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[摘 要] 为了避免学生学习例题时生搬硬套和思维定势，教师在例题教学时对例题要充分变式，例题变式主要包括一题多解（证）变式、一题多变变式，多题一解（一法多用）变式。例题变式设计要注意差异性、层次性、开阔性、灵活性。
[关键词] 变式、例题
例题的教学是数学教学的重要组成部分，是把知识、技能、思想和方法联系起来的一条纽带。但是学生在学习过程中，往往容易形成思维定势，套用固定的解题模式，造成思维僵化。因而在例题、习题教学中，当学生获得某种基本解法后，应通过改变题目的条件、探求题目的结论、改变情境等多种途径，强化学生对知识和方法的理解、掌握和变通，帮助他们对问题进行多方向、多角度、多层次的思考，使思维不局限于固定的理解和某一固定的模式，从而提出新问题或获得同一问题的多种解答或多种结果。一组由浅入深、富有启发性和探索性的变式题组，能激发学生的兴趣，引导学生多角度思考问题，培养灵活转换和积极探索的能力，从而提高思维的层次。
一、例题变式分类
例题变式主要包括一题多解（证）变式、一题多变变式，多题一解（一法多用）变式。
1、一题多解（证）变式
即对同一个数学问题，引导学生在所学的知识范围内尽可能地提出不同的解题构想和方法，从而达到培养发散思维和创新意识，总结规律、方法，提高数学能力的目的。一题多解的实质是以不同的论证方式，反映条件和结论的必然本质联系。在教学中教师积极引导学生从各种途径，用多种方法去思考问题。有些问题多种方法求解，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系，对发展学生的创造性思维，起着铺路架桥的作用。
例如：求证“等腰三角形两腰上的高相等”。这是一道文字证明题，引导学生转化成用几何符号表达的几何证明题。
以上各种证法，沟通了不同知识间的内在联系，达到了深化知识，融会贯通
的目的。这样的例子很多，尤其是几何证明题中，许多证明题都有多种证法。当
然，列出各种证法后，教师还应要求学生筛选出最佳方法，这也是多向思维的最
终目的，以达到经济思维的目的。通过引导学生对同一来源材料，从不同角度、
不同方位思考问题，寻求某类问题的解题规律或一题多解，从而拓广了思路，使
思维辐射展开，培养了思维的发散性，这不仅能强化学生对基础知识的理解和掌
握，而且对开发智力，启迪学生的创造欲望也大有裨益。
2、一题多变变式
就是通过对某一题目进行条件变换、结论探索、逆向思考、图形变化等多角度、多方位的探讨，使一个题变为一类题，达到举一反
触类旁通的目的，进而培养学生的良好思维品质及探索、创新能力。
例如：如图 在△ ABC中，D是BC边上一点，E是AD中点，过A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF
（1）求征：D是BC的中点。
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。
此题第二小题中，可进行以下的条件变式：
（3）如果∠BAC=90度，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。
（4）如果∠BAC=90度，AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。
当然，上面（2）（3）（4）小题也可以逆向思考。
（1）如果四边形AFBD是矩形，试判断 △ABC的形状，并证明你的结论。
（2）如果四边形AFBD是菱形，试判断△ABC的形状，并证明你的结论。
（3）如果四边形AFBD是正方形，试判断 △ABC的形状，并证明你的结论。
3、多题一解（一法多用）变式
数学中有许多不同的分支，同一分支内又常被划分为若干个单元。不同分支之间或同一分支的不同单元之间，常常会出现许多内容上的相互转换与渗透，据此，我们可以将某一单元的题目改变表达形式而变为另一单元的题目，但题目本质不变，解答方法相同。另外，通过互为逆否命题转换而得到等价命题，不同题型之间的转换，如选择题转换为填空题，解答题变为证明题、探索开放题等，都属于多题一解的范围。题型变式有助于学生透彻理解题目的本质属性，开阔解题思路，提高解题能力。
例如：（1）已知y是x的一次函数，当x=5时，y=7.5 ，当x=6时，y=7.2，求当x=0时，y的值。
（2）、已知弹簧的长度 y（厘米）在一定的限度内是所挂重物质量 x（千克）的一次函数.现已测得挂5千克质量的重物时，弹簧的长度是7.5厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米.求当不挂重物时弹簧的长度。
