Chang
（Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）
Abstract：In order to solve the problem of whether the matrices generated by two unipotent matrices are unipotency， a new combinatorial property of generators of free groups is obtained by using the matrix logarithmic tool From the point of the combination of these new properties， it is proved that a Jordan block is not higher than two and if the order when the block is not higher than five order matrix generated group， when the block is not higher than six order ， the primitive element is unipotency， the group generated is unipotent group
Keywords：unipotent group; primitive element; free group; group representation
0引言
21世紀代数界的最大成就就是完成了有限单群的分类，接下来的工作自然是无限群。由于任意群均同构于自由群的像，因此，无限自由群的研究具有十分重要意义。特别是在研究自由群的自同构群的时候，其本原元素是幂单的[1]。于是研究本原元幂单条件下的自由群的性质成了代数中一个趋向。
自从Plotonov 提出幂单性研究以来，本原元幂单的自由群的幂单性已经取得了一些进展[2-10]，也有国内外学者对此表现出了兴趣。同时，与幂单性相关联的研究也取得了很多好的结果[11-20]。就幂单性质而言，2016年有一个最新的结论如下：
定理A：若二元生成矩阵群的本原元素P均满足 （P-E） 5=0并且至少有一个本原元A满足 （A-E） 2=0，则此二元生成矩阵群是幂单群[16]。
本文将力求推广此定理。定理A中要求每个本原元的若当标准型里面不含高于五阶的若当块。本文考虑每个本原元素若当标准型不含高于六阶若当块。也就是要证明：
定理1如果矩阵A，B生成的矩阵群中，每个本原元素P均满足 （P-E） 6=0，并且 （B-E） 5=0， （A-E） 2=0，则此二元生成矩阵群是幂单群。
在以下论述中，G一直表示A=E+H， B=E+T生成的矩阵群，其中T 5=0，H 2=0，E是单位矩阵。在G中的每个本原元素P均满足 （P-E） 6=0。本文中提到本原元素的结构形式都是根据文[2]中结论。
由于矩阵 （B-E） 5=0，因此根据对数运算规则，可以记
F=f（T）= log B=T-12T 2+13T 3-14T 4，T=f -1 （F）= exp （F）-E=F+12F 2+16F 3+124F 4
此外，文中将用W（X m，Y n，Z k，Q t）表示X，Y，Z，Q的乘积组合，其中各个字母的总次数依次是m，n，k，t。例如
W（H 4，F）=H 4F+H 3FH+H 2FH 2+HFH 3+FH 4
下面来看定理证明的准备。
1引理
引理1[16]如果H和T有共同的特征向量，则G是幂单群。
注意到T=f -1 （F）= exp （F）-E=F+12F 2+16F 3+124F 4，所以，当H和F有共同的特征向量时，H和T有共同的特征向量，于是由引理1可得：
引理2如果H和F有共同的特征向量，则G是幂单群。 由于文[4]中已经证明了表示维数是7的结论，因此可以得到：
引理3如果H和F或者H和T有共同的維数小于7的非零不变子空间，那么G是幂单群。
根据文[2]矩阵A，B生成的自由群和A，BA生成的自由群相同。因此还有：
引理4如果H和AB或者H和BA有共同的维数小于7的非零不变子空间，那么G是幂单群。
