在数学解题过程中，我们经常会碰到有些问题从正面解比较困难，这时我们不妨换个思维方式，从问题的反面入手，这就是数学中正难则反的解题思想，而反证法是其中典型的方法之一。牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一。”它是指从与命题的结论相反的假设出发，经过正确的推理，推出与已知证明的定理、公理、定义或题设相矛盾的结果，这样就证明了与结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论成立。本文就反证法思想在解题中的应用加以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法。
　　一、在简易逻辑中的应用
　　例1设x，y∈R，p：x+y≠8，q：x≠2或y≠6，则p是q的（）。
　　A.充分不必要条件
　　B.必要不充分条件
　　C.充要条件
　　D.既不充分也不必要条件
　　分析：直接判断总感觉模凌两可，若从反证法的思想考虑逆否命题，简洁清晰。
　　解：因为“q：x=2且y=6”是“p：x+y=8”的充分不必要条件，所以p是q充分不必要条件，故选A。
　　点评：在简易逻辑中，当原问题是否定形式的命题，且直接证明或求解较为困难时，考虑逆否命题可化难为易，简洁清晰。
　　二、在数列中的应用
　　例2已知数列an和bn满足：a1=λ，an+1=23an+n-4（其中λ∈R，n∈N*）。
　　证明：对任意实数λ，数列an不是等比数列。
　　分析：先假设结论反面成立，再由前三项是等比数列推出矛盾。
　　证明：假设an是等比数列，则a22=a1a3。
　　由已知，得a1=λ，a2=23λ-3，a3=23a2-2=49λ-4。
　　所以23λ-32=λ49λ-4，即9=0（矛盾）。
　　故假设不成立，即{an}不是等比数列。
　　点评：数列中涉及证明“不是等比数列，不是等差数列”这类题型时，利用反证法证可直捣黄龙。
　　三、在不等式中的应用
　　例3已知a1，a2，a3，…，a10为大于0的正实数，且a1+a2+a3+…+a10=30，a1a2a3…a10<21。求证：a1，a2，a3，…，a10这10个数中必有一个数在（0，1）之间。
　　分析：先假设这10个数都大于1，再利用换元法和不等式的性质推导出与已知条件相矛盾。
　　证明：假设ai≥1（1≤i≤10，i∈N），令bi=ai-1≥0。
　　由a1+a2+a3+…a10=30，得b1+b2+b3+…+b10=20。
　　所以a1a2a3…a10=（b1+1）（b2+1）…（b10+1）=1+（b1+b2+…+b10）+（b1b2…b10）≥1+（b1+b2+…+b10）=21。
　　这与条件a1a2a3…a10<21矛盾，故假设不成立。
　　所以这10个数中必有一个数在（0，1）之间。
　　点评：不等式中涉及“必有一个，至少一个，至多一个”等命题的证明时，采用反证法可以使问题解决得十分干脆彻底。
　　从以上例子可以看出，在解题中要善于抓住题型结构，当遇到从正面解决较困难的问题时，要想到运用反证法，也许问题会顺利得以解决。另外，反证法也可以加强同学们逆向思维的训练，巧妙地利用反证法培养同学们的思维能力，将有效提高同学们的学习质量。