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随着新课程改革的不断深入，教师的教学观念在不断更新. 课堂上有了学生的合作交流、动手操作等学习方式，但很多都是由教师预设的. 教师对整堂课的进程“心知肚明”，不允许学生在探究过程中出现错误. 即便出现错误，教师也不过是把手一挥：“坐下”，随之又请另一名学生……学生的错误似乎成了教学效果的弱化剂，成了预设进度的绊脚石. 其实，学生产生错误是利是弊，关键不在于错误本身，而在于教师和学生怎样发掘“错误”之美. 只有把对错误的研究作为促进学生成长的阶梯，才能创造出如沐春风的课堂.
一、见错辨错，使学生避错增知
在学生的数学学习过程中会出现各种各样的错误，教师不可能把学生所有的错误一一解决，也不能把出现这些错误的原因简单地怪罪于学生. 教师要做的是认真分析学生为什么会出现这样的错误，及反思怎样进行教学才能帮助学生避免类似错误的发生. 下面的案例给了笔者很大的启示.
教学“初步认识分数”一课，新授完成后，教师让一学生写一个分数，并说说这个分数表示什么.
一个男孩用一张长方形的纸片表示出.
师：表示什么意思？生：表示５份中的３份.
師：这５份是怎么分的？生：平均分.
师：对了！你能把两句话合成一句吗？
那男孩有些激动，声音明显高了许多：“把５平均分成３份. ”
同学们笑了，老师也惊讶地张开了嘴. 一名同学在底下纠正道：“把一张纸平均分成５份，３份就是这张纸的. ”
师：我们应该鼓励他自己改正错误. 并示意那位男孩重新说一次. 男孩说对了. 在总结阶段，老师强调：“谢谢这名同学，是他提醒了我们，不是把５平均分成３份，而是把一个东西平均分成５份，取其中的３份. ”
那男孩说的“把５平均分成３份”，也许是他潜意识里分数的真正意思，而不是鹦鹉学舌的话语. 那么，这是什么原因造成的呢？笔者认为：一是教材中和板书中对分数是这样写的——五分之三. 这种读法一开始就容易使学生以为：“表示把５平均分成３份”；二是在认识分数时，过于强调分数的三要素——平均分、分几份、取几份，而忽视了单位“１”的渗透，以致学生头脑中搞不清把“什么”平均分.
因此，笔者认为教学中应十分重视单位“１”的渗透，以避免类似错误的发生. 教师应成为反思性实践者，这是新时期教育教学改革的需要，也是实现教师专业成长的必经之路. 特别是对错误的反思，叶澜教授认为：“一个教师写一辈子教案，不一定成为名师，如果一个教师写三年反思，有可能成为名师. ”
二、将错就错，使学生悟错长智
“将错就错”与“有错就改”背道而驰. “有错就改”没错，但在“改”的过程中，学生往往是云教师所云，省略了自己的思索过程. 我们要做的不是判断题，而是辨析题，不仅要会判断，更要会分析. 而“将错就错”，让教学模式变接受性教学为自主性教学，让学习方式变接受性学习为自主性学习. 以下是我执教的“平行四边形面积计算”的一个片断，值得深思.
师：怎样计算平行四边形的面积？先请你们尽情地猜想，然后再动手验证（学生手上是一个没有任何记号的普通平行四边形）.
生１：我认为平行四边形面积的计算方法是用底乘高，我是沿着平行四边形的一条高剪开，将平行四边形拼成长方形. 生２：我是将平行四边形纸片剪成两个直角三角形和一个长方形，然后将两个直角三角形再拼成一个长方形，再把两个长方形的面积加起来.
生３：我觉得平行四边形的面积与长方形面积的计算方法一样，也是用长乘宽，因为平行四边形的特性是易变性，可以转化成长方形. ”
……
学生展示完后，我引导学生一一评价，着重解决第一、二种方法有什么相同点，为什么都要沿着高剪. 在评价第三种方法时，我说：“这名同学提出了一个十分有价值的问题！哪些同学也是这么想的，你能说说自己想的过程吗？”
生４：我用四枝笔连成一个长方形，稍微移动一下就成了平行四边形，长方形的面积是长乘宽，所以平行四边形的面积也是长乘宽.