上面的三个结论从公式描述的角度看就可以如下表达：
引理5如果G不是幂单群，那么元素X=0的充要条件是下列等式之一成立。
1）HX=TX=0;2）HX=FX=0;3）XH=XT=0;4）XH=XF=0。
下面来看生成元的一些组合性质。
引理6在群G中，必有HTHT 3H+HT 3HTH+HT 2HT 2H=THTHTHT。
证明：根据文[2]知，对于任意的正整数m，A mB是本原元。因此，根据定理条件知， （A mB-E） 6=0。注意到H 2=0， （A mB-E） 6=0也就是 （mHB+T） 6=0。此式展开后按照m的升幂排列为
D 0+D 1m+D 2m 2+D 3m 3+D 4m 4+D 5m 5+D 6m 6=0
依次取m为不同的整数m t，t=1，2，…，7并根据范德蒙行列式性质以及克莱姆法则可得：D t=0，t=0，1，…，6。
根据D 1=0可以得到T 4HBT+T 3HBT 2+T 2HBT 3+THBT 4=0。注意到T与B可交换，因此可以在右侧消去可逆矩阵B得
T 4HT+T 3HT 2+T 2HT 3+THT 4=0（1）
这个式子两端左乘或者右乘T的幂可分别得到：
T 4HT 2+T 3HT 3+T 2HT 4=0（2）
T 4HT 3+T 4HT 3=0（3）
T 4HT 4=0（4）
根据D 2=0，右侧的矩阵B并将不在右侧的矩阵B都展为E+T，并利用式（1）～（4）化简得
HT 4H+T 3HTH+T 2HT 2H+THT 3H+HT 3HT+HT 2HT 2+HTHT 3+T 3HTHT+THT 3HT+THTHT 3+THT 2HT 2+T 2HTHT 2+T 2HT 2HT+T 2HTHT+THT 2HT+THTHT 2=0（5）
式（5）两端左乘T 4得
T 4HT 3HT+T 4HTHT 3+T 4HT 2HT 2=0（6）
类似地，分别用T 3，T 2，T左乘式（5）两端并不断用得到的式子化简可得
T 3HT 3HT+T 3HTHT 3+T 3HT 2HT 2+T 4HTHT 2+T 4HT 2HT=0（7）
T 4HTHT+T 2HT 3HT+T 2HTHT 3+T 2HT 2HT 2+T 3HTHT 2+T 3HT 2HT=0（8）
T 3HTHT+THT 3HT+THTHT 3+THT 2HT 2+T 2HTHT 2+T 2HT 2HT=0（9）
此时的式（5）可以化简为
HT 4H+T 3HTH+T 2HT 2H+THT 3H+HT 3HT+HT 2HT 2+HTHT 3+T 2HTHT+THT 2HT+THTHT 2=0（10）
（10）式两端左乘、右乘H可得
-（HT 3HTH+HT 2HT 2H+HTHT 3H）=H（T 2HTHT+THT 2HT+THTHT 2）=（T 2HTHT+THT 2HT+THTHT 2）H（11）
类似地，根据D 3=0可并结合（1），（9）和（11）化简得
T 2HTHTHT+THTHTHT 2+THT 2HTHT+THTHT 2HT+2THTHTHT+THTHTH+HTHTHT+HT 2HTH+HTHT 2H=2（HT 3HTH+HT 2HT 2H+HTHT 3H）（12） （12）式两端右乘H得T 2HTHTHTH+2THTHTHTH+HTHTHTH=0。也就是B 2HTHTHTH=0。消去左侧的矩阵B得到
HTHTHTH=0（13）
（12）式还可以化简为B（HTHTHT+THTHTH+HT 2HTH+HTHT 2H）B=0，两端消去矩阵B得到
HTHTHT+THTHTH+HT 2HTH+HTHT 2H=0（14）
结合（11）可得
HT 3HTH+HT 2HT 2H+HTHT 3H=THTHTHT（15）
引理证毕。
引理6研究的是固定矩阵B的幂指数是一时本原元的性质，下面是固定矩阵A的幂指数是一的情况。
引理7在群G中，F 3HF 3HF 3HF 3=0。
证明：首先根据F=T-12T 2+13T 3-14T 4，直接演算即得
F 4HF 4=0（16）
F 4HF 3+F 4HF 3=0（17）
F 4HF 2+F 3HF 3+F 2HF 4=0（18）
