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作为高中数学主干知识的函数与导数的内容，在今年的高考中仍将占有重要位置，将是全方位、多层次（估计会有以对基本初等函数的概念性质和对导数及其应用的基本内容为主的选择和填空题）、巧综合、变角度（一个以函数为载体导数为工具综合考查数学知识和数学思想的综合解答题）的考查方式，对理科来说定积分及其应用也是一个值得关注的地方.
1. 函数及其表示、初等函数的基本性质，包括定义域、值域（最值）、图象、单调性、奇偶性、周期性等.
例1 函数[f(x)=1xln(x2-3x+2+-x2-3x+4)]的定义域为（ ）
A. [(-∞,-4]⋃[2,+∞)] B. [(-4,0)⋃(0,1)]
C. [[-4,0)⋃(0,1]] D. [[-4,0)⋃(0,1)]
解析 函数的定义域必须满足条件
[x≠0,x2-3x+2≥0,-x2-3x+4≥0,x2-3x+2+-x2-3x+4>0,⇒x∈[-4,0)⋃(0,1).]
故答案为D.
点拨 本题要把四个约束条件列出，在最后解不等式的时候要求思维缜密，否则会出现漏掉4这个根的情况.
例2 设函数[f(x)=x-1x]．对任意[x∈1,+∞]，[f(mx)+mf(x)<0]恒成立，则实数[m]的取值范围是 .
解析 显然[m≠0]，由于函数[f(x)=x-1x]对[x∈1,+∞]是增函数，
则当[m>0]时，[f(mx)+mf(x)<0]不恒成立，因此[m<0]．
当[m<0]时，函数[h(x)=f(mx)+mf(x)]在[x∈1,+∞]是减函数，
因此当[x=1]时，[h(x)]取得最大值[h(1)=m-1m]，
于是[h(x)=f(mx)+mf(x)<0]恒成立等价于[h(x)(x∈1,+∞)]的最大值小于[0]，
即[h(1)=m-1m<0]，解[m-1m<0m<0]得[m<-1]．
于是实数[m]的取值范围是[(-∞,-1)]．
点评 值域或最值问题的考查多以恒成立的形式出现，难度较高．把恒成立问题转化为最值问题是解决这类问题的核心思想，也是高中数学的重要转化思想之一，同学们在二轮复习中还需多加练习．
例3 定义在[R]上的函数[y=f(x)]是减函数，且函数[y=f(x-1)]的图象关于（1，0）成中心对称，若[s、t]满足不等式[f(s2-2s)≤-f(2t-t2)]，则当[1≤s≤4]时，[ts]的取值范围是（ ）[来源:Zxxk. Com]
A. [-14,1] B. [-14,1]
C. [-12,1] D. [-12,1]
解析 因为[y=f(x)]的图象可由函数[y=f(x-1)]的图象向左平移一个单位得到，又因函数[y=f(x-1)]的图象关于（1，0）成中心对称，所以[y=f(x)]的图象关于（0,0）成中心对称，即[y=f(x)]是奇函数.
[∵][y=f(x)]是减函数，[y=f(x)]是奇函数，
[∴][f(s2-2s)≤-f(2t-t2)][⇒][s2-2s≥t2-2t].
令[g(x)=x2-2x]，则[g(s)≥g(t)]，又[1≤s≤4,]
结合[g(x)=x2-2x]的图象可知[2-s≤t≤s].
原问题转化为[1≤s≤4,2-s≤t≤s,]求[ts]的取值范围. 由线性规划知识可知，答案为D.
点拨 由条件“函数[y=f(x-1)]的图象关于（1，0）成中心对称”推出[y=f(x)]是奇函数是一个难点. 同学们在二轮复习中要多揣摩平移在其中的应用. 另外，利用二次函数的图象得到[s、t]的关系，转化为线性规划问题体现了数形结合思想在解函数题中的重要性.
例4 若实数[a、b、c]满足[2a+2b=2a+b,][2a+2b+][2c=2a+b+c,]则[c]的最大值是 .
解析 令[x=2a]，[y=2b]，则[x+y=xy]，由均值不等式[xy=x+y≥2xy]知，[xy≥4]（当且仅当[x=y]时等号成立）.
由[2a+2b+2c=2a+b+c,]
得[2c=2a+2b2a+b-1=x+yxy-1=xyxy-1=1+1xy-1]，
又有[xy≥4]，所以[1<2c≤43]，
即可得[c]的最大值为[2-log23.]
