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[摘 要] “农村初中数学微媒体下互动学习模式研究”课题组自2016年9月开始实践和研究以来，取得一系列成果，本文结合“弧长及扇形的面积”的教学，对“三学互动”课堂教学模式下的公式教学进行初步梳理和反思：微课引路；互动通幽；理解建构.
[关键词] “三学互动”；理解建构；公式教学
2016年度福建省基础教育课程教学研究规划立项课题“农村初中数学微媒体下互动学习模式研究”自2016年9月开题以来，按计划扎实开展研究，取得阶段性的成果. 2017年2月22日，课题组在笔者所在学校开展“三学互动”课堂教学模式专题研训活动，推进了课题研究的进程. 笔者作为课题组的核心成员，利用“三学互动”课堂教学模式设计的“弧长及扇形的面积”得到大家的肯定和赞赏. 下面结合教学案例对“三学互动”课堂教学模式下如何开展公式教学进行简单介绍，并对其设计思路进行梳理和反思.
教学分析
1. 教学背景
（1）标准分析
《全日制义务教育数学课程标准》（2011版）（以下简称《标准》）对本节课教学内容的要求如下：会计算圆的弧长、扇形的面积.可以看出“会”的同类词是“理解”，是描述结果目标的行为动词，即“描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系”，因此，在教学过程中应引起教师的足够重视.
（2）教材分析
本节课的教学内容是北师大版数学九年级下册第三章“圆”中的第九节“弧长和扇形的面积”. 这是在小学已学习圆周长和面积计算、扇形的简单知识和在前阶段学完了与圆有关的知识的基础上进一步探究弧长公式和扇形面积公式的推导过程及其在实际问题中的应用，是圆的有关计算中的一个重要问题，应让学生感受类比、从特殊到一般的数学思想方法，并为学生今后的学习及生活更好地运用数学做准备.
（3）学情分析
学生已经学习了圆的有关基础知识，有一定的知识水平和自主学习、解决问题的能力，但是笔者所在学校是一所农村中学，学生的数学学习水平参差不齐，大多数学生对数学的理解仅仅停留在计算和直接套用公式的水平，对稍难的数学问题缺乏深入思考和探索的勇气. 因此，在教学中，笔者鼓励并引导学生进行预学、独立思考、合作互助、循序渐进，进一步探究弧长及扇形面积的计算公式和运用公式解决实际问题.
2. 教学目标
结合《标准》和教材结构与内容，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，制订如下教学目标.
知识与技能：能推导，并熟记弧长、扇形面积的计算公式，理解公式中每个字母的含义，并能应用公式进行计算.
过程与方法：经历用类比、联想的方法探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程，培养学生的自主探索能力.
情感态度与价值观：通过预学、研学、助学，激发学生学习数学的兴趣，提高其学习积极性.
3. 教学重、难点
从《标准》出发，在吃透教材的基础上，确立了如下教学重点、难点.
重点：弧长、扇形面积计算公式的推导，并能应用公式进行计算.
难点：弧长和扇形面积计算公式的灵活运用.
4. 教法、学法
采用“三学互动”课堂教学模式，即让学生通过课前个体预学、集体研学、群体助学，经历数学公式发生、发展、形成的“再创造”活动，获取广泛的数学活动经验，进而促进自身的发展.
凸显学生主体地位：学生根据教师给出的任务清单，自主、主动地思考，寻找解决问题的途径，完成教材阅读、解读微课（视频）、当堂测试，并归纳和梳理知识的特点、知识间的联系.
明晰教师主导作用：教师根据学生思维的起点预设问题，及时掌握课堂上生成的问题和存在的问题，针对性地组织研学、助学答疑解惑、归纳梳理.
教学过程
（一）第一环节：微课引路，个体预学
师生活动：课前，教师认真解读教材内容，根据学生实际认知水平制作《弧长的计算公式炼成记》微视频和学习任务单等学习材料，学生观看微视频进行自主学习，边看边思考，完成学习任务单，并在学习过程中记录重要知识、方法和困惑.
