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贵州省松桃县普觉镇 （554100）
如图1-1所示在△ABC中，D是BC的中点,MD丄ND,MD交AB于M,ND交AC于N,
求证:BM+CN＞MN
1.把题目中不确定条件特殊化，研究结论变化由于本题中△ABC的形状是不确定的，不妨把△ABC指定成更具体的直角三角形，如果令∠A=90?于是有：
拓展1 如图1-2所示，在直角△ABC中∠A=90°，D是BC的中点,MD丄ND,MD交AB于M,ND交AC于N,那么问题1中结论还成立吗？BM、CN、MN间是否有新的关系呢？可以证明BM、CN、MN间不但具有问题1中结论，还有BM2+CN2=MN2 这一新关系。
证明：将△DNC绕D点顺时针旋转180?到△DEB位置，易知∠MBE=90°，BE=CN，从而EM2=BM2+BE2=BM2+CN2。又因为DN=DE（由旋转知）、∠MDN=90°，所以EM=NM。综上所述，NM2=BM2+CN2。
当直角△ABC进一步祥化为等腰直角三角形时，拓展1中新结论仍然对吗？
拓展2 如图1-3所示，在直角△ABC中∠A=90°，AB=AC，D是BC的中点,MD丄ND,MD交AB于M,ND交AC于N,求证：BM2+CN2=MN2 （显然成立）。另有：AM=CN，BM=AN 。
证明：令BM=x、AN=y、AB=AC=a，则AM=(a-x)、CN=(a-y)，由拓展1知：NM2=BM2+CN2=x2+（a-y）2，又在直角△AMN中有NM2= AM2+AN2=(a-x)2+y2，故有x2+（a-y）2=(a-x)2 +y2，化得2a(x-y)=0即x=y。因此AM=CN，BM=AN 。
2.改变题目中确定条件的大小，研究结论变化在问题1拓展1、2 中，∠D是个有确定大小的条件，如果∠D≠90°，很明显此时BM、CN、MN间关系变的复杂且无研究的意义了。但是，如果把AB、AC大小确定为：AB=AC，并且取 ∠D=180°-∠A ，如图1-4所示，于是得到新命题：
拓展3 在△ABC中∠D=180°-∠A，AB=AC，D是BC的中点,绕D点旋转∠D使∠D的两边与AB、AC分别相交于点M、N，则恒有：DM=DN。另有：无论如何旋转∠D，都有四边形AMDN的面积不变。
证明：过D点作DE丄AB、DF丄AC，则∠EDF=180° -∠A。由于AB=AC， D是BC的中点，所以AD是∠A的平分线，故DE=DF。又∠D=180°-∠A，所以∠EDF=∠D，因此∠EDM=∠FDN，于是△EDM≌△FDN，所以DM=DN，四边形AMDN面积恒等于四边形AEDF面积。
3.改变题目中确定条件的位置，研究结论变化在拓展3中考虑“D是BC的中点”，是一个具有一定位置的确定条件，纵览拓展3，不妨把D点条件变为“D是∠A的平分线上一点”于是便有更一般命题：
拓展4 如图1-5，在△ABC中∠ D=180°-∠ A，D是∠A的平分线上一点，绕D点旋转∠D使∠D的两边与AB、AC分别相交于点M、N，则恒有：DM=DN。证明略。
发现：经过上述一番拓展、探求，在深思熟虑后笔者得到一个很有用命题：
新命题：如图1-6， D点为∠A平分线上任意一点，以D点为顶点有大小两个角，它们都绕D点旋转，使角的两边与∠A两边分别相交，如果∠EDF+∠A=180°且∠MDN=1/2∠EDF，那么EM+NF=MN。
证明：如图1-6所示， 过D点作∠EDB=∠NDF，使DB与AE相交于点B，显然此时∠BDN=∠EDF。又由于∠EDF+∠A=180°，故∠BDN+∠A=180°，从而由问题1拓展4易得：DB=DN、DE=DF，因此△NDF≌△BDE，所以BE=NF。根据∠MDN=1/2∠EDF、∠EDB=∠NDF知∠BDM=∠NDM又由DB=DN易证△BDM≌△NDM，所以BM=NM进而有EM+NF=MN。