点拨 解题的关键是对指数式[2a]和[2b]进行换元和用已知变量表示未知变量. 而不能自觉地利用换元和利用函数求最值的思想，不能使用均值不等式等，是本题出错的主要原因.
2. 函数模型及其应用、函数的零点定理
例5 函数[f(x)=sinx-lgx]的零点的个数是 .
解析 问题转化为[y=sinx]和[y=lgx]图象的交点个数.
点拨 若展开直接求解，问题将复杂化. 化零点个数为图象交点个数，转化为我们熟悉的函数图象进行解答. 当然，有关零点的存在性问题及个数问题的研究方案很多，如单调性法、换元法等.
例6 如图，矩形[ABCD]内接于由函数[y=x、][y=1-x、y=0]图象围成的封闭图形，其中顶点[C、D]在[y=0]上，求矩形[ABCD]面积的最大值.
解 设[A]点坐标为[(x,x)],[x∈(0,3-52)],则[B(1-x,x)]，由图可得[1-x>x].
记矩形[ABCD]的面积为[S]，易得
[S=AB⋅AD=(1-x-x)x=-(x)3-(x)2+x.]
令[t=x,t∈(0,5-12)]，得[S=-t3-t2+t.]
所以[S′=-3t2-2t+1=-(3t-1)(t+1)]，
令[S′=0]，得[t=13或t=-1].
因为[t∈(0,5-12)]，所以[t=13].
[S′、S]随[t]的变化情况如下表：
由上表可知，当[t=13]，即[x=19]时， [S]取得最大值为[527]，所以矩形[ABCD]面积的最大值为[527].
点拨 正确建立函数模型并应用模型解决最优化问题是高考中不可忽视的重点. 本题主要是帮助大家经历根据问题的条件和要求建立函数的解析式及确定定义域再研究函数的变化状态的思维过程.
3. 导数的几何意义与导数对函数性质的刻画，以及以此为主要手段的不等式的证明、参数范围的讨论、实际应用等问题
例7 在平面直角坐标系[xOy]中，已知点[P]是函数[f(x)=ex(x>0)]的图象上的动点，该图象在[P]处的切线[l]交[y]轴于点[M]，过点[P]作[l]的垂线交[y]轴于点[N]，设线段[MN]的中点的纵坐标为[t]，则[t]的最大值是 .
解析 设[P(x0,ex0),]则[l:y-ex0=ex0(x-x0),]
[∴M(0,(1-x0)ex0).]
过点[P]作[l]的垂线[y-ex0=-e-x0(x-x0),]
[∴N(0,ex0+x0e-x0).]
[∴t=12[(1-x0)ex0+ex0+x0e-x0]=ex0+12x0(e-x0-ex0),]
[t=12(ex0+e-x0)(1-x0),]
所以[t]在[(0,1)]上单调递增、在[(1,+∞)]单调递减，
[∴x0=1时,tmax=12(e+1e).]
点拨 导数的考点之一是导数的几何意义——切线的斜率，相应的，过图象上点[(x0,y0)]切线公式[y-y0=f(x0)(x-x0)]要能熟练应用. 现在高考题对导数考查的难度越来越大，一题出现多处求导很常见，要求大家真正做到把导数作为解决切线问题、单调性极值问题、最值问题的常用方法.
例8 函数[f(x)=axm⋅(1-x)n]在区间〔0,1〕上的图象如图所示，则[m、n]的值可能是（ ）
A. [m=1,n=1] B. [m=1,n=2]
C. [m=2,n=1] D. [m=3,n=1]
解析 代入验证.
当[m=1,n=2]，[f(x)=ax(1-x)2=a(x3-2x2+x)]，
则[f(x)=a(3x2-4x+1)]，由[f(x)=a(3x2-4x+1)][=0]可知[x1=13, x2=1]，结合图象可知，函数应在[(0,13)]上递增，在[(13,1)]上递减，即在[x=13]取得最大值，由[f(13)=a×13⋅(1-13)2=12]，知[a]存在. 故选B.
点拨 极值与单调性是导数的第二个应用，本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图象. 当然，题干中的“可能是”意味着代入检验是此题作为选择题的解题方案，极值的位置是检验的标准. 明确每个题目的考点，做到“小题小做”，是同学们在二轮复习中要不断加强的考试技巧.
例9 已知函数[f(x)=lnx-12ax2-2x(a<0).]