学习任务单
1. 半径为R的圆，周长是多少？圆可以看作是几度圆心角所对的弧？
2. 完成下面的表格.
（二）第二环节：探索新知，集体研学
1. 探究弧长计算公式
活动1：建构弧长计算公式
师生活动：学生相互交流自学中遇到的困惑. 教师巡查并参与交流，掌握学生的预学情况. 针对存在的疑惑，组织学生进行集体研讨，请预学充分的同学到讲台前展示，其他学生补充，教师适当点拨或有针对性地讲解. 通过讨论得到结论：圆心角对于周角，弧长对于圆周长，都是部分对于整体的关系，弧所对的圆心角是周角的几分之几，那么弧长就是圆周长的几分之几，所以弧所对的圆心角与周角的比值等于它與圆周长的比值，用这个比值乘以圆周长就能
设计意图 教师根据学生的预学情况，对学生生成的问题、存在的问题精心设计数学活动，组织学生集体研讨，暴露思维过程，分享所思所想的成果. 教师对重难点知识进行指导性梳理，基于部分对于整体的关系，体会从特殊到一般再到特殊的认知过程，自主建构出弧长计算公式. 这样能唤起学生的参与意识、问题意识，产生探究交流的学习渴望. 师生、生生之间互动研学、交流沟通，多次思维碰撞、反思，这样获得的知识会更深刻，也会为下面探究扇形的面积公式打下基础.
活动2：应用弧长计算公式
例题 制作弯形管道时，需要先按中心计算“展开长度”再下料. 如图1，试计算图中所示的管道的展直长度，即弧AB的长（结果精确到0.1 mm）.
练习 （1）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12 cm，求该扇形的弧长. （2）如果一条弧的长是π，半径是6，求这条弧所对的圆心角度数.
（3）求圆心角为120°、弧长为12π的弧的半径.
师生活动：学生先独立思考，接着同桌交流，最后进行全班展示. 教师进行适时评价和点拨，并强调：在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义.
设计意图 通过例题和练习的剖析，在加深对弧长公式的理解基础上，学生学会表达和交流，并学会创新应用弧长计算公式，熟练掌握公式中l，R，n三个量之间的换算关系，渗透方程思想.
2. 探究扇形的面积公式
活动1：建构扇形的面积公式
（1）教师引导学生类比探索弧长公式的方法，合作互助探究扇形面积公式.
（2）比较扇形面积公式和弧长公式，如何用弧长和半径表示扇形的面积？
设计意图 有了前面对弧长计算公式的探究，用部分和整体的思想，再去推导扇形面积公式，就迎刃而解了.在推导扇形面积计算的第二种方法时，要关注多种推导方法，锻炼学生探索新知识的能力，让其体验成功的快乐，形成类比思维能力.
活动2：应用扇形的面积公式
（1）课本第101页例2.
（2）已知扇形的圆心角为60°，扇形的面积为24π，则这个扇形的半径是多少？
（3）已知扇形的半径为2，扇形的面积为π，则这个扇形的圆心角是多少？
设计意图 通过练习，学生能熟练掌握扇形面积公式中S，R，n三个量的转化关系，只要知道其中两个就可以求第三个，渗透方程思想.
（三）第三环节：巩固提升，群体助学
活动内容：（1）如果扇形的半径为9，弧长为4π，那么扇形的面积是______.
（2）在田径二百米跑比赛中，有一段弯道是圆弧形的，它的半径为20米，所对的圆心角是90°，你能求出这段弯路的展直长度吗？ （π取3.14）
（3）已知圆上一段弧长为240π，半径为180，则这段弧所对的圆心角的度数是______.
（4）如图2，以等边三角形ABC的三个顶点为圆心、2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是______.
师生活动：学生先独立思考，小组合作互助完成上面4个问题. 教师巡视，发现学生存在的典型错误，用投影仪展示部分学生有代表性的作品，并适时点评. 学生集体交流订正答案后互讲，并进行解后反思.
