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数学的任务是培养学生的运算能力、想象能力、逻辑推理表达能力以及数学知识的综合运用能力,而解题方法则是培养上述能力的重要手段。本人在多年数学教学中以实例入手,探讨中学数学的一题多解法。
要解好一道数学题,平时应多练习。在做练习的同时,还要善于摸索和总结。对于部分典型题,采用多种方法来解,可开扩解题思路,掌握解题方法,培养解题的灵活性,以提高分析问题和解决问题的能力,提高学生对数学这门学科的学习积极性和兴趣性。下面例举一题数学题有多种方法求解。
从李村到张村,有一段下山路和平路,小明平骑自行车以12千米/小时的速度下山,而以9千米/小时速度通过平路,到达张村用55分钟。他反回时,以8千米/小时通过平路,而以4千米/小时速度上山到李村共需90分钟,问李村到张村距离是多少千米?
解法1:设山路距离为x千米,平路距离为y千米,则李村到张村距离为(x+y)千米,去时下山所需时间为 x12小时,平路的时间为y9小时,返回上山时间为x4小时,平路时间为y8小时。根据时间相等关系,列出方程组
x12+y9=1112
x4+y8=32解得x=3y=6
∴x+y=3+6=9答:李村到张村距离为9千米。
解法2:设李村到张村距离为x千米,山路长为y千米,则平路长为(x-y)千米,去时下山所需时间为为x12小时,平路的时间为x-y9小时,返回上山时间为y4小时,平路时间为x-y8小时。根据时间关系,列出方程组:
x12+x-y9=1112
x4+x-y8=32解方程组得x=9y=3,答:李村到张村距离为9千米。
解法3:设李村到张村距离为y千米,山路长为(y-x)千米,去时下山所需时間为为y-x12小时,去时平路的时间为x12小时,返回上山时间为y8小时,上山时间为y-x4小时。根据时间相等关系,列出方程组:y9+y-x12=1112
x8+y-x4=32 解得x=6y=9,答:省略。
以上是根据往返时间相等列出方程组。下面举例根据略程相等关系,列出方程。
解法4:设下山需x小时,上山需y小时,则下山的路程为12x千米,上山路程为4y千米,去时平路为9(1112-x)千米,返回时平路为8(32-y)千米。因为上山与下山路相等,返往平路相等,可列出方程组12x=4y9(1112-x)=8)32-y)解得x=14y=34那么山路长为12×14=3,平路长为9(1112-14)=6,答:省略。
解法5:设去时下山需x小时,返回时走平路需y小时候,则返回上山需(32-y)小时,去时走平路时间为(1112-x)小时。根据上山路与平路往返的路程相等列出方程组12x=4(32-y)8y=9(1112-x)解得
x=14y=34全程路程为12x+8y=12×14+8×34=3+6=9。答:省略。
解法6:设去时平路需x小时,回来上山需y小时,那么去时平路需(1112-x)小时,回来走平路为(32-y)小时。根据路程相关系,列出方程组:
9x=8(32-y)4y=12(1112-x) 解得x=23 y=34 答省略。
解法7:设去走平路需x小时,返回时走平路需y小时,那么去时走山路为(1112-x)小时,回来走平路为(32-y)小时,依题意列出方程组9x=8y12(1112-x)=4(32-y)解得x=23y=34答:省略。
以下解法省略。
本题还可以用一元一次方程解,设平路长为x千米,根据山路距离相等列出方程。
请读者思考。如果一道数学练习题,采用多种方法解,可使部分学生由讨厌数学而进到慢慢喜欢数学。对优良学生来讲,使他们在课余时间对一道数学练习探讨更加深入。如果在教学中对部分练习只要求解对一种方法就可以的要求,那么对成绩较好好的学生就放低了要求。如果要求他们对部分数学试题采用一题多解法的要求,这样他们仅仅做出一种方法后,还会思考其他方法是否有解。如果能想出另外与前面解的方法过程不同,最后结果一样,这样对数学公式、定义、法则进一步得到回忆和复习,学生对数学这门学科也感兴趣,对成绩也有提高。
收稿日期:2010-06-04
要解好一道数学题,平时应多练习。在做练习的同时,还要善于摸索和总结。对于部分典型题,采用多种方法来解,可开扩解题思路,掌握解题方法,培养解题的灵活性,以提高分析问题和解决问题的能力,提高学生对数学这门学科的学习积极性和兴趣性。下面例举一题数学题有多种方法求解。
从李村到张村,有一段下山路和平路,小明平骑自行车以12千米/小时的速度下山,而以9千米/小时速度通过平路,到达张村用55分钟。他反回时,以8千米/小时通过平路,而以4千米/小时速度上山到李村共需90分钟,问李村到张村距离是多少千米?
