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古人云：“人非圣贤，孰能无过？”更何况中小学生呢！在小学数学教学活动中，学生出错是屡见不鲜、极为正常的事情。教育专家成尚荣说过：“我们的教室就是一个允许学生出错的地方。出错了，课堂才能生成，也正是在‘出错’和‘改错’的探究过程中，课堂才是最活的，教学才是最美的，学生的生命才是最有价值的。”倘若在课堂教学中，学生没有出现一丁点儿错，那是很不正常的;太完美了，只会让人觉得教师是在弄虚作假，是作秀。认知心理学派认为：错误是学习的必然产物，学生的知识背景、思维方式、情感体验、表达形式往往和成人截然不同，他们在学习过程中出现各种各样的错误是十分正常的。而如果教师在课堂教学中，没能发现学生的错误，或者无视、忽视学生的错误，那么就会犯一个严重的错误——浪费了宝贵的教学资源。这是与《数学课程标准》的要求相悖而行。在当今数学课堂教学中，这种现象仍屡屡存在，值得警醒！
转变观念，正确对待
学生在课堂教学中出现错误，是客观存在的，是学习活动中必然的产物，是非常正常的一种现象。教师该采取怎样的态度对待呢？教师的态度又会给学生带来怎样的后果呢？在现实数学课堂教学中，还是看到以下几种情况：
怕出错，课堂成了“几人堂” 有的老师认为：课堂教学，如果一路畅通无阻，学生不出现意外学习状况，师生对答如流、配合默契，顺利完成教学任务，那就是一堂精彩的课。这种情况在公开课、竞赛课中尤为突出。一些教师为了避免学生出错，害怕教学中出现预料不及的差错，以免造成尴尬的局面，影响正常的教学程序，打乱自己的教学思路，降低课的质量，往往把几十人的课堂中，变成了“几人堂”，精彩的对答只是在老师和几个优秀生之间进行，而把更多需要关注的学生置之度外。“外行看热闹，内行看门道”，理性的老师都清楚，这样的“精彩”课堂的背后，是“表演”，是“炒冷饭”。
批出错，伤害学生自尊心 英国心理学家贝恩布里奇说：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。”有的教师非但没有挖掘其可利用的资源、有价值的成分，反而采取简单甚至粗鲁的方式对待学生的错误，那就更不可原谅了。例如：听一位老师的课，某学生的回答错误，与老师期待的答案相差甚远，这位老师也就没理会他，把他晾在了一边，继续指名其他学生回答，以便尽快得到预设的答案。而该同学因为没有得到老师的许可，依然站着，一脸尴尬，坐也不是，站也不是。笔者正好坐在该学生旁边，就示意他坐下。确实，有的老师对期待的回答，满心欢喜溢于言表，倍加赞许。而对不满意的回答，则态度冷漠，忽视学生的成果。同样坐下，前者用“请坐”，后者用“坐下”，甚至还能听到粗鲁的“笨蛋”“傻瓜”“你笨的像头猪”等之类的话语。
所谓“亲其师而信其道”，在课堂教学活动中，师生之间要营造一种民主、和谐、愉悦的氛围，教师要善于通过各种手段和方法创设一个互相尊重、理解、宽容的学习环境，学生才会对老师产生亲近感。也只有在这样的氛围和环境中，学生的思维才是最活跃的，学生的情感才得以舒展，个性得到张扬，创造性思维得以发挥。学生的错误也是一种思维的成果，是参与探究的一个标志。简单甚至粗鲁地对待，不仅会使学生的学习兴趣、学习积极性和主动性锐减，而且会使学生丧失学好数学的信心，会严重挫伤学生的自尊心。教学实践表明：宽容的教育氛围有利于学生的全面成长和个性发展，教师要宽容、理性地对待学生的错误。不要轻易否定，要肯定学生的积极参与，用鼓励的语言去评判。
运用机智，挖掘价值
心理学家盖耶认为：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻。”在数学课堂教学中，对于学生在学习过程中出现的这样或那样的错，教师要有一颗宽容的心，采取正确的态度对待，包容学生的错误。不仅仅局限于此，更为重要的是要运用教学机智，抓住这个教学契机，用敏锐的眼光和过人的智慧，去发现和挖掘学生错误中有价值的因素，加以利用，使之成为课堂教学中的宝贵资源。那么，教师在课堂教学中该如何做呢？
