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摘 要：集合论作为现代数学的基石，在几乎所有数学领域都有其身影。实变函数论在本科数学专业中对集合论的研究最为详细，尤其是对集合基数的讨论是其他专业课程没有涉及的。正是在此问题中，我们看到了集合最本质但是又与我们直觉最相悖的性质结果，从而凸显出数学学科的抽象性与逻辑性。
关键词：实变函数;集合;基数
中圖分类号：G642.3;O174 文献标识码：A 收稿日期：2019-04-02 文章编号：1674-120X（2019）20-0107-02
集合论作为现代数学的基石，已经渗透到数学的所有领域。集合论主要研究的是集合的结构、运算及性质。从Cantor在19 世纪七八十年代首先创立集合论后，经过一百年的发展，其理论越来越完善，越来越严密。
一、集合论的表示
实变函数作为分析数学的一个分支，仍然研究的是函数的三大分析性质，包括函数的连续性、可微性、可积性。在学习集合的表示中，我们会发现这并不是一个基本而简单的问题。通过集合可以刻画函数的有界性、极限的存在性、连续性。
在实变函数中，将集合的运算从有限个集合推广到无限个集合、任意个集合，其结果发生了质的改变。
单调递增的闭区间列的并集变成了一个开区间，而单调递减的开区间列的交集变成了一个开区间。类似于数列的上、下极限，集合论中引入了集合列的上、下极限，进一步定义了集合列的极限，并且得到了与单调有界数列有极限类似的结果：单调集合列有极限。
例3 ： 如果是一列单调递增的集合列，则。而可以看作是的“上确界”，也就是包含每个集合An的最小集合。
如果是一列单调递增的集合列，则。而可以看作是的“下确界”，也就是包含在每个集合的最大集合。
这个结论是集合测度论的重要基础之一。
二、集合基数
在对集合性质的研究过程中，我们必须回答其中最为根本的问题：集合元素的个数。从有限集元素的个数到无限集的基数的比较，使学生对数的认识既是一个颠覆又是一个飞跃。在关于无限集基数的讨论中，会发现存在着与其基数相等的真子集。这种情况在有限集的情形下绝不可能发生，而这正是有限集与无限集最本质的区别。自然数集与偶数集、奇数集的基数相同，那么意味着在偶数集中加入无限多个奇数后并没有改变集合中元素的个数。这对学生的理解来说是一种冲击，同时也意味着将有限数的加法推广到无穷大的加法中，完全可能出现两个相同的无穷大相加得到的仍是同一个无穷大。另外还有一个典型的例子：任何一个半圆周上的点与其直径上的点个数一样。而几何知识告诉我们：两点距离直线段最短。上例中半圆周的长度显然大于直径。那么综上两个结果，我们可以得到一个结论：曲线的长度与其上点的个数没有必然的关系。这与我们的直觉相悖。我们的直观感知会告诉我们：曲线的点越多，长度越长，反之亦然。
例4： 孤立点集的勒贝格测度为零。
由这个结论可知，自然数集、整数集合、有理数点集这些经典的可数集的测度为零，那么利用勒贝格测度的可加性可得，无理数集的测度跟整个实数集的测度相同。
例5： Cantor三分集的勒贝格测度为零。
Cantor三分集是一个完备集（无孤立点的闭集），是一个不可数集。通过其经典构造，我们可以证明这是一个不可数集，但是其测度仍然为零。
例6：
关键词：实变函数;集合;基数
中圖分类号：G642.3;O174 文献标识码：A 收稿日期：2019-04-02 文章编号：1674-120X（2019）20-0107-02
集合论作为现代数学的基石，已经渗透到数学的所有领域。集合论主要研究的是集合的结构、运算及性质。从Cantor在19 世纪七八十年代首先创立集合论后，经过一百年的发展，其理论越来越完善，越来越严密。
一、集合论的表示
实变函数作为分析数学的一个分支，仍然研究的是函数的三大分析性质，包括函数的连续性、可微性、可积性。在学习集合的表示中，我们会发现这并不是一个基本而简单的问题。通过集合可以刻画函数的有界性、极限的存在性、连续性。
在实变函数中，将集合的运算从有限个集合推广到无限个集合、任意个集合，其结果发生了质的改变。
单调递增的闭区间列的并集变成了一个开区间，而单调递减的开区间列的交集变成了一个开区间。类似于数列的上、下极限，集合论中引入了集合列的上、下极限，进一步定义了集合列的极限，并且得到了与单调有界数列有极限类似的结果：单调集合列有极限。
例3 ： 如果是一列单调递增的集合列，则。而可以看作是的“上确界”，也就是包含每个集合An的最小集合。
如果是一列单调递增的集合列，则。而可以看作是的“下确界”，也就是包含在每个集合的最大集合。
这个结论是集合测度论的重要基础之一。
二、集合基数
在对集合性质的研究过程中，我们必须回答其中最为根本的问题：集合元素的个数。从有限集元素的个数到无限集的基数的比较，使学生对数的认识既是一个颠覆又是一个飞跃。在关于无限集基数的讨论中，会发现存在着与其基数相等的真子集。这种情况在有限集的情形下绝不可能发生，而这正是有限集与无限集最本质的区别。自然数集与偶数集、奇数集的基数相同，那么意味着在偶数集中加入无限多个奇数后并没有改变集合中元素的个数。这对学生的理解来说是一种冲击，同时也意味着将有限数的加法推广到无穷大的加法中，完全可能出现两个相同的无穷大相加得到的仍是同一个无穷大。另外还有一个典型的例子：任何一个半圆周上的点与其直径上的点个数一样。而几何知识告诉我们：两点距离直线段最短。上例中半圆周的长度显然大于直径。那么综上两个结果，我们可以得到一个结论：曲线的长度与其上点的个数没有必然的关系。这与我们的直觉相悖。我们的直观感知会告诉我们：曲线的点越多，长度越长，反之亦然。
例4： 孤立点集的勒贝格测度为零。
由这个结论可知，自然数集、整数集合、有理数点集这些经典的可数集的测度为零，那么利用勒贝格测度的可加性可得，无理数集的测度跟整个实数集的测度相同。
例5： Cantor三分集的勒贝格测度为零。
Cantor三分集是一个完备集（无孤立点的闭集），是一个不可数集。通过其经典构造，我们可以证明这是一个不可数集，但是其测度仍然为零。
例6：