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在高中数学中，有一类题目是关于函数的，而在函数中，求解函数的极值和根据函数的极值来求解问题又占了很大的比例，因此有必要谈谈函数的极值的解法和类型。
一、求简单函数的极值
例1 求下列函数的极值：
（1）f（x）=x2e-x；（2）f（x）=2xx2+1-2。
解：（1）函数的定义域为R，f′（x）=2xe-x-x2e-x=x（2-x）e-x，令f′（x）=0，得x=0或x=2。当x<0或x>2时，f′（x）<0，所以函数f（x）在-∞，0和2，+∞上是减函数；当00，所以函数f（x）在（0，2）上是增函数。所以当x=0时，函数取得极小值f（0）=0；当x=2时，函数取得极大值f（2）=4e-2。
（2）函数的定义域为R，令f′（x）=0，得x=±1。当x<-1或x>1时，f′（x）<0，所以函数f（x）在-∞，-1和1，+∞上是减函数；当-10，所以函数f（x）在（-1，1）上是增函数。所以当x=-1时，函数取得极小值f（-1）=-3；当x=1时，函数取得极大值f（1）=-1。
二、复杂函数的极值
例2 求下列函数的极值：
（1）f（x）=3x2（x-5）；（2）f（x）=|x2-x-6|。
解：（1）f′（x）=233x（x-5）+3x2=2（x-5）+3x33x=5（x-2）33x。令f′（x）=0，解得x=2，但x=0也可能是极值点。当x<0或x>2时，f′（x）>0，所以函数f（x）在-∞，0和2，+∞上是增函数；当0 （2）去绝对值得：
f（x）x2-x-6，（x≤-2或x≥3），-x2+x+6，（-2 f′（x）2x-1，（x<-2或x>3），-2x+1，（-2 令f′（x）=0，得x=12。当x<-2或123或-20，所以函数f（x）在3，+∞和-2，12上是增函数。所以当x=-2和x=3时，函数f（x）有极小值0；当x=12时，函数有极大值254。
三、根据函数的极值确定参数的值
例3 已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=±1时取得极值，且f（1）=-1。
（1）试求常数a、b、c的值；
（2）试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由。
解：（1）由f′（-1）=f′（1）=0得3a+2b+c=0，3a-2b+c=0，又f（1）=-1，所以a+b+c=-1。
解得a=12，b=0，c=-32。
（2）f（x）=12x3-32x，所以f′（x）=32x2-32=32（x-1）（x+1）。当x<-1或x>1時，f′（x）>0，当-1 作者单位：河北省张家口市宣化第一中学
一、求简单函数的极值
例1 求下列函数的极值：
（1）f（x）=x2e-x；（2）f（x）=2xx2+1-2。
解：（1）函数的定义域为R，f′（x）=2xe-x-x2e-x=x（2-x）e-x，令f′（x）=0，得x=0或x=2。当x<0或x>2时，f′（x）<0，所以函数f（x）在-∞，0和2，+∞上是减函数；当0
（2）函数的定义域为R，令f′（x）=0，得x=±1。当x<-1或x>1时，f′（x）<0，所以函数f（x）在-∞，-1和1，+∞上是减函数；当-1
二、复杂函数的极值
例2 求下列函数的极值：
（1）f（x）=3x2（x-5）；（2）f（x）=|x2-x-6|。
解：（1）f′（x）=233x（x-5）+3x2=2（x-5）+3x33x=5（x-2）33x。令f′（x）=0，解得x=2，但x=0也可能是极值点。当x<0或x>2时，f′（x）>0，所以函数f（x）在-∞，0和2，+∞上是增函数；当0
f（x）x2-x-6，（x≤-2或x≥3），-x2+x+6，（-2
三、根据函数的极值确定参数的值
例3 已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=±1时取得极值，且f（1）=-1。
（1）试求常数a、b、c的值；
（2）试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由。
解：（1）由f′（-1）=f′（1）=0得3a+2b+c=0，3a-2b+c=0，又f（1）=-1，所以a+b+c=-1。
解得a=12，b=0，c=-32。
（2）f（x）=12x3-32x，所以f′（x）=32x2-32=32（x-1）（x+1）。当x<-1或x>1時，f′（x）>0，当-1