拓展在中考中应用举例：
例1（中考题）如图2-1所示，已知O为正方形ABCD的中心，在中心O处悬挂着一个足大的四分之一圆，如果BM=2cm、BN=3cm，那么四边形OMBN面积是。
转扇形，四边形OMBN的面积恒不变，于是四边形面积等于特殊情况下：ON丄BC、OM丄AB时的面积，而此时四边形OMBN是一个正方形，等于正方形ABCD面积的1/4，因而四边形OMBN的面积为：1/4×52 =25/4（CM2 ）。
（2006旅顺口）如图2-2，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于M、N两点，连结MN。探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。很显然，这道中考题仅仅是我们所得新命题的一个特例，这里不再赘述。
在阶段性复习或中考复习的教学中，适当对问题进行延伸、拓展，既在面上拓宽了知识点间的横向联系，又在深度上延伸了知识的纵向认识，同时有利于培养学生的综合能力、探究意识，变孤立题目或单个题目的教学为一类问题的学习。一方面起到举一反三、完善知识结构、梳理知识网络的作用，另一方面培养了学生创新能力和敢于猜想、勇于探索的创新精神，增强了学生学习兴致，激发了学生求知欲，提高了学生探究能力。开拓学生视野、丰富学生思维，实现“不同人学不同数学”，体现“不同人在数学上得到不同发展”，凸现从“被动”接受式学习向“主动”探究性学习转变。波利亚指出：“学习任何东西，最好途径是自已去发现”，把问题延伸拓展，是获取并发现新知的一个重要而有效的途径。唯此才能把学生从“题海”的“重复学习”和“游离学习”中走出来，真正实现学生的课业“解放”、“零负担”，让轻松学习成为现实而不再是“奢望”，踏上人才培育的康庄大道。
如图1-1所示在△ABC中，D是BC的中点,MD丄ND,MD交AB于M,ND交AC于N,
求证:BM+CN＞MN
1.把题目中不确定条件特殊化，研究结论变化由于本题中△ABC的形状是不确定的，不妨把△ABC指定成更具体的直角三角形，如果令∠A=90?于是有：
拓展1 如图1-2所示，在直角△ABC中∠A=90°，D是BC的中点,MD丄ND,MD交AB于M,ND交AC于N,那么问题1中结论还成立吗？BM、CN、MN间是否有新的关系呢？可以证明BM、CN、MN间不但具有问题1中结论，还有BM2+CN2=MN2 这一新关系。
证明：将△DNC绕D点顺时针旋转180?到△DEB位置，易知∠MBE=90°，BE=CN，从而EM2=BM2+BE2=BM2+CN2。又因为DN=DE（由旋转知）、∠MDN=90°，所以EM=NM。综上所述，NM2=BM2+CN2。
当直角△ABC进一步祥化为等腰直角三角形时，拓展1中新结论仍然对吗？
拓展2 如图1-3所示，在直角△ABC中∠A=90°，AB=AC，D是BC的中点,MD丄ND,MD交AB于M,ND交AC于N,求证：BM2+CN2=MN2 （显然成立）。另有：AM=CN，BM=AN 。
证明：令BM=x、AN=y、AB=AC=a，则AM=(a-x)、CN=(a-y)，由拓展1知：NM2=BM2+CN2=x2+（a-y）2，又在直角△AMN中有NM2= AM2+AN2=(a-x)2+y2，故有x2+（a-y）2=(a-x)2 +y2，化得2a(x-y)=0即x=y。因此AM=CN，BM=AN 。
2.改变题目中确定条件的大小，研究结论变化在问题1拓展1、2 中，∠D是个有确定大小的条件，如果∠D≠90°，很明显此时BM、CN、MN间关系变的复杂且无研究的意义了。但是，如果把AB、AC大小确定为：AB=AC，并且取 ∠D=180°-∠A ，如图1-4所示，于是得到新命题：