（Ⅰ）若函数[f(x)]在定义域内单调递增，求[a]的取值范围；
（Ⅱ）若[a=-12]且关于[x]的方程[f(x)-12x+b]在[[1,4]]上恰有两个不相等的实数根，求实数[b]的取值范围；
（Ⅲ）设各项为正的数列[{an}]满足：[a1=1,an+1=lnan+an+2,n∈N*.]求证：[an≤2n-1].
解 （Ⅰ）[f(x)=-ax2+2x-1x(x>0).]
依题意[f(x)≥0]在[x>0]时恒成立，即[ax2+2x-1≤0]在[x>0]恒成立.
则[a≤1-2xx2=(1x-1)2-1]在[x>0]恒成立，即[a≤((1x-1)2-1)min][(x>0).]
当[x=1]时，[(1x-1)2-1]取最小值[-1,]
∴[a]的取值范围是[(-∞,-1].]
（Ⅱ）[a=-12,f(x)-12x+b⇔14x2-32x+lnx-b=0.]
设[g(x)=14x2-32x+lnx-b(x>0).]
则[g(x)=(x-2)(x-1)2x.]列表：
∴[g(x)]极小值[=g(2)=ln2-b-2]，
[g(x)]极大值[=g(1)=-b-54]，又[g(4)=2ln2-b-2,]
[∵]方程[g(x)]=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.
则[g(1)≥0,g(2)<0,g(4)≥0,]得[ln2-2 （Ⅲ）设[h(x)=lnx-x+1,x∈[1,+∞)]，则[h(x)=][1x-1≤0,]
[∴h(x)]在[[1,+∞)]为减函数，且[h(x)max=h(1)=0,]故当[x≥1]时有[lnx≤x-1.]
[∵a1=1.]假设[ak≥1(k∈N*),]
则[ak+1=lnak+ak+2>1,]故[an≥1(n∈N*),]
从而[an+1=lnan+an+2≤2an+1.]
[∴1+an+1≤2(1+an)≤⋯≤2n(1+a1).]
即[1+an≤2n]，∴[an≤2n-1.]
点拨 本题考查幂函数的导数、对数函数的导数、函数的单调性与实根分布等基础知识，考查化归转化等数学思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查考生分析问题解决问题的能力．本题第一问，是一个中规中矩的常规试题，只要考生基本功扎实，解决起来困难不大；第二问利用函数的单调性画出大致的图像，得到实根分布的充要条件；第三问就需要考生有较高的分析问题解决问题的能力了，利用导数证明不等式的基本思路是通过构造函数转化为研究这个函数的单调性和区间端点值或最值问题，在证明过程中，还要进行不等式的放缩，如果考生缺乏这样的思想意识，不能自觉地朝这个方向思考，要顺利地完成这一问的解答是不可能的．本题能有效地区分不同思维层次的考生，是一道设计十分优秀的试题．
【专题训练一】
1. 设直线[x=t]与函数[f(x)=x2、g(x）=lnx]的图象分别交于点[M、N]，则当[|MN|]达到最小时[t]的值为（ ）
A. 1 B. [12] C. [52] D. [22]
2. 从如图所示的正方形[OABC]区域内任取一个点[M(x,y)]，则点[M]取自阴影部分的概率为( )
A. [12] B. [13] C. [14] D. [16]
3. 设偶函数[f(x)]对任意[x∈R]，都有[f(x+3)][=-1f(x)]，且当[x∈[-3,-2]]时，[f(x)=4x]，则[f(107.5)]=( )
A. 10 B. [110] C. -10 D. [-110]
4. 函数[y=f(x)]是函数[y=f(x)]的导函数，且函数[y=f(x)]在点[P(x0,f(x0))]处的切线为[l:y=g(x)][=f(x0)(x-x0)+f(x0),][F(x)=f(x)-g(x)]，如果函数[y=f(x)]在区间[[a,b]]上的图象如图所示，且[a A. [F(x0)=0,x=x0]是[F(x)]的极大值点
B. [F(x0)=0,x=x0]是[F(x)]的极小值点
C. [F(x0)≠0,x=x0]不是[F(x)]极值点
D. [F(x0)≠0,x=x0]是[F(x)]极值点
5. 已知函数[f(x)]的导函数为[f(x)]，且满足[f(x)=][2xf(1)+lnx]，则[f(1)=]（ ）
A. [-e] B. -1 C. 1 D. [e]
6. 设[0 A. [(-∞,0)] B. [(0,+∞)]
C. [(-∞,loga3)] D. [(loga3,+∞)]