（3）、如图是弹簧的长度y（厘米）与在一定的限度内所挂重物质量 x（千克）的函数图像，则不挂重物时弹簧的长度为 。
二、例题变式设计注意事项
数学变式设计要巧，要有一定的艺术性，要正确把握变式的“度”。一般地，数学例题变式设计应注意以下几个问题：
1.差异性
强调一个“变”字，避免简单的重复。变式题组的题目之间要有明显的差异。对每道题，要使学生既感到熟悉，又感到新鲜。从心理学角度看，新鲜的题目给学生的刺激性强，学生的神经兴奋度高，做题时注意力集中，积极性大，思维敏捷，使训练达到较好的效果。因此，设计数学变式，要努力做到变中求“活”，变中求“新”，变中求“异”，变中求“广”。
2.层次性
所设计的数学习题变式要有一定的难度，才能调动学生积极思考。但是，变式要由易到难，层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区，充分激发学生的好奇心和求知欲。要让学生经过思考，能够跨过一个个“门坎”，既起到训练的作用，又可以培养学生的思维能力，发展学生的智力。
3.开阔性
一幅好画，境界开阔，就会令人回味无穷。同样，设计数学习题变式，一定要内涵丰富，境界开阔，给学生留下充足的思维空间。因此，所选范例必须具有典型性：一要注意知识的横向联系；二要能够进行一题多解；三要具有延伸性，可进行一题多变。
4.灵活性
根据教学内容和学生实际情况，数学变式训练的方式要灵活多样，口头、书面、板演均可，力求使学生独立练习和教师启发引导下的半独立练习相结合。同时，根据教学内容，有时可分散训练，有时可集中训练，有时一个题目的变式可分几次完成，充分展现知识螺旋上升的方式。这种灵活的训练方式，不仅可以提高学生的兴趣，集中学生的注意力，而且可以使学生的多种感官参与学习，提高大脑和神经的兴奋度，达到最佳的训练效果。
波利亚在《怎样解题》中建议“你是否知道与此有关的题目，是否知道可能用得上的定理？这是一个与你的题目有关且已被解答的题目，你能用它吗？能用它的结果吗？能用它的方法吗？你能不能把这一结果或方法用于别的题目？”这正是变式思想的体现。需要强调的是，数学例题变式不是为了“变式”而变式，而是要根据教学需要，遵循学生的认知规律而设计。这样才能通过变式训练，使学生在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力，完成“应用一理解一形成技能一培养能力”的认知过程。
参考文献
[1] 章玉兰.初中数学例题教学的理论与实践探索[J].数学天地， 2009.1.
[2] 陆书环.数学教学论[M].科学出版社，2010.3.
[关键词] 变式、例题
例题的教学是数学教学的重要组成部分，是把知识、技能、思想和方法联系起来的一条纽带。但是学生在学习过程中，往往容易形成思维定势，套用固定的解题模式，造成思维僵化。因而在例题、习题教学中，当学生获得某种基本解法后，应通过改变题目的条件、探求题目的结论、改变情境等多种途径，强化学生对知识和方法的理解、掌握和变通，帮助他们对问题进行多方向、多角度、多层次的思考，使思维不局限于固定的理解和某一固定的模式，从而提出新问题或获得同一问题的多种解答或多种结果。一组由浅入深、富有启发性和探索性的变式题组，能激发学生的兴趣，引导学生多角度思考问题，培养灵活转换和积极探索的能力，从而提高思维的层次。
一、例题变式分类
例题变式主要包括一题多解（证）变式、一题多变变式，多题一解（一法多用）变式。
1、一题多解（证）变式
即对同一个数学问题，引导学生在所学的知识范围内尽可能地提出不同的解题构想和方法，从而达到培养发散思维和创新意识，总结规律、方法，提高数学能力的目的。一题多解的实质是以不同的论证方式，反映条件和结论的必然本质联系。在教学中教师积极引导学生从各种途径，用多种方法去思考问题。有些问题多种方法求解，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系，对发展学生的创造性思维，起着铺路架桥的作用。
例如：求证“等腰三角形两腰上的高相等”。这是一道文字证明题，引导学生转化成用几何符号表达的几何证明题。
以上各种证法，沟通了不同知识间的内在联系，达到了深化知识，融会贯通
的目的。这样的例子很多，尤其是几何证明题中，许多证明题都有多种证法。当
然，列出各种证法后，教师还应要求学生筛选出最佳方法，这也是多向思维的最
终目的，以达到经济思维的目的。通过引导学生对同一来源材料，从不同角度、
不同方位思考问题，寻求某类问题的解题规律或一题多解，从而拓广了思路，使
思维辐射展开，培养了思维的发散性，这不仅能强化学生对基础知识的理解和掌
握，而且对开发智力，启迪学生的创造欲望也大有裨益。
2、一题多变变式
就是通过对某一题目进行条件变换、结论探索、逆向思考、图形变化等多角度、多方位的探讨，使一个题变为一类题，达到举一反