师：非常感谢这名同学！他大胆地猜想平行四边形的面积是相邻两条边的乘积. （发言的同学满脸自豪）现在，认为可以用这种方法计算的同学请举手.
生５：刚才那名同学在移动４根笔的过程中，笔的长度都没有变. 所以它的面积应该是相邻两条边的乘积.
（赞成的学生比原先多了）
生６：平行四边形容易变形，拉动后面积就变了. （做了示范）
师：用相邻的两条边长度相乘吗？（学生思考）
生７：将平行四边形框架反方向拉成一个长方形这样就能用相邻的两条边相乘.
师：赞成平行四边形面积可以用相邻两条边的长度相乘的同学请举手.
生８：我不同意！我们就看刚才那名同学举的例子，我顺着他的方向，继续拉动平行四边形框架，直到几乎重合. 面积就变成０了. 但在这个过程中，两条边的长度没有变，乘积也就不变. （认为“行”的学生也不说话了）
我没有直接说第四名学生是不对的，而是将错就错，以让学生自己察觉错误，在探究中发现问题，从而将学生带入柳暗花明的境地. 郑毓信教授说过：现代教学思想的一个重要内容，即是认为学生的错误不可能单纯依靠正面的示范和反复的练习得到纠正，而必须是一个“自我否定”的过程. 将错就错，使矛盾激化，促使学生发现错误，自己寻找解决方法，悟错长智. 通过“误导”从而“导误”，这正是符合学生人性发展的教学.
三、集错析错，使学生纠错促情
加强对学生学习方式转变的指导，有效地教学生学会学习，从而实现“教是为了最终达到不需要教”的目的，成为了现代教学论研究的重要课题之一. 教师可以收集学生的常见错误，建立学生的“病历卡”. 针对这些在学习过程中所暴露出来的问题，有针对性地进行诊断、辅导和矫治，引导、帮助学生改进学法，逐步掌握科学的学习策略，提高学习效率.
事实上，人的一生都是在错误中度过的，华罗庚说过：“天下只有哑巴没有说过错话，天下只有白痴没有想错过问题，天下没有数学家没算错过题. ”学生出错是正常的，关键是我们怎样对待错误. 而我们正可以利用人人都会出错这一点，见错辨错，将错就错，集错析错，使学生避错增知，悟错长智，纠错促情. 利用这一种学习方式或许可以达到特别的教学效果.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、见错辨错，使学生避错增知
在学生的数学学习过程中会出现各种各样的错误，教师不可能把学生所有的错误一一解决，也不能把出现这些错误的原因简单地怪罪于学生. 教师要做的是认真分析学生为什么会出现这样的错误，及反思怎样进行教学才能帮助学生避免类似错误的发生. 下面的案例给了笔者很大的启示.
教学“初步认识分数”一课，新授完成后，教师让一学生写一个分数，并说说这个分数表示什么.
一个男孩用一张长方形的纸片表示出.
师：表示什么意思？生：表示５份中的３份.
師：这５份是怎么分的？生：平均分.
师：对了！你能把两句话合成一句吗？
那男孩有些激动，声音明显高了许多：“把５平均分成３份. ”
同学们笑了，老师也惊讶地张开了嘴. 一名同学在底下纠正道：“把一张纸平均分成５份，３份就是这张纸的. ”
师：我们应该鼓励他自己改正错误. 并示意那位男孩重新说一次. 男孩说对了. 在总结阶段，老师强调：“谢谢这名同学，是他提醒了我们，不是把５平均分成３份，而是把一个东西平均分成５份，取其中的３份. ”
那男孩说的“把５平均分成３份”，也许是他潜意识里分数的真正意思，而不是鹦鹉学舌的话语. 那么，这是什么原因造成的呢？笔者认为：一是教材中和板书中对分数是这样写的——五分之三. 这种读法一开始就容易使学生以为：“表示把５平均分成３份”；二是在认识分数时，过于强调分数的三要素——平均分、分几份、取几份，而忽视了单位“１”的渗透，以致学生头脑中搞不清把“什么”平均分.