预见错误，培养内省之心 “年年岁岁花相似，岁岁年年花不同”。同样的教学内容，当下一次进行教学时，有经验的教师，会根据前一班学生学习的情况和教师的教学反思，对教案会做出调整，进一步优化教学设计。其中，针对学生在学习过程中，可能出现的一些违反教学结论或数学方法的现象，进行预测，设计一些学生容易“上当”的练习。例如：教学乘法和加减法混合运算时（除法和加减法混合运算），学生虽然知道了“先算乘除法，后算加减法”的计算法则，但在实际计算800-200÷50时，还是会有部分学生先算800-200，然后再计算600÷50;在计算50 50×3时也是如此。当一个算式中只有同一级运算时，比如计算60÷4×5，学生往往会先计算乘法，再计算除法，因为“先乘除”，“乘”字在前面，所以先做乘法，后做除法的;同样计算61-45 5时，学生往往会先做加法，后做减法。又如：学习了简便计算后，口算25×4÷25×4，学生计算的结果等于1;受乘法分配律的干扰，计算480÷（4 8）时，会写成480÷4 480÷8。再如：学习了计算长方形的面积后，设计以下练习：“张大伯家有一块菜地，长50分米，宽40分米，面积是多少平方米？”“一个长方形花圃长14米，宽10米。如果沿花圃四周修一条宽1米的小路。小路的面积有多少平方米？”教师预见学生的错误，通过设计一些学生容易出错的题，让学生“上当”，在正确与错误的相互论证当中，“吃一堑，长一智”，不断促进学生内省能力的培养。
挖掘错误，建构自主意识 叶澜教授在《重建课堂教学过程》一文中提到：“学生在课堂活动中的状态，包括他们的学习兴趣、注意力、合作能力、发表的意见和观点、提出的问题与争论乃至错误的回答等，都是教学过程中的生成性资源。”当学生在课堂上出现错误时，教师要充分利用教学机智，捕捉住瞬间即逝的教学契机，挖掘学生错误回答中的有价值的东西，转化成教学的宝贵资源。学生的错误不是能够依靠老师的正面示范和反复练习而进行纠正的，而是需要通过引导学生自主探究的过程，进行反复思辨、自我否定，从而使认知结构达到新的平衡。例如：在用简便方法计算537-98时，笔者发现有以下几种做法：①537-100-2;②537-（100 2）;③537-100 2;④537-（100-2）。笔者没有直接做出判断，而是引导学生展开辩论，可以选择自己有把握的发表意见。 生1：我认为第②种是错的！因为按照第②种的做法，根据计算顺序，应先算小括号里的100 2=102，那么就变成537里面减去102，而原题537里面减去98，多减了4，与原题不符，所以肯定错了！
生2：我也赞成！我计算了一下，从结果来看也不相等，说明有问题了。
（前一位学生的发言思路清晰，表达通顺，富有道理;加上后一位学生的补充，从两个角度来论证，理由更充分，得到全班学生的赞同。）
生3：我觉得第④种是正确的。因为根据刚才第②种的算法，同样先算小括号里面的100-2=98，就得到537-98，而原题也是537-98，大家都是537-98。我认为结果肯定相等，所以第④种是正确的。
生4：我认为第③种是对的。因为按照运算顺序，先算537-100，而原题是537-98，537里面多减了2，所以要补给它，就是再加上2，符合原题。而且我也计算过了，结果相等。所以我认为是对的。
生5：我认为第①种是错的。因为537里面先减去100，再减去2，相当于减去了102了，而原题是537里面只要减掉98，也多减了4，所以错了。
看似简单的一题，迸发出那么多智慧的火花，课堂变得生机勃勃。捕捉学生的错误，变不利因素为有效资源，在学生自我反思的过程中，知其然，更知其所以然，数学思维得到进一步发展。
客观评价，尊重学生 在教学中，笔者常常针对学生出现的错误，进行客观评价。充分利用有价值的因素，展开讨论、辩论，引导学生自我探究、自我否定，从而进一步达到认知平衡，使学生树立学好数学的信心。努力营造一个民主、平等、和谐的学习环境，尊重出错的学生，并努力让他的“错”闪光，转化为宝贵的教学资源，使学生不仅不以“错”为耻，而且还以“错”为荣，是一种贡献，给课堂增添了活力、生机，从而更积极、主动地投入到数学学习活动中。
设置错误，提升认知
教师要善于发现学生错误，加以合理利用，转化为教学资源。而且，有时还可故意设置错误，引发学生认知上的冲突，进一步增强学生求知的欲望，激发学习的兴趣，主动参与到学习探究活动中。