F 4HF+F 3HF 2+F 2HF 3+FHF 4=0（19）
其次，根據文[2]知B mA是本原元，因此 （B mA-E） 6=0。此式也可以记做 （ exp[mF]A-E） 6=0，计算为
（A-E+mFA+12m 2F 2A+16m 3F 3A+124m 4F 4A） 6=0
此式记作（N 0+N 1m+N 2m 2+N 3m 3+N 4m 4） 6=0。此式的展开式按照m的升幂排列为
L 0+L 1m+L 2m 2+…+L 24 m 24 =0（20）
同样，依次取m为不同的整数m t，t=1，2，…，25，根据范德蒙行列式性质以及克莱姆法则可以得到L t=0，t=1，2，…，25。
根据L 3=0，可得W（N 5 0，N 3）+W（N 4 0，N 1，N 2）+W（N 3 0，N 3 1）=0，考虑到N 2 0=H 2=0，因此，只剩下W（N 3 0，N 3 1）=0。注意到AH=H，右侧消去矩阵A后用式（16）～（19）化简为：
HF 2HFH+HFHF 2H+HFHFHF+FHFHFH+2HFHFHFH=0
此式乘H得：
HFHFHFH=0（21）
将（21）式代回到前一个式子得到
HFHF 2H+HF 2HFH+HFHFHF+FHFHFH=0（22）
用同样的方法，从L 4=0得到
HF 4H+F 3HFH+F 2HF 2H+FHF 3H+HF 3HF+HF 2HF 2+HFHF 3+F 2HFHF+FHF 2HF+FHFHF 2=0（23）
此式乘H得到
HF 3HFH+HF 2HF 2H+HFHF 3H=FHFHFHF（24）
（23）式依次乘F 4，F 3，F 2，F并利用已得到的式子化简可依次得
F 4HF 3HF+F 4HFHF 3+F 4HF 2HF 2=0（25）
F 3HF 3HF+F 3HFHF 3+F 3HF 2HF 2+F 4HFHF 2+F 4HF 2HF=0（26）
F 4HFHF+F 2HF 3HF+F 2HFHF 3+F 2HF 2HF 2+F 3HFHF 2+F 3HF 2HF=0（27）
F 3HFHF+FHF 3HF+FHFHF 3+FHF 2HF 2+F 2HFHF 2+F 2HF 2HF=0（28）
使用同样的技巧，从L 5=0得到
HFHF 2HF 2+HF 2HFHF 2+HF 2HF 2HF+F 2HF 2HFH+F 2HFHF 2H+FHF 2HF 2H+HF 2HF 3H+HF 3HF 2H=0（29） 以及
HFHF 2HF 2H+HF 2HFHF 2H+HF 2HF 2HFH=0（30）
从L 6=0化简为
4HF 2HF 2HF 2H+5（HF 2HF 2HF 2+F 2HF 2HF 2H）+2F 2HF 2HF 2-4（HF 4HFHFH+HFHF 4HFH+HFHFHF 4H）-2（F 4HFHF+FHF 4HF+FHFHF 4）-5（HF 4HFHF+HFHF 4HF+HFHFHF 4+F 4HFHFH+FHF 4HFH+FHFHF 4H）-6（F 3HFHFHF+FHF 3HFHF+FHFHF 3HF+FHFHFHF 3）=0（31）
在式（31）兩端同时从左右两侧各乘H得到
HF 4HFHFH+HFHF 4HFH+HFHFHF 4H=HF 2HF 2HF 2H（32）
在式（31）两端同时左乘H并利用式（32）化简得到
HF 4HFHF+HFHF 4HF+HFHFHF 4=HF 2HF 2HF 2（33）
在式（31）中用-H替代H再与式（31）比较，并且利用式（32），（33）化简得到：
F 4HFHF+FHF 4HF+FHFHF 4=F 2HF 2HF 2（34）
以及
F 3HFHFHF+FHF 3HFHF+FHFHF 3HF+FHFHFHF 3=0（35）
利用式（24）对式（35）变形得到
F 3HFHFHF+FHFHFHF 3+F 2HFHFHF 2=FHF 2HF 2HF（36）
在式（34）左侧乘以F 3得到
F 4HFHF 4=0（37）
在式（34）左侧乘以F 2得到F 3HF 4HF+F 3HFHF 4=F 4HF 2HF 2利用式（17），（25）进行变形可得
