论文部分内容阅读
在江苏高考试卷中，概率统计题考试题型多为填空题，在前八题中出现，为中档题，本文从古典概型、几何概型和常见统计题三类题型中选取典型例题进行题型的介绍和方法的总结.
古典概型：
1.古典概型的判断：
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型.
2.对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件的概率问题去解决.
例1 （2012·安徽高考）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 .
解析：设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为（a，b1），（a，b2），（a，c1），（a，c2），（a，c3），（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共15个.
两球颜色为一白一黑的基本事件有（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3）共6个.
因此其概率为615=25.
方法小结：
计算古典概型事件的概率可分三步：（1）算出基本事件的总个数n;（2）求出事件A所包含的基本事件个数m;（3）代入公式求出概率P.
例2 （2012·江西高考）如图所示，从A1（1，0，0），A2（2，0，0），B1（0，1，0），B2（0，2，0），C1（0，0，1），C2（0，0，2）这6个点中随机选取3个点.
（1）求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率;
（2）求这3点与原点O共面的概率.
解析：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：
x轴上取2个点的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，共4种;
y轴上取2个点的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4种;
z轴上取2个点的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共4种.
所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8种.因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种.
（1）选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A1B1C1，A2B2C2，共2种，因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1=220=110.
（2）法一：选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有：A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12种，因此，这3个点与原点O共面的概率为P2=1220=35.
法二：选取的这3个点与原点不共面的所有可能的结果有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8种，因此这3个点与原点O共面的概率为P2=1-820=35.
例3 （2012·江苏高考）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 .
解析：由题意得an=（-3）n-1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P=610=35.
答案：35
方法小结：
求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型.必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.
几何概型
1.几何概型的特点：
几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关.
2.几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果.
（1）与长度、角度有关的几何概型
例4 （2011·湖南高考）已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25.
（1）圆C的圆心到直线l的距离为 ;
（2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为 .
解析：（1）根据点到直线的距离公式得d=255=5;
（2）设直线4x+3y=c到圆心的距离为3，则|c|5=3，取c=15，则直线4x+3y=15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x+3y=15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.
答案：5，16
方法小结：
求与长度（角度）有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度（角度），然后求解.确定点的边界位置是解题的关键.
（2）与面积有关的几何概型
例5 （1）（2012·湖北高考）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 . 解析：（1）法一：设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OA=OB=2，则OD=DA=DC=1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1=π4+12×1×1-（π4-12×1×1）=1，所以整体图形中空白部分面积S2=2.又因为S扇形OAB=14×π×22=π，所以阴影部分面积为S3=π-2.
所以P=π-2π=1-2π.
法二：连接AB，设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，令OA=2.
由题意知C∈AB且S弓形AC=S弓形BC=S弓形OC，
所以S空白=S△OAB=12×2×2=2.
又因为S扇形OAB=14×π×22=π，所以S阴影=π-2.
所以P=S阴影S扇形OAB=π-2π=1-2π.
方法小结：
求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率.这类问题常与线性规划知识联系在一起.
（3）与体积有关的几何概型
例6 在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 .
解析：（1）点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球的外部.记点P到点O的距离大于1为事件A，则P（A）=23-12×4π3×1323=1-π12.
方法小结：
与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：
对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化;也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域.
统计中常见题型
（1）用样本估计总体
例7 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为 .
解析：由题意知a×10+0.35+0.2+0.1+0.05=1，
则a=0.03，故学生人数为0.3×100=30.
1.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，而平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高的矩形的中点的横坐标.
2.注意区分直方图与条形图，条形图中的纵坐标刻度为频数或频率，直方图中的纵坐标刻度为频率/组距.
3.方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.
（2）用样本的频率分布估计总体分布
例8 （2012·广东高考）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].
（1）求图中a的值;
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分;
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数.
分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）
x∶y1∶12∶13∶44∶5
解析：（1）由频率分布直方图知（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1，解得a=0.005.
（2）由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73（分）.
（3）由频率分布直方图知语文成绩在[50，60），[60，70），[70，80），[80，90）各分数段的人数依次为0.005×10×100=5，0.04×10×100=40，0.03×10×100=30，0.02×10×100=20.
由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5，40×12=20，30×43=40，20×54=25.
故数学成绩在[50，90）之外的人数为100-（5+20+40+25）=10.
方法小结：
解决频率分布直方图问题时要抓住：
（1）直方图中各小长方形的面积之和为1.
（2）直方图中纵轴表示频率组距，故每组样本的频率为组距×频率组距，即矩形的面积.
（3）直方图中每组样本的频数为频率×总体数.
综上，在概率统计题型中，题型方法比较多，和高中阶段其他数学知识的联系比较多，注重对典型例题的分析和方法的总结有利于在高考中取得高的分数.
