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“图形的相似”是初中数学的重要内容之一，是全等图形的延续与深化，在中考数学试题中占据着非常重要的位置.为了帮助同学们更好地掌握这部分知识，下面就让我们一起来看看在相似问题中都有哪些容易出现的错误吧.
一、 审题不清，忽视细节
例1 某市地图上有一块三角形草地，三边长分别为4 cm，5 cm，6 cm.已知这块三角形草地最短边的实际长度为80 m，求另外两条边的实际长度.
【错解】比例尺=图上距离∶实际距离=4∶80=1∶20，三角形草地的另外两条边的实际长度分别为：5×20=100（cm）， 6×20=120（cm）.
答：这块三角形草地的另外两条边的实际长度分别为100 cm和120 cm.
【分析】解题时先用图上距离∶实际距离求出比例尺，也就是两条线段在统一单位下的长度之比.这里有两点要注意：一是两条线段的比与采用的长度单位无关；二是如果给出的线段的长度单位不同，那么必须化为同一长度单位后再求线段的比.错解中就是忽略了将长度单位进行统一，从而导致了错误.
【正解】比例尺=图上距离∶实际距离=4∶8000=1∶2000，
三角形草地的另外两条边的实际长度分别为：
5×2 000=10 000（cm），即100 m，
6×2 000=12 000（cm），即120 m.
答：这块三角形草地的另外两条边的实际长度分别为100 m和120 m.
二、 概念不清，以偏概全
例2 下列说法中正确的是（ ）.
①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似；
②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；
③有一个角对应相等的平行四边形都相似；
④有一个角对应相等的菱形都相似.
A. ①② B. ②③
C. ③④ D. ②④
【错解】A.
【分析】对相似多边形的定义理解不全面，容易出现错误判断.两个边数相同的多边形相似，应同时具备两个条件：一是各角对应相等，二是各边对应成比例，两个条件缺一不可.①和③都只满足其中一个条件，所以不正确，而②和④均同时满足两个条件，因此是正确的.
【正解】D.
三、 对应关系不清，思维定式
例3 在 △ABC和 △A′B′C′中，若∠A=68°，∠B=40°，∠A′=68°，∠B′=72°，则这两个三角形（ ）.
A. 既全等又相似 B. 相似
C. 全等 D. 不能确定
【错解】D.
【分析】在解这道题目时，有些同学会这样做：∵∠A=∠A′，∠B ≠∠B′，∴△ABC和△A′B′C′不相似，从而选择D.这样做错在没有根据题意理解两个三角形相似的对应关系，而是由思维定式搭配它们的对应关系.正确的做法应该是：∵∠A=68°，∠B=40°，∴∠C=72°.∵∠A=∠A′，∠C=∠B′，∴△ABC∽△A′C′B′.
【正解】B.
例4 如图1，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=1∶2，DE=2，则BC的长是________.
【错解】4.
【分析】运用相似三角形对应边成比例的性质解题时，找准对应边非常关键.错解中就是因为找错了对应边，才导致求错BC的长.实际上△ADE中边AD的对应边是△ABC中的边AB，而不是DB.
【正解】∵在△ABC中，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.∴ = .
又∵AD∶DB=1∶2，DE=2，
∴ = .解得BC=6.
四、 考虑不周，导致漏解
例5 在△ABC中，∠C=90°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有（ ）.
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
【错解】B.
【分析】过点D作直线与另一边相交，所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个直角即可得到三角形相似.而作直角同学们自然会想到作垂线，但作垂线时，一些同学就只想到过点D做边AC和BC的垂线，忽略还可以作AB的垂线，所以符合题意的直线有三条，而不是2条.
【正解】C.
例6 如图3，在△ABC中，AB=10 cm，BC=20 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s的速度移动.如果点P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似？
【错解】设经过t秒时，△PBQ与△ABC相似，则AP=2t，BQ=4t，BP=10-2t，且 = ，即 = .解得t=2.5.
【分析】本题△PBQ与△ABC相似，由于对应关系不确定，所以需要分类讨论.有两种可能的情况：一是△PBQ∽△ABC；二是△QBP∽△ABC.
【正解】设经过t秒时，△PBQ与△ABC相似，则AP=2t，BQ=4t，BP=10-2t.
（1） 当△PBQ∽△ABC时，有 = ，即 = .解得t=2.5.
（2） 当△QBP∽△ABC时，有 = ，即 = .解得t=1.
综上所述，经过2.5秒或1秒时，△PBQ与△ABC相似.