F 4HFHF 3+F 3HFHF 4=0（38）
类似地，用F乘式（34）得到F 4HFHF 2+FHF 4HF 2=F 2HF 2HF 3，利用式（26），（18）可得
F 4HFHF 2+F 3HFHF 3+F 2HFHF 4=0（39）
而且，式（34）也可以利用式（19），（27）变形为
F 4HFHF+F 3HFHF 2+F 2HFHF 3+FHFHF 4=0（40）
将式（8）中的T换作F+12F 2+16F 3+124F 4，比较式（27）后用式（16）～（30）化简得到4（F 4HF 3HF 3+F 3HF 3HF 4）+5F 4HF 3HF 3=0。利用（17）式化简为
F 4HF 3HF 3=0（41）
在式（18）左侧乘F 4H得F 4HF 3HF 3+F 4HF 2HF 4+F 4HF 4HF 2=0利用式（16），式（41）化简得
F 4HF 2HF 4=0（42）
式（26）乘F并用式（38）化简得
F 3HF 3HF 2+F 4HF 2HF 2+F 3HF 2HF 3=0
于是有F 3HF 2HF 3=-F 3HF 3HF 2-F 4HF 2HF 2=F 2HF 4HF 2，也就是
F 3HF 2HF 3=F 2HF 4HF 2（43）
类似地，利用式（26）结合式（18）（39）可以变形整理得到
F 3HF 2HF 2+F 2HF 3HF 2+F 2HF 2HF 3=0（44）
将式（29）乘F 2利用式（44）化简，再利用式（22）变形得到
FHF 2HF 2HF 2=FHFHFHF 4+F 3HFHFHF 2+F 2HFHFHF 3（45） 此式两端同时左乘以F右乘F 2得到
F 2HF 2HF 2HF 4=F 4HFHFHF 4（46）
于是，根据式（18）（41）（19）（43）式直接计算得
F 3HF 3HF 3HF 3=0（47）
引理证毕。
可以看到，在上述证明过程中，研究本原元素组合性质的主要方法是讨论L t=0，t=1，2，…，24。但是，这个方法却并不能完成定理证明，组合的讨论必须要用到更多技巧。
引理8设群G不是幂单群，那么 （A nB m-E） 6=0，并且对于关于H，B的文字w i（H，B），如果表达式∑s i=1 w i（H，B）=0，一定有∑s i=1 w i（H，B m）=0。
证明：假设群G不是幂单群。
比较式（28）和（9）得
F 3HF 3HF 3=0（48）
同理，比较式（10）和（23）式并利用式（48）化简得
F 2HF 3HF 3+F 3HF 3HF 2+F 3HF 2HF 3=0（49）
同时，根据式（16），（17），（18），（19）又有
F 4HF 2HF 2+F 2HF 4HF 2+F 2HF 2HF 4=0（50）
比较式（14）式和式（22）得
（F 3HFHF 3+F 3HF 3HF+FHF 3HF 3）H+H（F 3HFHF 3+F 3HF 3HF+FHF 3HF 3）=0（51）
利用式（51）又可推导得到
H（F 3HFHF 3+F 3HF 3HF+FHF 3HF 3）H=0，F（F 3HFHF 3+F 3HF 3HF+FHF 3HF 3）H=0
由引理5可得
（F 3HFHF 3+F 3HF 3HF+FHF 3HF 3）H=0
又由（F 3HFHF 3+F 3HF 3HF+FHF 3HF 3）F=F 3HF 3HF 2-F 2HF 2HF 4=0并根据引理5可知，
F 3HFHF 3+F 3HF 3HF+FHF 3HF 3=0（52）
此时，利用式（52）和式（25）计算得
F 3HF 3HF 2=F 2HF 2HF 4（53）
同理有
F 4HF 2HF 2=F 2HF 3HF 3（54）
利用式（49）和式（44）计算得
F 2HF 3HF 3HF 2=F 3HF 2HF 2HF 3（55）
根据式（35），（52）得
F 3HFHFHF 3=FHF 3HF 3HF（56）
经过类似地推导，可以利用式（48）式（52）式（24）式（55）以及式（35），式（24）得到
F 4HFHFHF 4=F 2HF 3HF 3HF 2=F 3HF 2HF 2HF 3=F 4HF 2HF 2HF 2（57）
