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作为数学核心素养之一的推理能力该如何培养，是广大教师关注的热点问题之一。笔者认为，在数学学习过程中，应以具体学习内容为载体，以问题解决为主线，通过创设探索情境，引导学生充分思考、动手实践，充分经历画图、列表、假设、猜想、验证等过程，把培养学生的推理能力落到实处。本文就人教版四下第九单元“鸡兔同笼”一课，谈谈笔者的思考和体会。
一、学情分析
在学习“鸡兔同笼”问题之前，学生已经有过用假设法解决问题的经验，但因为鸡兔同笼问题的数量关系比较隐蔽且抽象，中年级学生思维以具体形象思维为主，他们理解起来有困难。如果没有有效的启发和引导，一部分学生可能不知道怎样根据假设产生的“矛盾”进行推理。在应用过程中，有的学生可能会停留在表面素材的认识，不能根据内在数量关系的特征来理解和应用，造成“只知鸡兔，不知其他”，碰到类似的问题无从下手，也就是不会类比联想，不能学以致用。
二、教学策略建议
本节课应让学生亲身经历鸡兔同笼问题解决的过程，通过猜想验证、讨论交流等方式，让学生在推理思考的过程中了解和感悟数学思想，掌握不同的解题策略和方法。就具体方法而言，主要有画图法、列表法、假设法等。
1. 画图尝试，直观推理。
用画图法解决鸡兔同笼問题，部分教师觉得既费时又麻烦，在教学过程中不重视给予呈现和引导。但笔者认为，画图法至少有三个好处：其一，内隐的数量关系以直观的手段呈现，体现了几何直观的高级思维方式，有利于发展学生解决问题的策略。其二，适应中年级学生以具体形象为主的思维特点，学生借助直观的手段进行推理，让数学内容变得容易理解。其三，数与形之间的变化，让数学学习过程变得新奇有趣，有利于激发学生学习数学的积极情感。
在例1教学中，鸡兔数量总和比较少（8只），可以先尝试用画图法进行直观推理。教师可以先教学生用简图表示鸡和兔，本题讲的是头和腿的问题，所以可以用“○”表示头，用“|”表示腿。然后，可以让学生自己尝试用画图法解决问题。学生呈现的思路可能有以下两种：其一，先1只鸡对应1只兔画，画完3只鸡和兔时，还剩下2个头，8条腿，即剩下2只兔，总共是3只鸡和5只兔。其二，分别画4只鸡和4只兔，发现腿的总条数少了2只腿，把一只鸡换成一只兔，变成3只鸡和5只兔。在第一种思路中，在学生分别画了3只鸡和3只兔时，教师可以依次提问如下：“还剩下几个头几只腿没有画？”“剩下2个头8条腿，说明剩下的动物可能是2只鸡吗？”“可能是1只鸡1只兔吗？”“为什么是剩下2只兔？”通过上述提问启发学生完成思维推理过程。在第二种思路中，应先引导学生发现推理中的矛盾：鸡兔总数满8只，腿还差2条。然后让学生围绕以下问题进行讨论：“腿差2条，可以再画1只鸡吗？”“如何在不改变鸡兔总数的前提下解决少2条腿的问题？”“这时候鸡有几只？兔有几只？”推理的特征在于严密性和逻辑性，上述这些问题的设计，既可以帮助学生自主完成思维推理的过程，还可以启发学生在思考讨论的过程中感受推理的特征。
2. 表格调整，比较推理。
画图法虽然直观，但如果鸡兔总数比较多，又需要逐一枚举各种情况的时候，可以用表格法解决问题。这也是初中数学常用的解题方法。很多学生不愿意使用逐一枚举的方法，认为太烦琐，有些教师也不够重视。其实，表格法看上去烦琐，但是对于培养推理能力而言却又独具价值。借助列表，学生可以把所有的情况逐一展现，能做到既不重复也不遗漏，培养学生有序思考的习惯。也可以让学生观察表格中数字的变化特征，发现隐藏的数量关系和规律。在借助表格法解决鸡兔同笼问题时，学生呈现的策略一般有三种：逐一枚举、取中枚举或极值列表。
在用逐一枚举法列表时，教师可以先呈现“鸡兔一共有8只”这个条件帮助学生做一些必要的梳理，如“鸡兔分别有几只，一共有几种可能？”逐一枚举的过程其实就是一个推理的过程，教师要注意训练学生做到不重复不遗漏，当然，也可以观察算式对称性特点（如0+8，1+7，2+6，3+5，4+4，5+3等），得到一共有9种可能，这就提升了推理的思维活动经验。
值得一提的是，学生尝试用枚举验证的方法时，如果按顺序依次枚举，最少尝试4次就可以找到答案，反之，如果是杂乱的枚举，最多需要9次才能找到正确结果。当然，教师不应满足于解决鸡兔只数的问题，可以呈现所有的情况，让学生观察其中的规律，如表1。