7. 设[a、b、c]为实数，[f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)]，[g(x)＝(ax＋1)(cx2＋bx＋1)]. 记集合[S＝{x|f(x)＝0,][x∈R}]，[T＝{x|g(x)＝0，x∈R}]. 若[|S|、|T|]分别为集合[S、T]的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A. [|S|＝1且|T|＝0] B. [|S|＝1且|T|＝1]
C. [|S|＝2且|T|＝2] D. [|S|＝2且|T|＝3]
8. 已知函数[f(x)=ex+alnx]的定义域是[D]，关于函数[f(x)]给出下列命题：①对于任意[a∈(0,+∞)]，函数[f(x)]是[D]上的减函数；②对于任意[a∈(-∞,0)]，函数[f(x)]存在最小值；③对于任意[a∈(0,+∞)]，使得对于任意的[x∈D]，都有[f(x)>0]成立；④对于任意[a∈(-∞,0)]，函数[f(x)]有两个零点. 其中正确命题有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 已知R上可导函数[f(x)]的图象如图所示，则不等式[(x2-2x-3)f(x)>0]的解集为（ ）
A. [(-∞,-2)⋃(1,+∞)]
B. [(-∞,-2)⋃(1,2)]
C. [(-∞,-1)⋃(-1,0)⋃(2,+∞)]
D. [(-∞,-1)⋃(-1,1)⋃(3,+∞)]
10. 已知函数[f(x)=2x-1(x≤0),f(x-1)+1(x>0),]把函数[g(x)=f(x)-x]的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为 （ ）
A. [an=n(n-1)2(n∈N*)]
B. [an=n(n-1)(n∈N*)]
C. [an=n-1(n∈N*)]
D. [an=2n-2(n∈N*)]
11. 已知[F(x)=f(x+12)-1]是R上的奇函数，[an=f(0)+f(1n)+f(2n)+⋯+f(n-1n)+f(1)(n∈N*),]则数列[{an}]的通项公式为 .
12. 已知点[P]是第一象限内曲线[y=-x3+1]上的一个动点，点[P]处的切线与两个坐标轴交于[A、B]两点,则[△AOB]的面积的最小值为 .
13. 已知函数[f(x)=log2x]，正实数[m、n]满足[m 14. 已知直线[y=x+1]与曲线[y=ln(x+a)]相切，则[a]的值为 .
15. 有下列命题：
①若[f(x)]存在导函数，则[f(2x)=[f(2x)];]
②若函数[h(x)=cos4x-sin4x,则h(π12)=[f(2x)];]
③若函数[g(x)=(x-1)(x-2)⋯(x-2009)][(x-2010)]，则[g(2010)=2009!;]
④若三次函数[f(x)=ax3+bx2+cx+d,]则“[a+b+c=0]”是“[f(x)]有极值点”的充要条件.
其中真命题的序号是 .
16. 设[f(x)=23x3-2x+m(-43≤m≤43)].
（Ⅰ）求[f(x)]的单调区间与极值；
（Ⅱ）求方程[f(x)=0]的实数解的个数.
17. 两个二次函数[f(x)=x2+bx+c]与[g(x)=-x2+2x+d]的图象有唯一的公共点[P(1,-2)].
（Ⅰ）求[b、c、d]的值；
（Ⅱ）设[F(x)=(f(x)+m)⋅g(x)]，若[F(x)]在R上是单调函数，求[m]的取值范围，并指出[F(x)]是单调递增函数，还是单调递减函数.
18. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量[y](单位：千克)与销售价格[x](单位：元/千克)满足关系式[y=ax-3＋10(x－6)2]，其中[3 （Ⅰ）求[a]的值；
（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格[x]的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
19. 已知[a∈R]，函数[f(x)=ax+lnx-1]，[g(x)=][lnx-1ex+x]（其中[e]为自然对数的底数）.
（Ⅰ）求函数[f(x)]在区间[0,e]上的最小值；
（Ⅱ）是否存在实数[x0∈0,e]，使曲线[y=g(x)]在点[x=x0]处的切线与[y]轴垂直? 若存在，求出[x0]的值；若不存在，请说明理由.
20. 已知函数[f(x)=lnx-a(x-1)x+1.]
（Ⅰ）若函数[f(x)]在[(0,+∞)]上为单调增函数，求[a]的取值范围；
（Ⅱ）设[m]、[n∈R+]，且[m≠n]，求证：[m-nlnm-lnn<][m+n2.]
21. 定义：[F(x,y)=xy+lnx,x∈(0,+∞),][y∈R,][f(x)=F(x,xa)]（其中[a≠0]）.