F 3HFHFHF+F 2HFHFHF 2+FHFHFHF 3=FHF 2HF 2HF（58）
F 3HFHFHF 2+F 2HFHFHF 3+FHFHFHF 4=FHF 2HF 2HF 2（59）
F 3HFHFHF 2+F 2HFHFHF 3+F 4HFHFHF=F 2HF 2HF 2HF（60）
在這个情况下，计算发现，L t=0，t=7，8，…，24成为了恒等式，也就是说从这些式子中不会有新的条件。由于直接计算这些式子就会是0，因此得到 （B mA 2-E） 6=0， （B mA 3-E） 6=0，…， （B mA n-E） 6=0。类似地就有 （A nB m-E） 6=0。由于B与B m满足同样的等式条件，所以只要得到一个H，B的等式，那么把其中的B换成B m后仍然成立。 引理得证。
下面就可以完成定理证明了。为了简洁，将不再赘述对称的式子的证明。也就是说，一旦得到了某一个式子（例如式（59）），那么它的对称式子（式（60））就自然成立。
2定理证明
使用反证法。假设群G不是幂单群。那么前面的引理都成立。所得到的式子都可用。根据式子（30），（48），（49），（50），（52），（19），（34）并利用T=F+12F 2+16F 3+124F 4，计算得：
HTHT 2HT 2H+HT 2HTHT 2H+HT 2HT 2HTH+12HT 2HT 2HT 2H=0（61）
于是根据式（14），式（61）有HT 2HTHTHT 2H=12HTHT 2HT 2HT 2H+HTHT 2HT 2HTH。再将T=F+12F 2+16F 3+124F 4代入此式中可化简左边最终得到
HT 2HTHTHT 2H=HF 2HFHFHF 2H+12HF 2HF 2HF 2HFH+14HF 3HFHFHF 3H+136HF 4HFHFHF 4H
同样，右边为
12HTHT 2HT 2HT 2H+HTHT 2HT 2HTH=HFHF 2HF 2HFH+12HFHF 2HF 2HF 2H+16HF 2HF 2HF 2HF 2H-38HF 3HF 2HF 2HF 2H-56HF 3HFHFHF 3H-116HF 4HF 2HF 2HF 2H
比较两边得到
0=（HF 2HFHFHF 2H-HFHF 2HF 2HFH）+1312HF 3HFHFHF 3H+13144HF 4HFHFHF 4H+14HF 3HF 2HF 2HF 2H
根據引理8，将这个式子中的B换做B的任意次幂仍然成立。注意到 log B m=m log B=mF，所以有
0=（HF 2HFHFHF 2H-HFHF 2HF 2HFH）m 6+1312HF 3HFHFHF 3Hm 8+13144HF 4HFHFHF 4Hm 10 +14HF 3HF 2HF 2HF 2Hm 9
于是，取不同的自然数m并根据范德蒙行列式特点和克莱姆法则可知
HF 2HFHFHF 2H-HFHF 2HF 2HFH=0（62）
HF 3HFHFHF 3H=0（63）
HF 4HFHFHF 4H=0（64）
HF 3HF 2HF 2HF 2H=0（65）
由于HF 4HFHFHF 4H=0，FF 4HFHFHF 4H=0所以根据引理5知F 4HFHFHF 4H=0。同理可得F 4HFHFHF 4=0。再根据（57）式可知
F 4HFHFHF 4=F 2HF 3HF 3HF 2=F 3HF 2HF 2HF 3=F 4HF 2HF 2HF 2=0（66）
同样，利用HF 3HF 2HF 2HF 2H=0，F 3HF 2HF 2HF 3=0以及引理5可知
F 3HF 2HF 2HF 2=0（67）
仿效式（62）～（65）的推导过程把T=F+12F 2+16F 3+124F 4代入
HT 3HTHTHT+HT 2HTHTHT 2-HTHT 2HT 2HT=-12HT 2HT 2HT 2HT（68）
化简比较两边F的次数可得
HF 3HFHFHF 3=0（69）
HF 4HFHFHF+HFHF 2HF 2HF 2=HF 2HF 2HF 2HF（70）