让学生明白，“在鸡兔总数不变的情况下，鸡每增加一只，总腿数就减少2条”，反之，“在鸡兔总数不变的情况下，兔每增加一只，总腿数就增加2条”。明白了这个道理，教师可以从优化推理的角度引导学生不断优化枚举的过程。如，当枚举出现“5只鸡3只兔”的时候，总腿数需要增加4条，只要把其中的2只鸡换成2只兔即可。教师还可以借助表格让学生充分举例进行推理调整，比如出现“7只鸡1只兔、2只鸡6只兔时……”让学生充分说理，多次经历推理思考过程。
有的学生可能会根据总数为8这个偶数特征，提出取中枚举的思路，即从“4只鸡，4只兔”出发，进行推理。教师可以抓住推理过程中的矛盾，启发学生思考并表达自己的看法：“当鸡兔只数都为4只时，比总腿数少了2条，该怎么办？”“把兔换成鸡还是把鸡换成兔？为什么？”“需要把几只鸡换成兔？为什么？”
3. 假设推理，优化推理。
前面已经提到，如果仅从“鸡兔总数共8只”这个条件出发进行假设，一共可以呈现9种不同的情况，但有些极端的假设可以用推理的方式排除，比如问学生“这8只有可能都是鸡吗？有可能都是兔吗？为什么？”学生很容易排除这两种假设。但这种假设是不是都没有意义呢？笔者认为，假设是推理的前提，教材中呈现的假设法其实就是利用这种极端的情况——“假设全部是鸡或全部是兔”来思考推理。从这个思维层面上讲，列表其实也是假设法的一种表现形式，假设法可以看成是对列表法的进一步抽象和提升。因此，教学“鸡兔同笼”问题，要把假设的思想方法作为解决“鸡兔同笼”问题所有方法中最基本的解题方法，在教学中应该将直观的列表法与抽象的假设法进行沟通与联系，借助列表让学生真正理解假设法，以发展学生的思维能力。 值得一提的是，学生在用假设法进行解题时，经常会遇到张冠李戴的尴尬：只知机械套用假设法思路列式计算，却不知道算出来的结果是鸡的只数还是兔的只数，或者误认为假设是兔（鸡），求出来的也是兔（鸡）。这都说明学生并没有真正理解假设法。因此，在教学过程中更有必要让学生经历清晰的推理过程，这个推理过程的核心其实是替换的思路，教师可设计一些环环相扣的问题让学生充分经历逻辑推理的过程。例如，“假设全是鸡，会遇到什么问题？”“如果是总腿数多了要怎么办？总腿数少了又要怎么办？”“如果是把鸡（兔）换成兔（鸡），求出来的结果是谁的只数？为什么？”
当然，在掌握鸡兔同笼的结构特征和解题方法之后，教师还可以再通過变式练习进行拓展，比如用鸡兔同笼问题的思维方式解答“龟鹤问题”，或者“自行车三轮车”等问题。在变式练习的过程中应注意引导学生从结构特征和数量关系方面来实现推理思考，经历问题解决的过程。
三、教学片段例举
【教学片段1】
师：如果不列表，你能计算出鸡和兔的只数吗？
师：除了用列表法，我们还可以用假设法来解答。
（1）假设全是鸡。
师：假设全是鸡，会遇到什么问题？
生：8只鸡就有16条腿，就比总腿数少了10条腿。
师：为什么？
生：8只中有一些是兔，把它们算作是鸡了。
生：1只兔看作是1只鸡，就少算了2条腿。
师：那我们要怎么办？
生：要把鸡换成兔，因为这样腿数才能增加。
师：替换之后，鸡兔总数会变化吗？
生：不会。
师：如果把鸡换成兔，求出来的结果是谁的只数？
生：因为1只鸡换成1只兔，就会多2条腿，10除以2等于5，所以要5只兔去换鸡，求出来就是兔的只数。
师：那鸡的只数你会求吗？
生：8-5=3。
让学生列式解答，并说出每道算式的意义。
假设全是兔（方法同上）
总结：在假设法解题时，如果假设全部都是鸡，先求出来的是谁的只数？如果假设全部都是兔，先求出来的是谁的只数？
【教学片段2】
习题1：有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？
师：上面这个问题和“鸡兔同笼”问题有什么相似之处？
生：鹤是2条腿，龟是4条腿。
生：我们可以把鹤看作是2条腿的鸡，把龟看作是4条腿的兔。
师：你会用鸡兔同笼问题的方法解答这道题吗？
学生独立解答，集体评议。
习题2：自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？
师：这道题和鸡兔同笼问题有什么不同？