例如：在教学《三角形的认识》时，笔者事先布置学生回家用塑料吸管分别做成10厘米、5厘米和4厘米三根吸管，然后用线依次首尾相连，穿成一个三角形面，而且需要人人动手完成，可以和父母共同参与。在学生已有的经验当中，三角形早就不是陌生的了。在他们的头脑中，三角形就是有三个角，有三条线段，首尾相连的。他们甚至觉得，只要有三条线段，就一定能围成一个三角形的。借用学生的这种认知定式，笔者就预先布置了以上这个作业，完全就是设置了一个错误。第二天数学课上，当教学这部分内容时，再请学生拿出完成的作品，顿时像炸开了锅，有的学生“义愤填膺”，满脸上当后的不满;有的一脸窘态，拿出一个扇形形状的;有的拿出一个开口的三角形形状的;也有居然做成功的……这正是笔者预想的效果！请学生分类展示，集体讨论：
①扇形形状的。
生1：所围成的这个面不是三角形，因为三条线段中，两条是直的，一条是弯的，不具备三角形三条线段都是直的这个特征。
②开口的形状的。
生2：三角形有三个角，现在只有两个角，所以也不是三角形。
生3：三角形三条线段是依次首尾相连的（围成），要封闭的。它有开口，所以不是三角形。
③围成的三角形面的。
生4：老师给我们挡上了，所以我把10厘米的剪成了6厘米的这样就能做成。（根据学生回答板书数据）
生5：我把5厘米的换成了8厘米的，也可以围成三角形面。（根据回答板书）
生6：我把4厘米的换成了7厘米的，也能围成。
师：那为什么会这样呢？为什么10厘米、5厘米和4厘米的不能围成三角形，而6厘米、5厘米和4厘米能行？10厘米、8厘米和4厘米的也能行？10厘米、5厘米和7厘米的也能行呢？这里到底蕴藏着什么规律呢……
下面的教学，笔者引导学生根据这些数据进行规律的探索，最后不仅得出三角形每两边之和必须大于第三边，而且还在此基础上更进一步，得出三角形两短边之和必须大于第三边！明知是个错误，还故意如此设置，合理利用错误这个宝贵资源，引起学生认知上的冲突、思维上的碰撞，激发学生对新知的渴求，提高学习兴趣和学习积极性，让学生经历观察、推测、分析、判断、总结等整个探究活动，促进学生思维的发展，体验获得成功的喜悦，培养学生的创新意识。同时也使课堂变得更真更实，使教学更加灵动。
参考文献
[1]郑毓信.国际视角下的小学数学教育[M].北京：人民教育出版社，2004
[2]王兆正.以学为核心，构建新型课堂关系——基于“颠倒课堂”理念的小学数学课堂转型[J].小学教学研究（理论版），2015（6）.
（作者单位：江苏省苏州市吴中区西山中心小学）
转变观念，正确对待
学生在课堂教学中出现错误，是客观存在的，是学习活动中必然的产物，是非常正常的一种现象。教师该采取怎样的态度对待呢？教师的态度又会给学生带来怎样的后果呢？在现实数学课堂教学中，还是看到以下几种情况：
怕出错，课堂成了“几人堂” 有的老师认为：课堂教学，如果一路畅通无阻，学生不出现意外学习状况，师生对答如流、配合默契，顺利完成教学任务，那就是一堂精彩的课。这种情况在公开课、竞赛课中尤为突出。一些教师为了避免学生出错，害怕教学中出现预料不及的差错，以免造成尴尬的局面，影响正常的教学程序，打乱自己的教学思路，降低课的质量，往往把几十人的课堂中，变成了“几人堂”，精彩的对答只是在老师和几个优秀生之间进行，而把更多需要关注的学生置之度外。“外行看热闹，内行看门道”，理性的老师都清楚，这样的“精彩”课堂的背后，是“表演”，是“炒冷饭”。
批出错，伤害学生自尊心 英国心理学家贝恩布里奇说：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。”有的教师非但没有挖掘其可利用的资源、有价值的成分，反而采取简单甚至粗鲁的方式对待学生的错误，那就更不可原谅了。例如：听一位老师的课，某学生的回答错误，与老师期待的答案相差甚远，这位老师也就没理会他，把他晾在了一边，继续指名其他学生回答，以便尽快得到预设的答案。而该同学因为没有得到老师的许可，依然站着，一脸尴尬，坐也不是，站也不是。笔者正好坐在该学生旁边，就示意他坐下。确实，有的老师对期待的回答，满心欢喜溢于言表，倍加赞许。而对不满意的回答，则态度冷漠，忽视学生的成果。同样坐下，前者用“请坐”，后者用“坐下”，甚至还能听到粗鲁的“笨蛋”“傻瓜”“你笨的像头猪”等之类的话语。