由于HF 3HFHFHF 3=0，所以HF 3HFHFHF 4=0。也就是HFHF 2HF 2HF 4=0。由HFHF 2HF 2HF 4=0，F 2HF 2HF 2HF 4=F 4HF 2HF 2HF 2=0以及引理5可知FHF 2HF 2HF 4=0。再根据FHF 2HF 2HF 4=0，HHF 2HF 2HF 4=0以及引理3得到HF 2HF 2HF 4=0。再考虑式（53）便有 HF 3HF 3HF 2=HF 2HF 2HF 4=0（71）
另一方面，根据式（69）和（56）有HFHF 3HF 3HF=0。再根据HFHF 3HF 3HF=0，HFHF 3HF 3HH=0以及引理5知HFHF 3HF 3H=0。对称地可以得到，HF 3HF 3HFH=0。利用HF 3HF 3HFH=0，式（71）以及引理5可知HF 3HF 3HF=0。仍然是利用引理5，结合HF 3HF 3HF=0和HF 3HF 3HH=0可得
HF 3HF 3H=0（72）
在式子（58）两侧从左边乘F，并注意到F 3HFHFHF 3=FHF 3HF 3HF=0可以得到F 4HFHFHF 2= F 3HF 2HF 2HF也就是（F 4HFHFHF-F 3HF 2HF 2H）F=0。再由（F 4HFHFHF-F 3HF 2HF 2H）H=0以及（F 4HFHFHF-F 3HF 2HF 2H）F=0和引理5可得
F 4HFHFHF=F 3HF 2HF 2H（73）
把F=T-12T 2+13T 3-14T 4代入（29）化简得
HTHT 2HT 2+HT 2HTHT 2+HT 2HT 2HT+T 2HT 2HTH+T 2HTHT 2H+THT 2HT 2H+HT 2HT 3H+HT 3HT 2H+12HT 2HT 2HT 2+12T 2HT 2HT 2H=0
利用此式以及式（9），式（14）化简T 3HTHTHT+THT 3HTHT+THTHT 3HT+THTHTHT 3：
T 3HTHTHT+THT 3HTHT+THTHT 3HT+THTHTHT 3=12THT 2HT 2HT 2+12T 3HT 2HT 2H
此结果从左边乘H并与式（68）比较得到HT 3HT 2HT 2H=0。由式（72）和式（54）有
TT 3HT 2HT 2H=T 4HT 2HT 2H=T 2HT 3HT 3H=0
于是，結合这两个结果HT 3HT 2HT 2H=0，TT 3HT 2HT 2H=0利用引理5得到
T 3HT 2HT 2H=0（74）
把式（52）、（74）代入式（15）可得T 4HTHTHT=T 3HT 2HT 2H=0。再根据引理5知T 4HTHTH=0
T 4HTHTH=0（75）
如果把代入T 4HTHTHT=T 3HT 2HT 2H=0式还可得到
F 4HFHFHF=F 3HF 2HF 2H=F 4HFHFH=0（76）
结合式（70），（76）知HFHF 2HF 2HF 2=HF 2HF 2HF 2HF。此式再结合式（76）可知HF 2HF 2HF 2HF 2=0。 结合HF 2HF 2HF 2HF 2=0以及式（67），根据引理3可得
F 2HF 2HF 2HF 2=0（77）
根据F 4HFHFH=0，的推导过程，可以对称地得到HFHFHF 4=0。于是，利用式（34）可得
HF 2HF 2HF 2HFH=HFHF 4HFHFH+HFHFHF 4HFH+HF 4HFHFHFH=0
结合此式和式（76）、（77）以及引理5可得F 2HF 2HF 2HF=0。再次使用引理5，从F 2HF 2HF 2HF=0可知F 2HF 2HF 2H=0。对称地可以得到F 2HF 2HF 2H=0。此即
F 2HF 2HF 2H=HF 2HF 2HF 2=0（78）
将此结论再代回到式（34）可得0=F 2HF 2HF 2H=F 4HFHFH+FHF 4HFH+FHFHF 4H。也就是FHF 4HFH+FHFHF 4H=0。将此式结合引理5以及式（19）就得到 HF 4HFH+HFHF 4H=0=HF 2HF 3H+HF 3HF 2H（79）
根据式（19）有F 3（HF 4H+HF 3HF+HF 2HF 2+HFHF 3）F=0，另一方面，根据式（24）、（76）有