因此，笔者认为教学中应十分重视单位“１”的渗透，以避免类似错误的发生. 教师应成为反思性实践者，这是新时期教育教学改革的需要，也是实现教师专业成长的必经之路. 特别是对错误的反思，叶澜教授认为：“一个教师写一辈子教案，不一定成为名师，如果一个教师写三年反思，有可能成为名师. ”
二、将错就错，使学生悟错长智
“将错就错”与“有错就改”背道而驰. “有错就改”没错，但在“改”的过程中，学生往往是云教师所云，省略了自己的思索过程. 我们要做的不是判断题，而是辨析题，不仅要会判断，更要会分析. 而“将错就错”，让教学模式变接受性教学为自主性教学，让学习方式变接受性学习为自主性学习. 以下是我执教的“平行四边形面积计算”的一个片断，值得深思.
师：怎样计算平行四边形的面积？先请你们尽情地猜想，然后再动手验证（学生手上是一个没有任何记号的普通平行四边形）.
生１：我认为平行四边形面积的计算方法是用底乘高，我是沿着平行四边形的一条高剪开，将平行四边形拼成长方形. 生２：我是将平行四边形纸片剪成两个直角三角形和一个长方形，然后将两个直角三角形再拼成一个长方形，再把两个长方形的面积加起来.
生３：我觉得平行四边形的面积与长方形面积的计算方法一样，也是用长乘宽，因为平行四边形的特性是易变性，可以转化成长方形. ”
……
学生展示完后，我引导学生一一评价，着重解决第一、二种方法有什么相同点，为什么都要沿着高剪. 在评价第三种方法时，我说：“这名同学提出了一个十分有价值的问题！哪些同学也是这么想的，你能说说自己想的过程吗？”
生４：我用四枝笔连成一个长方形，稍微移动一下就成了平行四边形，长方形的面积是长乘宽，所以平行四边形的面积也是长乘宽.
师：非常感谢这名同学！他大胆地猜想平行四边形的面积是相邻两条边的乘积. （发言的同学满脸自豪）现在，认为可以用这种方法计算的同学请举手.
生５：刚才那名同学在移动４根笔的过程中，笔的长度都没有变. 所以它的面积应该是相邻两条边的乘积.
（赞成的学生比原先多了）
生６：平行四边形容易变形，拉动后面积就变了. （做了示范）
师：用相邻的两条边长度相乘吗？（学生思考）
生７：将平行四边形框架反方向拉成一个长方形这样就能用相邻的两条边相乘.
师：赞成平行四边形面积可以用相邻两条边的长度相乘的同学请举手.
生８：我不同意！我们就看刚才那名同学举的例子，我顺着他的方向，继续拉动平行四边形框架，直到几乎重合. 面积就变成０了. 但在这个过程中，两条边的长度没有变，乘积也就不变. （认为“行”的学生也不说话了）
我没有直接说第四名学生是不对的，而是将错就错，以让学生自己察觉错误，在探究中发现问题，从而将学生带入柳暗花明的境地. 郑毓信教授说过：现代教学思想的一个重要内容，即是认为学生的错误不可能单纯依靠正面的示范和反复的练习得到纠正，而必须是一个“自我否定”的过程. 将错就错，使矛盾激化，促使学生发现错误，自己寻找解决方法，悟错长智. 通过“误导”从而“导误”，这正是符合学生人性发展的教学.
三、集错析错，使学生纠错促情
加强对学生学习方式转变的指导，有效地教学生学会学习，从而实现“教是为了最终达到不需要教”的目的，成为了现代教学论研究的重要课题之一. 教师可以收集学生的常见错误，建立学生的“病历卡”. 针对这些在学习过程中所暴露出来的问题，有针对性地进行诊断、辅导和矫治，引导、帮助学生改进学法，逐步掌握科学的学习策略，提高学习效率.
事实上，人的一生都是在错误中度过的，华罗庚说过：“天下只有哑巴没有说过错话，天下只有白痴没有想错过问题，天下没有数学家没算错过题. ”学生出错是正常的，关键是我们怎样对待错误. 而我们正可以利用人人都会出错这一点，见错辨错，将错就错，集错析错，使学生避错增知，悟错长智，纠错促情. 利用这一种学习方式或许可以达到特别的教学效果.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文