设计意图 这四道习题涵盖本节的知识点、疑难点、关键点，并且从易到难，注重考查学生对其中所蕴含的数学本质的理解，对学生基础知识和基本技能达成情况进行评价. 通过教师助学、学生一对一的互助学习，能及时解决学生存在的问题，力争做到“题题清、堂堂清、人人清”.
（四）第四环节：课堂反思，总结归纳
师生活动：教师引导学生回顾“弧长和扇形面积公式怎么来”“怎么记”“怎么用”，以及所包含的数学思想. 教师根据情况进行补充、纠正或点评，出示知识体系，并强调知识的重难点，及时激励表现好的学生，树立典型，使学习氛围更加和谐.
设计意图 引导学生在总结知识点的同时，注意推导数学公式的学习过程和所涉及的数学思想方法，学会表达和交流，使学生真正学会学习，提高分析、归纳、总结的能力.
（五）第五环节：课后作业
必做：课本第102页第1、2、3题.
选做：课本第102页第4题.
设计意图 对作业进行分层，对不同的学生提出不同的要求，使“人人都能获得良好的数学教育，使不同的人在数学上得到不同的发展”，从作业中了解学生基础知识与基本技能的掌握情况.
（六）第六环节：板书设计
设计意图 在多媒体的教学下，结构清晰、重点突出的板书具有不可替代的作用. 必要的板书有利于实现学生的思维与教学过程同步，有助于学生更好地把握教学内容脉络.
感悟与反思
1. 微课引路，个体预学
传统的数学公式教学大多是教师讲解、学生听练的模式，停留在机械记忆、反复操练公式上，而对公式的形成过程不够重视. 其实，数学公式教学应该让学生经历公式的形成过程，揭示公式的本质，掌握公式的结构特征. 在课堂教学中，受制于教学内容和时间，教师难以用大量的时间实施探究，因此，我们认为微课导学无疑是一种有效的途径，能给学生自主预习提供十分便利、快捷的学习环境. 本节课教学前，笔者精心制作符合学生认知水平的短小精悍的微视频——《弧长的计算公式炼成记》，配上2017年最火的民谣《成都》的伴奏音乐，为学生的预学创设生动活泼的教学情境. 课前，学生根据学习任务单，通过阅读教材内容进行文本预学，同时观看微视频，思考教师推送的预设问题，将困惑的、不理解的问题记录下来. 经历了再现弧长的计算公式的探索过程，学生积极主动地参与高层次思维的过程性学习活动，感悟到部分与整体的思想，自主生成、主动建构了弧长的计算公式，积累活动经验，内化知识间的联系，前后连贯，使后面对扇形的面积公式的探究水到渠成.
2. 互动通幽，意外精彩
在建构扇形的面积公式活动中，通过集体交流讨论，学生1指出：要求扇形的面积，可以先求圆的面积，再乘一个分数，这个分数就是圆心角的度数与周角的比值. 这一推导过程涵盖整式、分式的运算，对运算的基本技能要求较高. 师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围和有效的学习活动，唤起了学生的参与意识、问题意识，暴露了其思维过程，分享其所思所想的成果，使得學生对知识的理解更深刻，生成不期而遇的精彩. 笔者为精彩生成喝彩，又及时因势利导，让学生经过对比、思考，总结出一个更具有普遍性的规律：在同圆中，圆心角的度数与周角的比值、圆心角所对的弧长与圆周长的比值、扇形面积与圆面积的比值是相等的. 这种部分与整体的关系是弧长、扇形面积有关计算的重要依据和数学思想，能使教学活动收到较好的效果.
结束语
“三学互动”课堂教学模式是数学教学内容与信息技术有机融合的产物，通过个体预学、集体研学、团体助学，完成所需知识的三次内化，形成学习共同体. 学生逐步学会学习、学会探究、学会合作、学会创造，这是农村学校提高课堂教学效益的有效途径. 当然，教学是一门艺术，不应当也不能仅依赖一种教学方式来涵盖它的全部功能. 在实际教学活动中，教师应注重学生的认知水平，根据课型和教学内容、教学条件等因素，采用各种教学方式的优势与之深度融合，相互补充，相得益彰，形成自如驾驭课堂的教学风格.