F 3（HF 4H+HF 3HF+HF 2HF 2+HFHF 3）H=F 3HF 3HFH+F 3HF 2HF 2H+F 3HFHF 3H=F 4HFHFHF=0
根据引理5可知
F 3HF 4H+F 3HF 3HF+F 3HF 2HF 2+F 3HFHF 3=0（80）
比较式（80）与（26）可知
F 3HF 4H=F 4HF 2HF+F 4HFHF 2（81）
类似地，利用式（1）、（15）、（7）、（75）可得
T 3HT 4H=T 4HT 2HT+T 4HTHT 2（82）
由于 （A nB-E） 6=0，也就是说 （A nAB-E） 6=0。记AB-E=N则运用推导（1）～（4）的方法可得N 4HN 5+N 5HN 4=0，N 5HN 5=0。 用类似地方式讨论 （A nA kB-E） 6=0則可得到类似的式子，于是有
0=（T 2HT 2+THT 3+T 3HT）H（T 2HT 2+THT 3+T 3HT）k 2+[（T 2HT 2+THT 3+T 3HT）H（T 2HTHT+THT 2HT+THTHT 2+T 2HTH+THT 2H+THTHT）+（T 2HTHT+THT 2HT+THTHT 2+HT 2HT+HTHT 2+THTHT）H（T 2HT 2+THT 3+T 3HT）]k 3+（T 2HTHT+THT 2HT+THTHT 2+HT 2HT+HTHT 2+THTHT）·H·（T 2HTHT+THT 2HT+THTHT 2+T 2HTH+THT 2H+THTHT）k 4
依次取不同的k，利用范德蒙行列式以及克莱姆法则就得到
（T 2HT 2+THT 3+T 3HT）H（T 2HT 2+THT 3+T 3HT）=0（83）
（T 2HT 2+THT 3+T 3HT）H（T 2HTHT+THT 2HT+THTHT 2+T 2HTH+THT 2H+THTHT）+（T 2HTHT+THT 2HT+THTHT 2+HT 2HT+HTHT 2+THTHT）H（T 2HT 2+THT 3+T 3HT）=0（84）
其中k 4的系数项为零已经涵盖在前面的各个式子之中顾不列出。
式（83）左乘T并用式（1）、（75）化简可得
T 4HTHT 2HT 2+T 4HTHT 3HT=0（85）
同样，从式（84）可以化简出
T 3HT 2HTHTHT+THTHTHT 2HT 3=0（86）
式（86）右乘T 2得到T 3HT 2HTHTHT 3=0，结合式（68）右乘T以及式（78）可得T 3HT 3HTHTHT 2=0。根据引理5可知T 3HT 3HTHTHT=0进而
T 3HT 3HTHTH=0（87）
把T=F+12F 2+16F 3+124F 4代入（83）中化简后的结果就是把（83）中T换成F。因此可以得到
F 4HFHF 2HF 2+F 4HFHF 3HF=0（88）
把T=F+12F 2+16F 3+124F 4代入（86）中化简后得
F 3HF 2HFHFHF+FHFHFHF 2HF 3-12（F 3HF 3HFHFHF+FHFHFHF 3HF 3）=0
根据引理8，把此式中F换成2F仍然成立。即有
F 3HF 2HFHFHF+FHFHFHF 2HF 3-（F 3HF 3HFHFHF+FHFHFHF 3HF 3）=0 所以有F 3HF 2HFHFHF+FHFHFHF 2HF 3=F 3HF 3HFHFHF+FHFHFHF 3HF 3=0。于是得到了与（86），（87）对应的式子
F 3HF 2HFHFHF+FHFHFHF 2HF 3=F 3HF 3HFHFH=0（89）
利用式（22），式（76）和式（89）可以得到
（F 3HF 3HFHF 2+F 3HF 3HF 2HF）H=F 3HF 3HFHF 2H+F 3HF 3HF 2HFH=-F 3HF 3HFHFHF-F 3HF 4HFHFH=0
另一方面利用式（72），式（80）和式（48）可以得到
（F 3HF 3HFHF 2+F 3HF 3HF 2HF）F=F 3HF 3HFHF 3+F 3HF 3HF 2HF 2=F 3HF 3HFHF 3+F 3HF 3HF 3HF+F 3HF 3HF 2HF 2=F 3HF 3HF 4H=0