（Ⅰ）求[f(x)]的单调区间；
（Ⅱ）若[f(x)<-12]恒成立，试求实数[a]的取值范围；
（Ⅲ）记[f(x)为f(x)]的导数，当[a=1]时，对任意的[n∈N*]，在区间[[1,f(n)]]上总存在[k]个正数[a1,a2,⋯,ak]，使[i=1kf(ai)≥2010]成立，试求[k]的最小值.
1. 函数及其表示、初等函数的基本性质，包括定义域、值域（最值）、图象、单调性、奇偶性、周期性等.
例1 函数[f(x)=1xln(x2-3x+2+-x2-3x+4)]的定义域为（ ）
A. [(-∞,-4]⋃[2,+∞)] B. [(-4,0)⋃(0,1)]
C. [[-4,0)⋃(0,1]] D. [[-4,0)⋃(0,1)]
解析 函数的定义域必须满足条件
[x≠0,x2-3x+2≥0,-x2-3x+4≥0,x2-3x+2+-x2-3x+4>0,⇒x∈[-4,0)⋃(0,1).]
故答案为D.
点拨 本题要把四个约束条件列出，在最后解不等式的时候要求思维缜密，否则会出现漏掉4这个根的情况.
例2 设函数[f(x)=x-1x]．对任意[x∈1,+∞]，[f(mx)+mf(x)<0]恒成立，则实数[m]的取值范围是 .
解析 显然[m≠0]，由于函数[f(x)=x-1x]对[x∈1,+∞]是增函数，
则当[m>0]时，[f(mx)+mf(x)<0]不恒成立，因此[m<0]．
当[m<0]时，函数[h(x)=f(mx)+mf(x)]在[x∈1,+∞]是减函数，
因此当[x=1]时，[h(x)]取得最大值[h(1)=m-1m]，
于是[h(x)=f(mx)+mf(x)<0]恒成立等价于[h(x)(x∈1,+∞)]的最大值小于[0]，
即[h(1)=m-1m<0]，解[m-1m<0m<0]得[m<-1]．
于是实数[m]的取值范围是[(-∞,-1)]．
点评 值域或最值问题的考查多以恒成立的形式出现，难度较高．把恒成立问题转化为最值问题是解决这类问题的核心思想，也是高中数学的重要转化思想之一，同学们在二轮复习中还需多加练习．
例3 定义在[R]上的函数[y=f(x)]是减函数，且函数[y=f(x-1)]的图象关于（1，0）成中心对称，若[s、t]满足不等式[f(s2-2s)≤-f(2t-t2)]，则当[1≤s≤4]时，[ts]的取值范围是（ ）[来源:Zxxk. Com]
A. [-14,1] B. [-14,1]
C. [-12,1] D. [-12,1]
解析 因为[y=f(x)]的图象可由函数[y=f(x-1)]的图象向左平移一个单位得到，又因函数[y=f(x-1)]的图象关于（1，0）成中心对称，所以[y=f(x)]的图象关于（0,0）成中心对称，即[y=f(x)]是奇函数.
[∵][y=f(x)]是减函数，[y=f(x)]是奇函数，
[∴][f(s2-2s)≤-f(2t-t2)][⇒][s2-2s≥t2-2t].
令[g(x)=x2-2x]，则[g(s)≥g(t)]，又[1≤s≤4,]
结合[g(x)=x2-2x]的图象可知[2-s≤t≤s].
原问题转化为[1≤s≤4,2-s≤t≤s,]求[ts]的取值范围. 由线性规划知识可知，答案为D.
点拨 由条件“函数[y=f(x-1)]的图象关于（1，0）成中心对称”推出[y=f(x)]是奇函数是一个难点. 同学们在二轮复习中要多揣摩平移在其中的应用. 另外，利用二次函数的图象得到[s、t]的关系，转化为线性规划问题体现了数形结合思想在解函数题中的重要性.
例4 若实数[a、b、c]满足[2a+2b=2a+b,][2a+2b+][2c=2a+b+c,]则[c]的最大值是 .
解析 令[x=2a]，[y=2b]，则[x+y=xy]，由均值不等式[xy=x+y≥2xy]知，[xy≥4]（当且仅当[x=y]时等号成立）.
由[2a+2b+2c=2a+b+c,]
得[2c=2a+2b2a+b-1=x+yxy-1=xyxy-1=1+1xy-1]，
又有[xy≥4]，所以[1<2c≤43]，
即可得[c]的最大值为[2-log23.]