生：这次变成了2条“腿”的自行车和3条“腿”的三轮车了，腿的条数变了。
师：还可以用鸡兔同笼的方法来解答这道题吗？
生：还可以用假设法解答。
让学生独立解答，有困难时教师予以引导。
（作者单位：湖北省红安县实验小学）
一、学情分析
在学习“鸡兔同笼”问题之前，学生已经有过用假设法解决问题的经验，但因为鸡兔同笼问题的数量关系比较隐蔽且抽象，中年级学生思维以具体形象思维为主，他们理解起来有困难。如果没有有效的启发和引导，一部分学生可能不知道怎样根据假设产生的“矛盾”进行推理。在应用过程中，有的学生可能会停留在表面素材的认识，不能根据内在数量关系的特征来理解和应用，造成“只知鸡兔，不知其他”，碰到类似的问题无从下手，也就是不会类比联想，不能学以致用。
二、教学策略建议
本节课应让学生亲身经历鸡兔同笼问题解决的过程，通过猜想验证、讨论交流等方式，让学生在推理思考的过程中了解和感悟数学思想，掌握不同的解题策略和方法。就具体方法而言，主要有画图法、列表法、假设法等。
1. 画图尝试，直观推理。
用画图法解决鸡兔同笼問题，部分教师觉得既费时又麻烦，在教学过程中不重视给予呈现和引导。但笔者认为，画图法至少有三个好处：其一，内隐的数量关系以直观的手段呈现，体现了几何直观的高级思维方式，有利于发展学生解决问题的策略。其二，适应中年级学生以具体形象为主的思维特点，学生借助直观的手段进行推理，让数学内容变得容易理解。其三，数与形之间的变化，让数学学习过程变得新奇有趣，有利于激发学生学习数学的积极情感。
在例1教学中，鸡兔数量总和比较少（8只），可以先尝试用画图法进行直观推理。教师可以先教学生用简图表示鸡和兔，本题讲的是头和腿的问题，所以可以用“○”表示头，用“|”表示腿。然后，可以让学生自己尝试用画图法解决问题。学生呈现的思路可能有以下两种：其一，先1只鸡对应1只兔画，画完3只鸡和兔时，还剩下2个头，8条腿，即剩下2只兔，总共是3只鸡和5只兔。其二，分别画4只鸡和4只兔，发现腿的总条数少了2只腿，把一只鸡换成一只兔，变成3只鸡和5只兔。在第一种思路中，在学生分别画了3只鸡和3只兔时，教师可以依次提问如下：“还剩下几个头几只腿没有画？”“剩下2个头8条腿，说明剩下的动物可能是2只鸡吗？”“可能是1只鸡1只兔吗？”“为什么是剩下2只兔？”通过上述提问启发学生完成思维推理过程。在第二种思路中，应先引导学生发现推理中的矛盾：鸡兔总数满8只，腿还差2条。然后让学生围绕以下问题进行讨论：“腿差2条，可以再画1只鸡吗？”“如何在不改变鸡兔总数的前提下解决少2条腿的问题？”“这时候鸡有几只？兔有几只？”推理的特征在于严密性和逻辑性，上述这些问题的设计，既可以帮助学生自主完成思维推理的过程，还可以启发学生在思考讨论的过程中感受推理的特征。
2. 表格调整，比较推理。
画图法虽然直观，但如果鸡兔总数比较多，又需要逐一枚举各种情况的时候，可以用表格法解决问题。这也是初中数学常用的解题方法。很多学生不愿意使用逐一枚举的方法，认为太烦琐，有些教师也不够重视。其实，表格法看上去烦琐，但是对于培养推理能力而言却又独具价值。借助列表，学生可以把所有的情况逐一展现，能做到既不重复也不遗漏，培养学生有序思考的习惯。也可以让学生观察表格中数字的变化特征，发现隐藏的数量关系和规律。在借助表格法解决鸡兔同笼问题时，学生呈现的策略一般有三种：逐一枚举、取中枚举或极值列表。
在用逐一枚举法列表时，教师可以先呈现“鸡兔一共有8只”这个条件帮助学生做一些必要的梳理，如“鸡兔分别有几只，一共有几种可能？”逐一枚举的过程其实就是一个推理的过程，教师要注意训练学生做到不重复不遗漏，当然，也可以观察算式对称性特点（如0+8，1+7，2+6，3+5，4+4，5+3等），得到一共有9种可能，这就提升了推理的思维活动经验。
值得一提的是，学生尝试用枚举验证的方法时，如果按顺序依次枚举，最少尝试4次就可以找到答案，反之，如果是杂乱的枚举，最多需要9次才能找到正确结果。当然，教师不应满足于解决鸡兔只数的问题，可以呈现所有的情况，让学生观察其中的规律，如表1。