所谓“亲其师而信其道”，在课堂教学活动中，师生之间要营造一种民主、和谐、愉悦的氛围，教师要善于通过各种手段和方法创设一个互相尊重、理解、宽容的学习环境，学生才会对老师产生亲近感。也只有在这样的氛围和环境中，学生的思维才是最活跃的，学生的情感才得以舒展，个性得到张扬，创造性思维得以发挥。学生的错误也是一种思维的成果，是参与探究的一个标志。简单甚至粗鲁地对待，不仅会使学生的学习兴趣、学习积极性和主动性锐减，而且会使学生丧失学好数学的信心，会严重挫伤学生的自尊心。教学实践表明：宽容的教育氛围有利于学生的全面成长和个性发展，教师要宽容、理性地对待学生的错误。不要轻易否定，要肯定学生的积极参与，用鼓励的语言去评判。
运用机智，挖掘价值
心理学家盖耶认为：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻。”在数学课堂教学中，对于学生在学习过程中出现的这样或那样的错，教师要有一颗宽容的心，采取正确的态度对待，包容学生的错误。不仅仅局限于此，更为重要的是要运用教学机智，抓住这个教学契机，用敏锐的眼光和过人的智慧，去发现和挖掘学生错误中有价值的因素，加以利用，使之成为课堂教学中的宝贵资源。那么，教师在课堂教学中该如何做呢？
预见错误，培养内省之心 “年年岁岁花相似，岁岁年年花不同”。同样的教学内容，当下一次进行教学时，有经验的教师，会根据前一班学生学习的情况和教师的教学反思，对教案会做出调整，进一步优化教学设计。其中，针对学生在学习过程中，可能出现的一些违反教学结论或数学方法的现象，进行预测，设计一些学生容易“上当”的练习。例如：教学乘法和加减法混合运算时（除法和加减法混合运算），学生虽然知道了“先算乘除法，后算加减法”的计算法则，但在实际计算800-200÷50时，还是会有部分学生先算800-200，然后再计算600÷50;在计算50 50×3时也是如此。当一个算式中只有同一级运算时，比如计算60÷4×5，学生往往会先计算乘法，再计算除法，因为“先乘除”，“乘”字在前面，所以先做乘法，后做除法的;同样计算61-45 5时，学生往往会先做加法，后做减法。又如：学习了简便计算后，口算25×4÷25×4，学生计算的结果等于1;受乘法分配律的干扰，计算480÷（4 8）时，会写成480÷4 480÷8。再如：学习了计算长方形的面积后，设计以下练习：“张大伯家有一块菜地，长50分米，宽40分米，面积是多少平方米？”“一个长方形花圃长14米，宽10米。如果沿花圃四周修一条宽1米的小路。小路的面积有多少平方米？”教师预见学生的错误，通过设计一些学生容易出错的题，让学生“上当”，在正确与错误的相互论证当中，“吃一堑，长一智”，不断促进学生内省能力的培养。
挖掘错误，建构自主意识 叶澜教授在《重建课堂教学过程》一文中提到：“学生在课堂活动中的状态，包括他们的学习兴趣、注意力、合作能力、发表的意见和观点、提出的问题与争论乃至错误的回答等，都是教学过程中的生成性资源。”当学生在课堂上出现错误时，教师要充分利用教学机智，捕捉住瞬间即逝的教学契机，挖掘学生错误回答中的有价值的东西，转化成教学的宝贵资源。学生的错误不是能够依靠老师的正面示范和反复练习而进行纠正的，而是需要通过引导学生自主探究的过程，进行反复思辨、自我否定，从而使认知结构达到新的平衡。例如：在用简便方法计算537-98时，笔者发现有以下几种做法：①537-100-2;②537-（100 2）;③537-100 2;④537-（100-2）。笔者没有直接做出判断，而是引导学生展开辩论，可以选择自己有把握的发表意见。 生1：我认为第②种是错的！因为按照第②种的做法，根据计算顺序，应先算小括号里的100 2=102，那么就变成537里面减去102，而原题537里面减去98，多减了4，与原题不符，所以肯定错了！
生2：我也赞成！我计算了一下，从结果来看也不相等，说明有问题了。