点拨 解题的关键是对指数式[2a]和[2b]进行换元和用已知变量表示未知变量. 而不能自觉地利用换元和利用函数求最值的思想，不能使用均值不等式等，是本题出错的主要原因.
2. 函数模型及其应用、函数的零点定理
例5 函数[f(x)=sinx-lgx]的零点的个数是 .
解析 问题转化为[y=sinx]和[y=lgx]图象的交点个数.
点拨 若展开直接求解，问题将复杂化. 化零点个数为图象交点个数，转化为我们熟悉的函数图象进行解答. 当然，有关零点的存在性问题及个数问题的研究方案很多，如单调性法、换元法等.
例6 如图，矩形[ABCD]内接于由函数[y=x、][y=1-x、y=0]图象围成的封闭图形，其中顶点[C、D]在[y=0]上，求矩形[ABCD]面积的最大值.
解 设[A]点坐标为[(x,x)],[x∈(0,3-52)],则[B(1-x,x)]，由图可得[1-x>x].
记矩形[ABCD]的面积为[S]，易得
[S=AB⋅AD=(1-x-x)x=-(x)3-(x)2+x.]
令[t=x,t∈(0,5-12)]，得[S=-t3-t2+t.]
所以[S′=-3t2-2t+1=-(3t-1)(t+1)]，
令[S′=0]，得[t=13或t=-1].
因为[t∈(0,5-12)]，所以[t=13].
[S′、S]随[t]的变化情况如下表：
由上表可知，当[t=13]，即[x=19]时， [S]取得最大值为[527]，所以矩形[ABCD]面积的最大值为[527].
点拨 正确建立函数模型并应用模型解决最优化问题是高考中不可忽视的重点. 本题主要是帮助大家经历根据问题的条件和要求建立函数的解析式及确定定义域再研究函数的变化状态的思维过程.
3. 导数的几何意义与导数对函数性质的刻画，以及以此为主要手段的不等式的证明、参数范围的讨论、实际应用等问题
例7 在平面直角坐标系[xOy]中，已知点[P]是函数[f(x)=ex(x>0)]的图象上的动点，该图象在[P]处的切线[l]交[y]轴于点[M]，过点[P]作[l]的垂线交[y]轴于点[N]，设线段[MN]的中点的纵坐标为[t]，则[t]的最大值是 .
解析 设[P(x0,ex0),]则[l:y-ex0=ex0(x-x0),]
[∴M(0,(1-x0)ex0).]
过点[P]作[l]的垂线[y-ex0=-e-x0(x-x0),]
[∴N(0,ex0+x0e-x0).]
[∴t=12[(1-x0)ex0+ex0+x0e-x0]=ex0+12x0(e-x0-ex0),]
[t=12(ex0+e-x0)(1-x0),]
所以[t]在[(0,1)]上单调递增、在[(1,+∞)]单调递减，
[∴x0=1时,tmax=12(e+1e).]
点拨 导数的考点之一是导数的几何意义——切线的斜率，相应的，过图象上点[(x0,y0)]切线公式[y-y0=f(x0)(x-x0)]要能熟练应用. 现在高考题对导数考查的难度越来越大，一题出现多处求导很常见，要求大家真正做到把导数作为解决切线问题、单调性极值问题、最值问题的常用方法.
例8 函数[f(x)=axm⋅(1-x)n]在区间〔0,1〕上的图象如图所示，则[m、n]的值可能是（ ）
A. [m=1,n=1] B. [m=1,n=2]
C. [m=2,n=1] D. [m=3,n=1]
解析 代入验证.
当[m=1,n=2]，[f(x)=ax(1-x)2=a(x3-2x2+x)]，
则[f(x)=a(3x2-4x+1)]，由[f(x)=a(3x2-4x+1)][=0]可知[x1=13, x2=1]，结合图象可知，函数应在[(0,13)]上递增，在[(13,1)]上递减，即在[x=13]取得最大值，由[f(13)=a×13⋅(1-13)2=12]，知[a]存在. 故选B.
点拨 极值与单调性是导数的第二个应用，本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图象. 当然，题干中的“可能是”意味着代入检验是此题作为选择题的解题方案，极值的位置是检验的标准. 明确每个题目的考点，做到“小题小做”，是同学们在二轮复习中要不断加强的考试技巧.
例9 已知函数[f(x)=lnx-12ax2-2x(a<0).]