拓展3 在△ABC中∠D=180°-∠A，AB=AC，D是BC的中点,绕D点旋转∠D使∠D的两边与AB、AC分别相交于点M、N，则恒有：DM=DN。另有：无论如何旋转∠D，都有四边形AMDN的面积不变。
证明：过D点作DE丄AB、DF丄AC，则∠EDF=180° -∠A。由于AB=AC， D是BC的中点，所以AD是∠A的平分线，故DE=DF。又∠D=180°-∠A，所以∠EDF=∠D，因此∠EDM=∠FDN，于是△EDM≌△FDN，所以DM=DN，四边形AMDN面积恒等于四边形AEDF面积。
3.改变题目中确定条件的位置，研究结论变化在拓展3中考虑“D是BC的中点”，是一个具有一定位置的确定条件，纵览拓展3，不妨把D点条件变为“D是∠A的平分线上一点”于是便有更一般命题：
拓展4 如图1-5，在△ABC中∠ D=180°-∠ A，D是∠A的平分线上一点，绕D点旋转∠D使∠D的两边与AB、AC分别相交于点M、N，则恒有：DM=DN。证明略。
发现：经过上述一番拓展、探求，在深思熟虑后笔者得到一个很有用命题：
新命题：如图1-6， D点为∠A平分线上任意一点，以D点为顶点有大小两个角，它们都绕D点旋转，使角的两边与∠A两边分别相交，如果∠EDF+∠A=180°且∠MDN=1/2∠EDF，那么EM+NF=MN。
证明：如图1-6所示， 过D点作∠EDB=∠NDF，使DB与AE相交于点B，显然此时∠BDN=∠EDF。又由于∠EDF+∠A=180°，故∠BDN+∠A=180°，从而由问题1拓展4易得：DB=DN、DE=DF，因此△NDF≌△BDE，所以BE=NF。根据∠MDN=1/2∠EDF、∠EDB=∠NDF知∠BDM=∠NDM又由DB=DN易证△BDM≌△NDM，所以BM=NM进而有EM+NF=MN。
拓展在中考中应用举例：
例1（中考题）如图2-1所示，已知O为正方形ABCD的中心，在中心O处悬挂着一个足大的四分之一圆，如果BM=2cm、BN=3cm，那么四边形OMBN面积是。
转扇形，四边形OMBN的面积恒不变，于是四边形面积等于特殊情况下：ON丄BC、OM丄AB时的面积，而此时四边形OMBN是一个正方形，等于正方形ABCD面积的1/4，因而四边形OMBN的面积为：1/4×52 =25/4（CM2 ）。
（2006旅顺口）如图2-2，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于M、N两点，连结MN。探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。很显然，这道中考题仅仅是我们所得新命题的一个特例，这里不再赘述。
在阶段性复习或中考复习的教学中，适当对问题进行延伸、拓展，既在面上拓宽了知识点间的横向联系，又在深度上延伸了知识的纵向认识，同时有利于培养学生的综合能力、探究意识，变孤立题目或单个题目的教学为一类问题的学习。一方面起到举一反三、完善知识结构、梳理知识网络的作用，另一方面培养了学生创新能力和敢于猜想、勇于探索的创新精神，增强了学生学习兴致，激发了学生求知欲，提高了学生探究能力。开拓学生视野、丰富学生思维，实现“不同人学不同数学”，体现“不同人在数学上得到不同发展”，凸现从“被动”接受式学习向“主动”探究性学习转变。波利亚指出：“学习任何东西，最好途径是自已去发现”，把问题延伸拓展，是获取并发现新知的一个重要而有效的途径。唯此才能把学生从“题海”的“重复学习”和“游离学习”中走出来，真正实现学生的课业“解放”、“零负担”，让轻松学习成为现实而不再是“奢望”，踏上人才培育的康庄大道。