柯西不等式是高中数学教材4-5《不等式选讲》的内容，虽然高考对柯西不等式的考查要求不高，但是它在不等式的证明、求最值中应用广泛。下面就来谈谈柯西不等式在不等式证明中的应用。
　　1.柯西不等式：
　　设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有：
　　（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a21+a22+…+a2n）（b21+b22+…+b2n）。
　　当向量（a1，a2，…，an）与（b1，b2，…，bn）共线时，等号成立。
　　2.柯西不等式的变形：
　　设ai∈R，bi∈R+（i=1，2，3，…，n），则a21b1+a22b2+…+a2nbn≥（a1+a2+…+an）2b1+b2+…+bn，
　　当且仅当ai=λbi（i=1，2，…，n）时等号成立。
　　3.柯西不等式在证明中的应用：
　　题目：已知x1，x2，x3，…，xn∈R+。
　　求证：x21x2+x22x3+…+x2nx1≥x1+x2+…+xn+4（x1-x2）2x1+x2+…+xn。
　　思路分析：从恒等式x2+y2-2xy=（x-y）2的变形入手，探究问题的解答思路。
　　证明：因为 x2+y2-2xy=（x-y）2，
　　所以x2y=2x-y+（x-y）2y。
　　因此，有x21x2=2x1-x2+（x1-x2）2x2；
　　x22x3=2x2-x3 +（x2-x3）2x3；
　　……
　　x2n-1xn=2xn-1-xn+（xn-1-xn）2xn；
　　x2nx1=2xn-x1+（xn-x1）2x1。
　　把以上式子叠加得：
　　x21x2+x22x3+…+x2nx1
　　=x1+x2+…+xn+（x1-x2）2x2+（x2-x3）2x3+…+（xn-1-xn）2xn+（xn-x1）2x1。
　　應用柯西不等式的变形得：
　　（x1-x2）2x2+（x2-x3）2x3+…+（xn-1-xn）2xn+（xn-x1）2x1
　　≥（x1-x2）2x2+
　　[（x2-x3）+…（xn-1-xn）+（xn-x1）]2x3+x4+…+xn+x1
　　=（x1-x2）2x2+（x2-x1）2x3+x4+…+xn+x1
　　=（x1-x2）2·1x2+1x3+x4+…+xn+x1
　　≥（x1-x2）2·（1+1）2x1+x2+…+xn
　　=4（x1-x2）2x1+x2+…+xn。
　　又因为x21x2+x22x3+…+x2nx1
　　=x1+x2+…+xn+（x1-x2）2x2+（x2-x3）2x3+…+（xn-1-xn）2xn+（xn-x1）2x1，
　　所以x21x2+x22x3+…+x2nx1
　　≥x1+x2+…+xn+4（x1-x2）2x1+x2+…+xn。
　　证毕。
　　点评：本题是不等式的证明，难度较大，主要利用恒等式x2+y2-2xy=（x-y）2的变形以及柯西不等式的变形来证明。
　　作者单位：湖南省常宁市第一中学