（Ⅰ）若函数[f(x)]在定义域内单调递增，求[a]的取值范围；
（Ⅱ）若[a=-12]且关于[x]的方程[f(x)-12x+b]在[[1,4]]上恰有两个不相等的实数根，求实数[b]的取值范围；
（Ⅲ）设各项为正的数列[{an}]满足：[a1=1,an+1=lnan+an+2,n∈N*.]求证：[an≤2n-1].
解 （Ⅰ）[f(x)=-ax2+2x-1x(x>0).]
依题意[f(x)≥0]在[x>0]时恒成立，即[ax2+2x-1≤0]在[x>0]恒成立.
则[a≤1-2xx2=(1x-1)2-1]在[x>0]恒成立，即[a≤((1x-1)2-1)min][(x>0).]
当[x=1]时，[(1x-1)2-1]取最小值[-1,]
∴[a]的取值范围是[(-∞,-1].]
（Ⅱ）[a=-12,f(x)-12x+b⇔14x2-32x+lnx-b=0.]
设[g(x)=14x2-32x+lnx-b(x>0).]
则[g(x)=(x-2)(x-1)2x.]列表：
∴[g(x)]极小值[=g(2)=ln2-b-2]，
[g(x)]极大值[=g(1)=-b-54]，又[g(4)=2ln2-b-2,]
[∵]方程[g(x)]=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.
则[g(1)≥0,g(2)<0,g(4)≥0,]得[ln2-2
[∴h(x)]在[[1,+∞)]为减函数，且[h(x)max=h(1)=0,]故当[x≥1]时有[lnx≤x-1.]
[∵a1=1.]假设[ak≥1(k∈N*),]
则[ak+1=lnak+ak+2>1,]故[an≥1(n∈N*),]
从而[an+1=lnan+an+2≤2an+1.]
[∴1+an+1≤2(1+an)≤⋯≤2n(1+a1).]
即[1+an≤2n]，∴[an≤2n-1.]
点拨 本题考查幂函数的导数、对数函数的导数、函数的单调性与实根分布等基础知识，考查化归转化等数学思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查考生分析问题解决问题的能力．本题第一问，是一个中规中矩的常规试题，只要考生基本功扎实，解决起来困难不大；第二问利用函数的单调性画出大致的图像，得到实根分布的充要条件；第三问就需要考生有较高的分析问题解决问题的能力了，利用导数证明不等式的基本思路是通过构造函数转化为研究这个函数的单调性和区间端点值或最值问题，在证明过程中，还要进行不等式的放缩，如果考生缺乏这样的思想意识，不能自觉地朝这个方向思考，要顺利地完成这一问的解答是不可能的．本题能有效地区分不同思维层次的考生，是一道设计十分优秀的试题．
【专题训练一】
1. 设直线[x=t]与函数[f(x)=x2、g(x）=lnx]的图象分别交于点[M、N]，则当[|MN|]达到最小时[t]的值为（ ）
A. 1 B. [12] C. [52] D. [22]
2. 从如图所示的正方形[OABC]区域内任取一个点[M(x,y)]，则点[M]取自阴影部分的概率为( )
A. [12] B. [13] C. [14] D. [16]
3. 设偶函数[f(x)]对任意[x∈R]，都有[f(x+3)][=-1f(x)]，且当[x∈[-3,-2]]时，[f(x)=4x]，则[f(107.5)]=( )
A. 10 B. [110] C. -10 D. [-110]
4. 函数[y=f(x)]是函数[y=f(x)]的导函数，且函数[y=f(x)]在点[P(x0,f(x0))]处的切线为[l:y=g(x)][=f(x0)(x-x0)+f(x0),][F(x)=f(x)-g(x)]，如果函数[y=f(x)]在区间[[a,b]]上的图象如图所示，且[a
B. [F(x0)=0,x=x0]是[F(x)]的极小值点
C. [F(x0)≠0,x=x0]不是[F(x)]极值点
D. [F(x0)≠0,x=x0]是[F(x)]极值点
5. 已知函数[f(x)]的导函数为[f(x)]，且满足[f(x)=][2xf(1)+lnx]，则[f(1)=]（ ）
A. [-e] B. -1 C. 1 D. [e]
6. 设[0
C. [(-∞,loga3)] D. [(loga3,+∞)]
7. 设[a、b、c]为实数，[f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)]，[g(x)＝(ax＋1)(cx2＋bx＋1)]. 记集合[S＝{x|f(x)＝0,][x∈R}]，[T＝{x|g(x)＝0，x∈R}]. 若[|S|、|T|]分别为集合[S、T]的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A. [|S|＝1且|T|＝0] B. [|S|＝1且|T|＝1]