[关键词] “三学互动”；理解建构；公式教学
2016年度福建省基础教育课程教学研究规划立项课题“农村初中数学微媒体下互动学习模式研究”自2016年9月开题以来，按计划扎实开展研究，取得阶段性的成果. 2017年2月22日，课题组在笔者所在学校开展“三学互动”课堂教学模式专题研训活动，推进了课题研究的进程. 笔者作为课题组的核心成员，利用“三学互动”课堂教学模式设计的“弧长及扇形的面积”得到大家的肯定和赞赏. 下面结合教学案例对“三学互动”课堂教学模式下如何开展公式教学进行简单介绍，并对其设计思路进行梳理和反思.
教学分析
1. 教学背景
（1）标准分析
《全日制义务教育数学课程标准》（2011版）（以下简称《标准》）对本节课教学内容的要求如下：会计算圆的弧长、扇形的面积.可以看出“会”的同类词是“理解”，是描述结果目标的行为动词，即“描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系”，因此，在教学过程中应引起教师的足够重视.
（2）教材分析
本节课的教学内容是北师大版数学九年级下册第三章“圆”中的第九节“弧长和扇形的面积”. 这是在小学已学习圆周长和面积计算、扇形的简单知识和在前阶段学完了与圆有关的知识的基础上进一步探究弧长公式和扇形面积公式的推导过程及其在实际问题中的应用，是圆的有关计算中的一个重要问题，应让学生感受类比、从特殊到一般的数学思想方法，并为学生今后的学习及生活更好地运用数学做准备.
（3）学情分析
学生已经学习了圆的有关基础知识，有一定的知识水平和自主学习、解决问题的能力，但是笔者所在学校是一所农村中学，学生的数学学习水平参差不齐，大多数学生对数学的理解仅仅停留在计算和直接套用公式的水平，对稍难的数学问题缺乏深入思考和探索的勇气. 因此，在教学中，笔者鼓励并引导学生进行预学、独立思考、合作互助、循序渐进，进一步探究弧长及扇形面积的计算公式和运用公式解决实际问题.
2. 教学目标
结合《标准》和教材结构与内容，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，制订如下教学目标.
知识与技能：能推导，并熟记弧长、扇形面积的计算公式，理解公式中每个字母的含义，并能应用公式进行计算.
过程与方法：经历用类比、联想的方法探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程，培养学生的自主探索能力.
情感态度与价值观：通过预学、研学、助学，激发学生学习数学的兴趣，提高其学习积极性.
3. 教学重、难点
从《标准》出发，在吃透教材的基础上，确立了如下教学重点、难点.
重点：弧长、扇形面积计算公式的推导，并能应用公式进行计算.
难点：弧长和扇形面积计算公式的灵活运用.
4. 教法、学法
采用“三学互动”课堂教学模式，即让学生通过课前个体预学、集体研学、群体助学，经历数学公式发生、发展、形成的“再创造”活动，获取广泛的数学活动经验，进而促进自身的发展.
凸显学生主体地位：学生根据教师给出的任务清单，自主、主动地思考，寻找解决问题的途径，完成教材阅读、解读微课（视频）、当堂测试，并归纳和梳理知识的特点、知识间的联系.
明晰教师主导作用：教师根据学生思维的起点预设问题，及时掌握课堂上生成的问题和存在的问题，针对性地组织研学、助学答疑解惑、归纳梳理.
教学过程
（一）第一环节：微课引路，个体预学
师生活动：课前，教师认真解读教材内容，根据学生实际认知水平制作《弧长的计算公式炼成记》微视频和学习任务单等学习材料，学生观看微视频进行自主学习，边看边思考，完成学习任务单，并在学习过程中记录重要知识、方法和困惑.
学习任务单
1. 半径为R的圆，周长是多少？圆可以看作是几度圆心角所对的弧？
2. 完成下面的表格.