利用这两个式子结合引理5就得到F 3HF 3HFHF 2+F 3HF 3HF 2HF=0。再结合式（89）以及引理5即得
F 3HF 3HFHF+F 3HF 3HF 2H=0（90）
類似地推导也可以得到
T 3HT 3HTHT+T 3HT 3HT 2H=0（91）
把T=F+12F 2+16F 3+124F 4代入式（91）中化简后得
12（F 3HF 3HFHF 2+F 3HF 3HF 2HF）+112F 3HF 3HF 2HF 2+124F 3HF 3HF 2HF 3=0
根据引理8，这个式子中的F换成3F，2F仍然成立。因此利用范德蒙行列式以及克莱姆法则可知
F 3HF 3HFHF 2+F 3HF 3HF 2HF=F 3HF 3HF 2HF 2=F 3HF 3HF 2HF 3=0（92）
根据式（92），式（78）可知FF 2HF 3HF 2HF 2=HF 2HF 3HF 2HF 2=0。此结果结合引理5就有
F 2HF 3HF 2HF 2=0（93）
看式（89）：F 3HF 2HFHFHF+FHFHFHF 2HF 3=0。右乘F得F 3HF 2HFHFHF 2+FHFHFHF 2HF 4=0。
利用式（18），（76）以及（89）后面的等号部分得FHFHFHF 2HF 4=-FHFHFHF 3HF 3-FHFHFHF 4HF 2=0（这里用的是对称的式子）。因此有F 3HF 2HFHFHF 2=0。接下来使用推导式（87）式的方法，连续使用引理5就得到
F 3HF 2HFHFH=0（94）
同样，利用式（86），（87）等式子可以类似地推导出T 3HT 2HTHTH=0。把T=F+12F 2+16F 3+124F 4代入T 3HT 2HTHTH=0中化简并与式（93）比较得到F 3HF 2HFHF 2H=0。再结合式（30），（78）可得
F 3HFHF 2HF 2H=0（95）
F 3HFHF 2HF 2H=0因此F 2HFHF 3HF 2H+FHFHF 4HF 2H=0也就是FHFHF 2HF 3H=HFHF 4HF 2H。同理还有HF 3HF 2HFHF=HF 2HF 4HFH。利用（80）、（81）F 3HF 4H=F 4HF 2HF+F 4HFHF 2，F 3HF 4H+F 3HF 3HF+F 3HF 2HF 2+F 3HFHF 3=0这两个式子以及F 2HF 2HF 2=F 3HF 3H+HF 3HF 3得到HF 4HF 2HF 3=HF 3HF 4HF 2=（F 2HF 2HF 2-F 3HF 3H）FHF 2=-F 3HF 3HFHF 2。也就是 HF 4HF 2HF 3+F 3HF 3HFHF 2=0。
注意到右邊去掉F换做H仍然是0，因此有HF 4HF 2HF 2+F 3HF 3HFHF=0 。另一方面，HF 4HF 2HF 2=HF 3HF 4HF=F 2HF 2HF 3HF-F 3HF 3HFHF。比较就发现F 2HF 2HF 3HF=0。进而由引理5可知F 2HF 2HF 3H=0。此结果代回到（80）中HF 3HF 4H=HFHF 3HF 3。于是HF 3HF 4HF 2=0。由引理8知F 3HF 4HF 2=0。如此一来，反复使用引理8就有F 2HF 2HF 2=0。那么就有F 3HF 3H+HF 3HF 3=0。那么F 2HF 3HF 3=0。再看到F 2HF 2HF 3H=0，就有F 2HF 3HF 2=0进而F 2HF 4HF 2=0。代入到（88）F 4HFHF 2HF 2+F 4HFHF 3HF=0中就有F 4HFHF 3=0，再用（25）式可得F 4HF 3HF=0。连续使用引理8得到F 4HF 3=0，并进而是F 3HF 3=0。
在这种情况下，F 3HF 2HFH，F 3HF 2HFHF，F 3HF 2HFHF 2，F 3HF 2HFHF 3，F 3HF 2HFHF 4生成维数不超过5维的，A，B的公共不变子空间。根据引理4知此空间为0，因此F 3HF 2HFH=0。连续使用引理8可得到F 3HF 2=0。一直推导发现F 4=0（此时群是幂单的）。矛盾。
定理得证。
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