C. [|S|＝2且|T|＝2] D. [|S|＝2且|T|＝3]
8. 已知函数[f(x)=ex+alnx]的定义域是[D]，关于函数[f(x)]给出下列命题：①对于任意[a∈(0,+∞)]，函数[f(x)]是[D]上的减函数；②对于任意[a∈(-∞,0)]，函数[f(x)]存在最小值；③对于任意[a∈(0,+∞)]，使得对于任意的[x∈D]，都有[f(x)>0]成立；④对于任意[a∈(-∞,0)]，函数[f(x)]有两个零点. 其中正确命题有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 已知R上可导函数[f(x)]的图象如图所示，则不等式[(x2-2x-3)f(x)>0]的解集为（ ）
A. [(-∞,-2)⋃(1,+∞)]
B. [(-∞,-2)⋃(1,2)]
C. [(-∞,-1)⋃(-1,0)⋃(2,+∞)]
D. [(-∞,-1)⋃(-1,1)⋃(3,+∞)]
10. 已知函数[f(x)=2x-1(x≤0),f(x-1)+1(x>0),]把函数[g(x)=f(x)-x]的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为 （ ）
A. [an=n(n-1)2(n∈N*)]
B. [an=n(n-1)(n∈N*)]
C. [an=n-1(n∈N*)]
D. [an=2n-2(n∈N*)]
11. 已知[F(x)=f(x+12)-1]是R上的奇函数，[an=f(0)+f(1n)+f(2n)+⋯+f(n-1n)+f(1)(n∈N*),]则数列[{an}]的通项公式为 .
12. 已知点[P]是第一象限内曲线[y=-x3+1]上的一个动点，点[P]处的切线与两个坐标轴交于[A、B]两点,则[△AOB]的面积的最小值为 .
13. 已知函数[f(x)=log2x]，正实数[m、n]满足[m
15. 有下列命题：
①若[f(x)]存在导函数，则[f(2x)=[f(2x)];]
②若函数[h(x)=cos4x-sin4x,则h(π12)=[f(2x)];]
③若函数[g(x)=(x-1)(x-2)⋯(x-2009)][(x-2010)]，则[g(2010)=2009!;]
④若三次函数[f(x)=ax3+bx2+cx+d,]则“[a+b+c=0]”是“[f(x)]有极值点”的充要条件.
其中真命题的序号是 .
16. 设[f(x)=23x3-2x+m(-43≤m≤43)].
（Ⅰ）求[f(x)]的单调区间与极值
（Ⅱ）求方程[f(x)=0]的实数解的个数.
17. 两个二次函数[f(x)=x2+bx+c]与[g(x)=-x2+2x+d]的图象有唯一的公共点[P(1,-2)].
（Ⅰ）求[b、c、d]的值；
（Ⅱ）设[F(x)=(f(x)+m)⋅g(x)]，若[F(x)]在R上是单调函数，求[m]的取值范围，并指出[F(x)]是单调递增函数，还是单调递减函数.
18. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量[y](单位：千克)与销售价格[x](单位：元/千克)满足关系式[y=ax-3＋10(x－6)2]，其中[3
（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格[x]的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
19. 已知[a∈R]，函数[f(x)=ax+lnx-1]，[g(x)=][lnx-1ex+x]（其中[e]为自然对数的底数）.
（Ⅰ）求函数[f(x)]在区间[0,e]上的最小值；
（Ⅱ）是否存在实数[x0∈0,e]，使曲线[y=g(x)]在点[x=x0]处的切线与[y]轴垂直? 若存在，求出[x0]的值；若不存在，请说明理由.
20. 已知函数[f(x)=lnx-a(x-1)x+1.]
（Ⅰ）若函数[f(x)]在[(0,+∞)]上为单调增函数，求[a]的取值范围；
（Ⅱ）设[m]、[n∈R+]，且[m≠n]，求证：[m-nlnm-lnn<][m+n2.]
21. 定义：[F(x,y)=xy+lnx,x∈(0,+∞),][y∈R,][f(x)=F(x,xa)]（其中[a≠0]）.
（Ⅰ）求[f(x)]的单调区间；
（Ⅱ）若[f(x)<-12]恒成立，试求实数[a]的取值范围；
（Ⅲ）记[f(x)为f(x)]的导数，当[a=1]时，对任意的[n∈N*]，在区间[[1,f(n)]]上总存在[k]个正数[a1,a2,⋯,ak]，使[i=1kf(ai)≥2010]成立，试求[k]的最小值.