（前一位学生的发言思路清晰，表达通顺，富有道理;加上后一位学生的补充，从两个角度来论证，理由更充分，得到全班学生的赞同。）
生3：我觉得第④种是正确的。因为根据刚才第②种的算法，同样先算小括号里面的100-2=98，就得到537-98，而原题也是537-98，大家都是537-98。我认为结果肯定相等，所以第④种是正确的。
生4：我认为第③种是对的。因为按照运算顺序，先算537-100，而原题是537-98，537里面多减了2，所以要补给它，就是再加上2，符合原题。而且我也计算过了，结果相等。所以我认为是对的。
生5：我认为第①种是错的。因为537里面先减去100，再减去2，相当于减去了102了，而原题是537里面只要减掉98，也多减了4，所以错了。
看似简单的一题，迸发出那么多智慧的火花，课堂变得生机勃勃。捕捉学生的错误，变不利因素为有效资源，在学生自我反思的过程中，知其然，更知其所以然，数学思维得到进一步发展。
客观评价，尊重学生 在教学中，笔者常常针对学生出现的错误，进行客观评价。充分利用有价值的因素，展开讨论、辩论，引导学生自我探究、自我否定，从而进一步达到认知平衡，使学生树立学好数学的信心。努力营造一个民主、平等、和谐的学习环境，尊重出错的学生，并努力让他的“错”闪光，转化为宝贵的教学资源，使学生不仅不以“错”为耻，而且还以“错”为荣，是一种贡献，给课堂增添了活力、生机，从而更积极、主动地投入到数学学习活动中。
设置错误，提升认知
教师要善于发现学生错误，加以合理利用，转化为教学资源。而且，有时还可故意设置错误，引发学生认知上的冲突，进一步增强学生求知的欲望，激发学习的兴趣，主动参与到学习探究活动中。
例如：在教学《三角形的认识》时，笔者事先布置学生回家用塑料吸管分别做成10厘米、5厘米和4厘米三根吸管，然后用线依次首尾相连，穿成一个三角形面，而且需要人人动手完成，可以和父母共同参与。在学生已有的经验当中，三角形早就不是陌生的了。在他们的头脑中，三角形就是有三个角，有三条线段，首尾相连的。他们甚至觉得，只要有三条线段，就一定能围成一个三角形的。借用学生的这种认知定式，笔者就预先布置了以上这个作业，完全就是设置了一个错误。第二天数学课上，当教学这部分内容时，再请学生拿出完成的作品，顿时像炸开了锅，有的学生“义愤填膺”，满脸上当后的不满;有的一脸窘态，拿出一个扇形形状的;有的拿出一个开口的三角形形状的;也有居然做成功的……这正是笔者预想的效果！请学生分类展示，集体讨论：
①扇形形状的。
生1：所围成的这个面不是三角形，因为三条线段中，两条是直的，一条是弯的，不具备三角形三条线段都是直的这个特征。
②开口的形状的。
生2：三角形有三个角，现在只有两个角，所以也不是三角形。
生3：三角形三条线段是依次首尾相连的（围成），要封闭的。它有开口，所以不是三角形。
③围成的三角形面的。
生4：老师给我们挡上了，所以我把10厘米的剪成了6厘米的这样就能做成。（根据学生回答板书数据）
生5：我把5厘米的换成了8厘米的，也可以围成三角形面。（根据回答板书）
生6：我把4厘米的换成了7厘米的，也能围成。
师：那为什么会这样呢？为什么10厘米、5厘米和4厘米的不能围成三角形，而6厘米、5厘米和4厘米能行？10厘米、8厘米和4厘米的也能行？10厘米、5厘米和7厘米的也能行呢？这里到底蕴藏着什么规律呢……
下面的教学，笔者引导学生根据这些数据进行规律的探索，最后不仅得出三角形每两边之和必须大于第三边，而且还在此基础上更进一步，得出三角形两短边之和必须大于第三边！明知是个错误，还故意如此设置，合理利用错误这个宝贵资源，引起学生认知上的冲突、思维上的碰撞，激发学生对新知的渴求，提高学习兴趣和学习积极性，让学生经历观察、推测、分析、判断、总结等整个探究活动，促进学生思维的发展，体验获得成功的喜悦，培养学生的创新意识。同时也使课堂变得更真更实，使教学更加灵动。
参考文献
[1]郑毓信.国际视角下的小学数学教育[M].北京：人民教育出版社，2004
[2]王兆正.以学为核心，构建新型课堂关系——基于“颠倒课堂”理念的小学数学课堂转型[J].小学教学研究（理论版），2015（6）.
（作者单位：江苏省苏州市吴中区西山中心小学）