（二）第二环节：探索新知，集体研学
1. 探究弧长计算公式
活动1：建构弧长计算公式
师生活动：学生相互交流自学中遇到的困惑. 教师巡查并参与交流，掌握学生的预学情况. 针对存在的疑惑，组织学生进行集体研讨，请预学充分的同学到讲台前展示，其他学生补充，教师适当点拨或有针对性地讲解. 通过讨论得到结论：圆心角对于周角，弧长对于圆周长，都是部分对于整体的关系，弧所对的圆心角是周角的几分之几，那么弧长就是圆周长的几分之几，所以弧所对的圆心角与周角的比值等于它與圆周长的比值，用这个比值乘以圆周长就能
设计意图 教师根据学生的预学情况，对学生生成的问题、存在的问题精心设计数学活动，组织学生集体研讨，暴露思维过程，分享所思所想的成果. 教师对重难点知识进行指导性梳理，基于部分对于整体的关系，体会从特殊到一般再到特殊的认知过程，自主建构出弧长计算公式. 这样能唤起学生的参与意识、问题意识，产生探究交流的学习渴望. 师生、生生之间互动研学、交流沟通，多次思维碰撞、反思，这样获得的知识会更深刻，也会为下面探究扇形的面积公式打下基础.
活动2：应用弧长计算公式
例题 制作弯形管道时，需要先按中心计算“展开长度”再下料. 如图1，试计算图中所示的管道的展直长度，即弧AB的长（结果精确到0.1 mm）.
练习 （1）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12 cm，求该扇形的弧长. （2）如果一条弧的长是π，半径是6，求这条弧所对的圆心角度数.
（3）求圆心角为120°、弧长为12π的弧的半径.
师生活动：学生先独立思考，接着同桌交流，最后进行全班展示. 教师进行适时评价和点拨，并强调：在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义.
设计意图 通过例题和练习的剖析，在加深对弧长公式的理解基础上，学生学会表达和交流，并学会创新应用弧长计算公式，熟练掌握公式中l，R，n三个量之间的换算关系，渗透方程思想.
2. 探究扇形的面积公式
活动1：建构扇形的面积公式
（1）教师引导学生类比探索弧长公式的方法，合作互助探究扇形面积公式.
（2）比较扇形面积公式和弧长公式，如何用弧长和半径表示扇形的面积？
设计意图 有了前面对弧长计算公式的探究，用部分和整体的思想，再去推导扇形面积公式，就迎刃而解了.在推导扇形面积计算的第二种方法时，要关注多种推导方法，锻炼学生探索新知识的能力，让其体验成功的快乐，形成类比思维能力.
活动2：应用扇形的面积公式
（1）课本第101页例2.
（2）已知扇形的圆心角为60°，扇形的面积为24π，则这个扇形的半径是多少？
（3）已知扇形的半径为2，扇形的面积为π，则这个扇形的圆心角是多少？
设计意图 通过练习，学生能熟练掌握扇形面积公式中S，R，n三个量的转化关系，只要知道其中两个就可以求第三个，渗透方程思想.
（三）第三环节：巩固提升，群体助学
活动内容：（1）如果扇形的半径为9，弧长为4π，那么扇形的面积是______.
（2）在田径二百米跑比赛中，有一段弯道是圆弧形的，它的半径为20米，所对的圆心角是90°，你能求出这段弯路的展直长度吗？ （π取3.14）
（3）已知圆上一段弧长为240π，半径为180，则这段弧所对的圆心角的度数是______.
（4）如图2，以等边三角形ABC的三个顶点为圆心、2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是______.
师生活动：学生先独立思考，小组合作互助完成上面4个问题. 教师巡视，发现学生存在的典型错误，用投影仪展示部分学生有代表性的作品，并适时点评. 学生集体交流订正答案后互讲，并进行解后反思.
设计意图 这四道习题涵盖本节的知识点、疑难点、关键点，并且从易到难，注重考查学生对其中所蕴含的数学本质的理解，对学生基础知识和基本技能达成情况进行评价. 通过教师助学、学生一对一的互助学习，能及时解决学生存在的问题，力争做到“题题清、堂堂清、人人清”.