让学生明白，“在鸡兔总数不变的情况下，鸡每增加一只，总腿数就减少2条”，反之，“在鸡兔总数不变的情况下，兔每增加一只，总腿数就增加2条”。明白了这个道理，教师可以从优化推理的角度引导学生不断优化枚举的过程。如，当枚举出现“5只鸡3只兔”的时候，总腿数需要增加4条，只要把其中的2只鸡换成2只兔即可。教师还可以借助表格让学生充分举例进行推理调整，比如出现“7只鸡1只兔、2只鸡6只兔时……”让学生充分说理，多次经历推理思考过程。
有的学生可能会根据总数为8这个偶数特征，提出取中枚举的思路，即从“4只鸡，4只兔”出发，进行推理。教师可以抓住推理过程中的矛盾，启发学生思考并表达自己的看法：“当鸡兔只数都为4只时，比总腿数少了2条，该怎么办？”“把兔换成鸡还是把鸡换成兔？为什么？”“需要把几只鸡换成兔？为什么？”
3. 假设推理，优化推理。
前面已经提到，如果仅从“鸡兔总数共8只”这个条件出发进行假设，一共可以呈现9种不同的情况，但有些极端的假设可以用推理的方式排除，比如问学生“这8只有可能都是鸡吗？有可能都是兔吗？为什么？”学生很容易排除这两种假设。但这种假设是不是都没有意义呢？笔者认为，假设是推理的前提，教材中呈现的假设法其实就是利用这种极端的情况——“假设全部是鸡或全部是兔”来思考推理。从这个思维层面上讲，列表其实也是假设法的一种表现形式，假设法可以看成是对列表法的进一步抽象和提升。因此，教学“鸡兔同笼”问题，要把假设的思想方法作为解决“鸡兔同笼”问题所有方法中最基本的解题方法，在教学中应该将直观的列表法与抽象的假设法进行沟通与联系，借助列表让学生真正理解假设法，以发展学生的思维能力。 值得一提的是，学生在用假设法进行解题时，经常会遇到张冠李戴的尴尬：只知机械套用假设法思路列式计算，却不知道算出来的结果是鸡的只数还是兔的只数，或者误认为假设是兔（鸡），求出来的也是兔（鸡）。这都说明学生并没有真正理解假设法。因此，在教学过程中更有必要让学生经历清晰的推理过程，这个推理过程的核心其实是替换的思路，教师可设计一些环环相扣的问题让学生充分经历逻辑推理的过程。例如，“假设全是鸡，会遇到什么问题？”“如果是总腿数多了要怎么办？总腿数少了又要怎么办？”“如果是把鸡（兔）换成兔（鸡），求出来的结果是谁的只数？为什么？”
当然，在掌握鸡兔同笼的结构特征和解题方法之后，教师还可以再通過变式练习进行拓展，比如用鸡兔同笼问题的思维方式解答“龟鹤问题”，或者“自行车三轮车”等问题。在变式练习的过程中应注意引导学生从结构特征和数量关系方面来实现推理思考，经历问题解决的过程。
三、教学片段例举
【教学片段1】
师：如果不列表，你能计算出鸡和兔的只数吗？
师：除了用列表法，我们还可以用假设法来解答。
（1）假设全是鸡。
师：假设全是鸡，会遇到什么问题？
生：8只鸡就有16条腿，就比总腿数少了10条腿。
师：为什么？
生：8只中有一些是兔，把它们算作是鸡了。
生：1只兔看作是1只鸡，就少算了2条腿。
师：那我们要怎么办？
生：要把鸡换成兔，因为这样腿数才能增加。
师：替换之后，鸡兔总数会变化吗？
生：不会。
师：如果把鸡换成兔，求出来的结果是谁的只数？
生：因为1只鸡换成1只兔，就会多2条腿，10除以2等于5，所以要5只兔去换鸡，求出来就是兔的只数。
师：那鸡的只数你会求吗？
生：8-5=3。
让学生列式解答，并说出每道算式的意义。
假设全是兔（方法同上）
总结：在假设法解题时，如果假设全部都是鸡，先求出来的是谁的只数？如果假设全部都是兔，先求出来的是谁的只数？
【教学片段2】
习题1：有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？
师：上面这个问题和“鸡兔同笼”问题有什么相似之处？
生：鹤是2条腿，龟是4条腿。
生：我们可以把鹤看作是2条腿的鸡，把龟看作是4条腿的兔。
师：你会用鸡兔同笼问题的方法解答这道题吗？
学生独立解答，集体评议。
习题2：自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？
师：这道题和鸡兔同笼问题有什么不同？
生：这次变成了2条“腿”的自行车和3条“腿”的三轮车了，腿的条数变了。
师：还可以用鸡兔同笼的方法来解答这道题吗？
生：还可以用假设法解答。
让学生独立解答，有困难时教师予以引导。
（作者单位：湖北省红安县实验小学）