解法1:设山路距离为x千米,平路距离为y千米,则李村到张村距离为(x+y)千米,去时下山所需时间为 x12小时,平路的时间为y9小时,返回上山时间为x4小时,平路时间为y8小时。根据时间相等关系,列出方程组
x12+y9=1112
x4+y8=32解得x=3y=6
∴x+y=3+6=9答:李村到张村距离为9千米。
解法2:设李村到张村距离为x千米,山路长为y千米,则平路长为(x-y)千米,去时下山所需时间为为x12小时,平路的时间为x-y9小时,返回上山时间为y4小时,平路时间为x-y8小时。根据时间关系,列出方程组:
x12+x-y9=1112
x4+x-y8=32解方程组得x=9y=3,答:李村到张村距离为9千米。
解法3:设李村到张村距离为y千米,山路长为(y-x)千米,去时下山所需时間为为y-x12小时,去时平路的时间为x12小时,返回上山时间为y8小时,上山时间为y-x4小时。根据时间相等关系,列出方程组:y9+y-x12=1112
x8+y-x4=32 解得x=6y=9,答:省略。
以上是根据往返时间相等列出方程组。下面举例根据略程相等关系,列出方程。
解法4:设下山需x小时,上山需y小时,则下山的路程为12x千米,上山路程为4y千米,去时平路为9(1112-x)千米,返回时平路为8(32-y)千米。因为上山与下山路相等,返往平路相等,可列出方程组12x=4y9(1112-x)=8)32-y)解得x=14y=34那么山路长为12×14=3,平路长为9(1112-14)=6,答:省略。
解法5:设去时下山需x小时,返回时走平路需y小时候,则返回上山需(32-y)小时,去时走平路时间为(1112-x)小时。根据上山路与平路往返的路程相等列出方程组12x=4(32-y)8y=9(1112-x)解得
x=14y=34全程路程为12x+8y=12×14+8×34=3+6=9。答:省略。
解法6:设去时平路需x小时,回来上山需y小时,那么去时平路需(1112-x)小时,回来走平路为(32-y)小时。根据路程相关系,列出方程组:
9x=8(32-y)4y=12(1112-x) 解得x=23 y=34 答省略。
解法7:设去走平路需x小时,返回时走平路需y小时,那么去时走山路为(1112-x)小时,回来走平路为(32-y)小时,依题意列出方程组9x=8y12(1112-x)=4(32-y)解得x=23y=34答:省略。
以下解法省略。
本题还可以用一元一次方程解,设平路长为x千米,根据山路距离相等列出方程。
请读者思考。如果一道数学练习题,采用多种方法解,可使部分学生由讨厌数学而进到慢慢喜欢数学。对优良学生来讲,使他们在课余时间对一道数学练习探讨更加深入。如果在教学中对部分练习只要求解对一种方法就可以的要求,那么对成绩较好好的学生就放低了要求。如果要求他们对部分数学试题采用一题多解法的要求,这样他们仅仅做出一种方法后,还会思考其他方法是否有解。如果能想出另外与前面解的方法过程不同,最后结果一样,这样对数学公式、定义、法则进一步得到回忆和复习,学生对数学这门学科也感兴趣,对成绩也有提高。
收稿日期:2010-06-04