近年来，相似问题一直是中考热点问题，大家一定要给予足够的重视.在实际解题的过程中，同学们一定要细致审题，认真分析，掌握方法，才能拨“错”见“正”，让自己的思维水平和解题能力得到真正的提高！
（作者单位：江苏省常州市金坛区洮西中学）
一、 审题不清，忽视细节
例1 某市地图上有一块三角形草地，三边长分别为4 cm，5 cm，6 cm.已知这块三角形草地最短边的实际长度为80 m，求另外两条边的实际长度.
【错解】比例尺=图上距离∶实际距离=4∶80=1∶20，三角形草地的另外两条边的实际长度分别为：5×20=100（cm）， 6×20=120（cm）.
答：这块三角形草地的另外两条边的实际长度分别为100 cm和120 cm.
【分析】解题时先用图上距离∶实际距离求出比例尺，也就是两条线段在统一单位下的长度之比.这里有两点要注意：一是两条线段的比与采用的长度单位无关；二是如果给出的线段的长度单位不同，那么必须化为同一长度单位后再求线段的比.错解中就是忽略了将长度单位进行统一，从而导致了错误.
【正解】比例尺=图上距离∶实际距离=4∶8000=1∶2000，
三角形草地的另外两条边的实际长度分别为：
5×2 000=10 000（cm），即100 m，
6×2 000=12 000（cm），即120 m.
答：这块三角形草地的另外两条边的实际长度分别为100 m和120 m.
二、 概念不清，以偏概全
例2 下列说法中正确的是（ ）.
①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似；
②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；
③有一个角对应相等的平行四边形都相似；
④有一个角对应相等的菱形都相似.
A. ①② B. ②③
C. ③④ D. ②④
【错解】A.
【分析】对相似多边形的定义理解不全面，容易出现错误判断.两个边数相同的多边形相似，应同时具备两个条件：一是各角对应相等，二是各边对应成比例，两个条件缺一不可.①和③都只满足其中一个条件，所以不正确，而②和④均同时满足两个条件，因此是正确的.
【正解】D.
三、 对应关系不清，思维定式
例3 在 △ABC和 △A′B′C′中，若∠A=68°，∠B=40°，∠A′=68°，∠B′=72°，则这两个三角形（ ）.
A. 既全等又相似 B. 相似
C. 全等 D. 不能确定
【错解】D.
【分析】在解这道题目时，有些同学会这样做：∵∠A=∠A′，∠B ≠∠B′，∴△ABC和△A′B′C′不相似，从而选择D.这样做错在没有根据题意理解两个三角形相似的对应关系，而是由思维定式搭配它们的对应关系.正确的做法应该是：∵∠A=68°，∠B=40°，∴∠C=72°.∵∠A=∠A′，∠C=∠B′，∴△ABC∽△A′C′B′.
【正解】B.
例4 如图1，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=1∶2，DE=2，则BC的长是________.
【错解】4.
【分析】运用相似三角形对应边成比例的性质解题时，找准对应边非常关键.错解中就是因为找错了对应边，才导致求错BC的长.实际上△ADE中边AD的对应边是△ABC中的边AB，而不是DB.
【正解】∵在△ABC中，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.∴ = .
又∵AD∶DB=1∶2，DE=2，
∴ = .解得BC=6.
四、 考虑不周，导致漏解
例5 在△ABC中，∠C=90°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有（ ）.
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
【错解】B.
【分析】过点D作直线与另一边相交，所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个直角即可得到三角形相似.而作直角同学们自然会想到作垂线，但作垂线时，一些同学就只想到过点D做边AC和BC的垂线，忽略还可以作AB的垂线，所以符合题意的直线有三条，而不是2条.
【正解】C.
例6 如图3，在△ABC中，AB=10 cm，BC=20 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s的速度移动.如果点P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似？
【错解】设经过t秒时，△PBQ与△ABC相似，则AP=2t，BQ=4t，BP=10-2t，且 = ，即 = .解得t=2.5.
【分析】本题△PBQ与△ABC相似，由于对应关系不确定，所以需要分类讨论.有两种可能的情况：一是△PBQ∽△ABC；二是△QBP∽△ABC.
【正解】设经过t秒时，△PBQ与△ABC相似，则AP=2t，BQ=4t，BP=10-2t.
（1） 当△PBQ∽△ABC时，有 = ，即 = .解得t=2.5.
（2） 当△QBP∽△ABC时，有 = ，即 = .解得t=1.
综上所述，经过2.5秒或1秒时，△PBQ与△ABC相似.
近年来，相似问题一直是中考热点问题，大家一定要给予足够的重视.在实际解题的过程中，同学们一定要细致审题，认真分析，掌握方法，才能拨“错”见“正”，让自己的思维水平和解题能力得到真正的提高！
（作者单位：江苏省常州市金坛区洮西中学）