（作者：吴文辉，江苏省长泾中学）
古典概型：
1.古典概型的判断：
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型.
2.对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件的概率问题去解决.
例1 （2012·安徽高考）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 .
解析：设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为（a，b1），（a，b2），（a，c1），（a，c2），（a，c3），（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共15个.
两球颜色为一白一黑的基本事件有（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3）共6个.
因此其概率为615=25.
方法小结：
计算古典概型事件的概率可分三步：（1）算出基本事件的总个数n;（2）求出事件A所包含的基本事件个数m;（3）代入公式求出概率P.
例2 （2012·江西高考）如图所示，从A1（1，0，0），A2（2，0，0），B1（0，1，0），B2（0，2，0），C1（0，0，1），C2（0，0，2）这6个点中随机选取3个点.
（1）求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率;
（2）求这3点与原点O共面的概率.
解析：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：
x轴上取2个点的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，共4种;
y轴上取2个点的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4种;
z轴上取2个点的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共4种.
所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8种.因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种.
（1）选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A1B1C1，A2B2C2，共2种，因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1=220=110.
（2）法一：选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有：A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12种，因此，这3个点与原点O共面的概率为P2=1220=35.
法二：选取的这3个点与原点不共面的所有可能的结果有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8种，因此这3个点与原点O共面的概率为P2=1-820=35.
例3 （2012·江苏高考）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 .
解析：由题意得an=（-3）n-1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P=610=35.
答案：35
方法小结：
求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型.必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.
几何概型
1.几何概型的特点：
几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关.
2.几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果.
（1）与长度、角度有关的几何概型
例4 （2011·湖南高考）已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25.
（1）圆C的圆心到直线l的距离为 ;
（2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为 .
解析：（1）根据点到直线的距离公式得d=255=5;
（2）设直线4x+3y=c到圆心的距离为3，则|c|5=3，取c=15，则直线4x+3y=15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x+3y=15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.
答案：5，16
方法小结：
求与长度（角度）有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度（角度），然后求解.确定点的边界位置是解题的关键.
（2）与面积有关的几何概型
例5 （1）（2012·湖北高考）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 . 解析：（1）法一：设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OA=OB=2，则OD=DA=DC=1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1=π4+12×1×1-（π4-12×1×1）=1，所以整体图形中空白部分面积S2=2.又因为S扇形OAB=14×π×22=π，所以阴影部分面积为S3=π-2.
所以P=π-2π=1-2π.
法二：连接AB，设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，令OA=2.
由题意知C∈AB且S弓形AC=S弓形BC=S弓形OC，
所以S空白=S△OAB=12×2×2=2.
又因为S扇形OAB=14×π×22=π，所以S阴影=π-2.
所以P=S阴影S扇形OAB=π-2π=1-2π.
方法小结：
求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率.这类问题常与线性规划知识联系在一起.
（3）与体积有关的几何概型
例6 在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 .
解析：（1）点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球的外部.记点P到点O的距离大于1为事件A，则P（A）=23-12×4π3×1323=1-π12.
方法小结：
与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：
对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化;也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域.
统计中常见题型
（1）用样本估计总体
例7 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为 .
解析：由题意知a×10+0.35+0.2+0.1+0.05=1，
则a=0.03，故学生人数为0.3×100=30.
1.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，而平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高的矩形的中点的横坐标.
2.注意区分直方图与条形图，条形图中的纵坐标刻度为频数或频率，直方图中的纵坐标刻度为频率/组距.
3.方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.
（2）用样本的频率分布估计总体分布
例8 （2012·广东高考）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].
（1）求图中a的值;
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分;
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数.
分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）
x∶y1∶12∶13∶44∶5
解析：（1）由频率分布直方图知（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1，解得a=0.005.
（2）由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73（分）.
（3）由频率分布直方图知语文成绩在[50，60），[60，70），[70，80），[80，90）各分数段的人数依次为0.005×10×100=5，0.04×10×100=40，0.03×10×100=30，0.02×10×100=20.
由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5，40×12=20，30×43=40，20×54=25.
故数学成绩在[50，90）之外的人数为100-（5+20+40+25）=10.
方法小结：
解决频率分布直方图问题时要抓住：
（1）直方图中各小长方形的面积之和为1.
（2）直方图中纵轴表示频率组距，故每组样本的频率为组距×频率组距，即矩形的面积.
（3）直方图中每组样本的频数为频率×总体数.
综上，在概率统计题型中，题型方法比较多，和高中阶段其他数学知识的联系比较多，注重对典型例题的分析和方法的总结有利于在高考中取得高的分数.
（作者：吴文辉，江苏省长泾中学）