（四）第四环节：课堂反思，总结归纳
师生活动：教师引导学生回顾“弧长和扇形面积公式怎么来”“怎么记”“怎么用”，以及所包含的数学思想. 教师根据情况进行补充、纠正或点评，出示知识体系，并强调知识的重难点，及时激励表现好的学生，树立典型，使学习氛围更加和谐.
设计意图 引导学生在总结知识点的同时，注意推导数学公式的学习过程和所涉及的数学思想方法，学会表达和交流，使学生真正学会学习，提高分析、归纳、总结的能力.
（五）第五环节：课后作业
必做：课本第102页第1、2、3题.
选做：课本第102页第4题.
设计意图 对作业进行分层，对不同的学生提出不同的要求，使“人人都能获得良好的数学教育，使不同的人在数学上得到不同的发展”，从作业中了解学生基础知识与基本技能的掌握情况.
（六）第六环节：板书设计
设计意图 在多媒体的教学下，结构清晰、重点突出的板书具有不可替代的作用. 必要的板书有利于实现学生的思维与教学过程同步，有助于学生更好地把握教学内容脉络.
感悟与反思
1. 微课引路，个体预学
传统的数学公式教学大多是教师讲解、学生听练的模式，停留在机械记忆、反复操练公式上，而对公式的形成过程不够重视. 其实，数学公式教学应该让学生经历公式的形成过程，揭示公式的本质，掌握公式的结构特征. 在课堂教学中，受制于教学内容和时间，教师难以用大量的时间实施探究，因此，我们认为微课导学无疑是一种有效的途径，能给学生自主预习提供十分便利、快捷的学习环境. 本节课教学前，笔者精心制作符合学生认知水平的短小精悍的微视频——《弧长的计算公式炼成记》，配上2017年最火的民谣《成都》的伴奏音乐，为学生的预学创设生动活泼的教学情境. 课前，学生根据学习任务单，通过阅读教材内容进行文本预学，同时观看微视频，思考教师推送的预设问题，将困惑的、不理解的问题记录下来. 经历了再现弧长的计算公式的探索过程，学生积极主动地参与高层次思维的过程性学习活动，感悟到部分与整体的思想，自主生成、主动建构了弧长的计算公式，积累活动经验，内化知识间的联系，前后连贯，使后面对扇形的面积公式的探究水到渠成.
2. 互动通幽，意外精彩
在建构扇形的面积公式活动中，通过集体交流讨论，学生1指出：要求扇形的面积，可以先求圆的面积，再乘一个分数，这个分数就是圆心角的度数与周角的比值. 这一推导过程涵盖整式、分式的运算，对运算的基本技能要求较高. 师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围和有效的学习活动，唤起了学生的参与意识、问题意识，暴露了其思维过程，分享其所思所想的成果，使得學生对知识的理解更深刻，生成不期而遇的精彩. 笔者为精彩生成喝彩，又及时因势利导，让学生经过对比、思考，总结出一个更具有普遍性的规律：在同圆中，圆心角的度数与周角的比值、圆心角所对的弧长与圆周长的比值、扇形面积与圆面积的比值是相等的. 这种部分与整体的关系是弧长、扇形面积有关计算的重要依据和数学思想，能使教学活动收到较好的效果.
结束语
“三学互动”课堂教学模式是数学教学内容与信息技术有机融合的产物，通过个体预学、集体研学、团体助学，完成所需知识的三次内化，形成学习共同体. 学生逐步学会学习、学会探究、学会合作、学会创造，这是农村学校提高课堂教学效益的有效途径. 当然，教学是一门艺术，不应当也不能仅依赖一种教学方式来涵盖它的全部功能. 在实际教学活动中，教师应注重学生的认知水平，根据课型和教学内容、教学条件等因素，采用各种教学方式的优势与之深度融合，相互补充，相得益彰，形成自如驾驭课堂的教学风格.