触类旁通的目的，进而培养学生的良好思维品质及探索、创新能力。
例如：如图 在△ ABC中，D是BC边上一点，E是AD中点，过A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF
（1）求征：D是BC的中点。
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。
此题第二小题中，可进行以下的条件变式：
（3）如果∠BAC=90度，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。
（4）如果∠BAC=90度，AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。
当然，上面（2）（3）（4）小题也可以逆向思考。
（1）如果四边形AFBD是矩形，试判断 △ABC的形状，并证明你的结论。
（2）如果四边形AFBD是菱形，试判断△ABC的形状，并证明你的结论。
（3）如果四边形AFBD是正方形，试判断 △ABC的形状，并证明你的结论。
3、多题一解（一法多用）变式
数学中有许多不同的分支，同一分支内又常被划分为若干个单元。不同分支之间或同一分支的不同单元之间，常常会出现许多内容上的相互转换与渗透，据此，我们可以将某一单元的题目改变表达形式而变为另一单元的题目，但题目本质不变，解答方法相同。另外，通过互为逆否命题转换而得到等价命题，不同题型之间的转换，如选择题转换为填空题，解答题变为证明题、探索开放题等，都属于多题一解的范围。题型变式有助于学生透彻理解题目的本质属性，开阔解题思路，提高解题能力。
例如：（1）已知y是x的一次函数，当x=5时，y=7.5 ，当x=6时，y=7.2，求当x=0时，y的值。
（2）、已知弹簧的长度 y（厘米）在一定的限度内是所挂重物质量 x（千克）的一次函数.现已测得挂5千克质量的重物时，弹簧的长度是7.5厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米.求当不挂重物时弹簧的长度。
（3）、如图是弹簧的长度y（厘米）与在一定的限度内所挂重物质量 x（千克）的函数图像，则不挂重物时弹簧的长度为 。
二、例题变式设计注意事项
数学变式设计要巧，要有一定的艺术性，要正确把握变式的“度”。一般地，数学例题变式设计应注意以下几个问题：
1.差异性
强调一个“变”字，避免简单的重复。变式题组的题目之间要有明显的差异。对每道题，要使学生既感到熟悉，又感到新鲜。从心理学角度看，新鲜的题目给学生的刺激性强，学生的神经兴奋度高，做题时注意力集中，积极性大，思维敏捷，使训练达到较好的效果。因此，设计数学变式，要努力做到变中求“活”，变中求“新”，变中求“异”，变中求“广”。
2.层次性
所设计的数学习题变式要有一定的难度，才能调动学生积极思考。但是，变式要由易到难，层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区，充分激发学生的好奇心和求知欲。要让学生经过思考，能够跨过一个个“门坎”，既起到训练的作用，又可以培养学生的思维能力，发展学生的智力。
3.开阔性
一幅好画，境界开阔，就会令人回味无穷。同样，设计数学习题变式，一定要内涵丰富，境界开阔，给学生留下充足的思维空间。因此，所选范例必须具有典型性：一要注意知识的横向联系；二要能够进行一题多解；三要具有延伸性，可进行一题多变。
4.灵活性
根据教学内容和学生实际情况，数学变式训练的方式要灵活多样，口头、书面、板演均可，力求使学生独立练习和教师启发引导下的半独立练习相结合。同时，根据教学内容，有时可分散训练，有时可集中训练，有时一个题目的变式可分几次完成，充分展现知识螺旋上升的方式。这种灵活的训练方式，不仅可以提高学生的兴趣，集中学生的注意力，而且可以使学生的多种感官参与学习，提高大脑和神经的兴奋度，达到最佳的训练效果。
波利亚在《怎样解题》中建议“你是否知道与此有关的题目，是否知道可能用得上的定理？这是一个与你的题目有关且已被解答的题目，你能用它吗？能用它的结果吗？能用它的方法吗？你能不能把这一结果或方法用于别的题目？”这正是变式思想的体现。需要强调的是，数学例题变式不是为了“变式”而变式，而是要根据教学需要，遵循学生的认知规律而设计。这样才能通过变式训练，使学生在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力，完成“应用一理解一形成技能一培养能力”的认知过程。
参考文献
[1] 章玉兰.初中数学例题教学的理论与实践探索[J].数学天地， 2009.1.
[2] 陆书环.数学教学论[M].科学出版社，2010.3.