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数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，著名数学家华罗庚说：“数缺形时少直觉、形少数时难入微”。“数”与“形”是数学中两个最根本的概念，任何一个几何都蕴含着一定的数量关系，而数量关系又常以几何图形做出直观反映和描述，“数”与“形”的相互转化，不仅使解题简洁明快，还能够开拓解题思路。数形结合不仅作为一种解题方法。还是一种重要的数学思想。下面谈谈如何运用“数形结合”这种重要的数学思想方法来解决一些有关二次函数的问题。
一、由数到形
A：由给定的“数”（即二次函数的系数）直接判断大致图形。
若a<0,b>0,c>0那么二次函数y=ax2 bx c图像为
解：a<0=0>开口向下、排除A
c>0=>图承交y轴正半轴，排除D
a<0b>0=>-b2a>0=>顶点在右，故排出B选C
B：由给定的“数”，画出大致图形，然后利用图形的直观探求解题思路。
例2：设A和B为抛物线y=3x2-2x k与x轴的两个相异交点，M为抛物线的顶点，当△MAB为等腰直角三角形时，求K值。
分析：依题意画出抛物线得让草图、如下图，从图形的直观可知，所求的K值应符合两个条件，即抛物线与X轴有两个相异交点，由此可知，△>0，又△AMB为等腰直角△。由此可知MN= AB，再结合抛物线的特性，将MN、AB用含有K的代数式表示，形成关于K的方程，求出K值。
解：∵抛物线与轴有两个相异交点设为A（Ⅺ,O），B(X2，O)
∴△=（-2）2-4（-3）K＞0
非得K＞-13
在△AMB中AM=BM 过M作MN⊥AB于N
∵M为抛物线的顶点
∴MN是RT△AMB斜边上的中线和高
∴MN=4(-3)K-(-2)24(-3)=K 13
∴AB=（X1-X2）=（X1 X2）2-4X1X2
=(-23)-4(K3)=231-3K
∵MN=12AB
∴K 13=131 3K
解得K1=0K2=- 13 （舍去）
∴ K=O
二、从形到数
A：由“图形”可挖掘出隐含告诉我们的“数”
例3
则A-0B-0 C-0 △-0
分析：判断这些数量关系需从观察分析抛物线的开口方向、形状、位置等因素入手
图像高Y轴于负半轴=＞C<0 顶点在右a<0=>b<0
B：通过“形”进一步发现数量间的关系，推动问题的解决。
二次函数Y1=AX2-2BX C和Y2=（A 1）X2-2（B 2）X C 3在同一坐标系中的图像如右图
（Ⅰ）哪个图像经过B、C、D三点
（Ⅱ）若∣BO∣=∣AO∣∣BC∣=∣DC∣
且点B、C的横坐标分别为1，3求二次函数解析式：
分析：此韪所经图像是已知条件和重要部分，需要由形到数，首先依据所给的图像的开口方向确定A 1与A异号，再由A 1>0的数量关系，判定Y2经过B、C、D三点，还要利用抛物线的对称性确定Y1的对称轴为X=O Y2的对称经过C点，推出D点的坐标，这里充分运用数形结合的思想，最后还要运用方程思想，利用图像上的点坐标应满足函数非析式，构造关于A、C的方程组：
解：（Ⅰ）∵a 1＞A a 1 a异号
∴a 1＞O
∴Y2=（A 1）X2-2（B 2）X C 3开口向上
∴Y2经过B、C、D三点
（II）∵|BO|=|AO|
∴Y1=的对称轴X=-2b2a=0
∴b=0 B(1,0)C(3,y)
又∵|BC|=|DC|
∴Y2的对称轴经过C点
∴D(5,0)
将B(1,0)代入Y1得a c=0①
将D(5,0)代入Y2得25a c 8=0②
解①、②得a=-13 c=13
∵b=0
∴Y1=13-X2 13Y2=23X2-4X-313
三、由数至形，从形到数，数形结合。
A、“形”中有“数”，“数”中有“形”，“形”、“数”结合。
例5：若函数y=KX的图象在第一、三条限内，那函数y=KX2 bX-2的图数大致是 。
解: ∵函数y=KX的图函在一三函限
∴K>0
∴y=KX2 bX-2的图水和向上排除(C)(D)
又∵C=-2
∴抛物线与y轴交于负半轴排除A选B。
B、把抽象的数学符号和直观的几何图形结合起来，把条件和结论的数和形密切结合起来，互相转化，使解法变得更加简捷、明快。
例6：在△ABC中 分析：为了挖掘题目中的隐含条件需根据题意画出草图，再利用图形的直观去探求解题思路。
解：由题意画草图如下图。
∵ Tg2=BOAO =12
设BO=X则AO=2X
∴X2 （2X）2=（25）2∴ X=2X=-2（舍去）
即A（4，0）B（0，2）B1（0，-2）C（-1，0）
设二次函数的解析为Y=aX2 bX C（a≠0）
将A、B、C及A、B’、C三点坐标分别代入
解得：a=12 b=- 32 C=-2
或a=-12 b=32 C=2
∴ 二次函数的解析为y=12 X2-32 X-2
或y=12 X2 32 X 2
数形结合法是一种重要的数学思想方法，不但解决有关二次函数问题应用较广，而且解决其他数学问题也常常使用。
一、由数到形
A：由给定的“数”（即二次函数的系数）直接判断大致图形。
若a<0,b>0,c>0那么二次函数y=ax2 bx c图像为
解：a<0=0>开口向下、排除A
c>0=>图承交y轴正半轴，排除D
a<0b>0=>-b2a>0=>顶点在右，故排出B选C
B：由给定的“数”，画出大致图形，然后利用图形的直观探求解题思路。
例2：设A和B为抛物线y=3x2-2x k与x轴的两个相异交点，M为抛物线的顶点，当△MAB为等腰直角三角形时，求K值。
分析：依题意画出抛物线得让草图、如下图，从图形的直观可知，所求的K值应符合两个条件，即抛物线与X轴有两个相异交点，由此可知，△>0，又△AMB为等腰直角△。由此可知MN= AB，再结合抛物线的特性，将MN、AB用含有K的代数式表示，形成关于K的方程，求出K值。
解：∵抛物线与轴有两个相异交点设为A（Ⅺ,O），B(X2，O)
∴△=（-2）2-4（-3）K＞0
非得K＞-13
在△AMB中AM=BM
∵M为抛物线的顶点
∴MN是RT△AMB斜边上的中线和高
∴MN=4(-3)K-(-2)24(-3)=K 13
∴AB=（X1-X2）=（X1 X2）2-4X1X2
=(-23)-4(K3)=231-3K
∵MN=12AB
∴K 13=131 3K
解得K1=0K2=- 13 （舍去）
∴ K=O
二、从形到数
A：由“图形”可挖掘出隐含告诉我们的“数”
例3
则A-0B-0 C-0 △-0
分析：判断这些数量关系需从观察分析抛物线的开口方向、形状、位置等因素入手
图像高Y轴于负半轴=＞C<0 顶点在右a<0=>b<0
B：通过“形”进一步发现数量间的关系，推动问题的解决。
二次函数Y1=AX2-2BX C和Y2=（A 1）X2-2（B 2）X C 3在同一坐标系中的图像如右图
（Ⅰ）哪个图像经过B、C、D三点
（Ⅱ）若∣BO∣=∣AO∣∣BC∣=∣DC∣
且点B、C的横坐标分别为1，3求二次函数解析式：
分析：此韪所经图像是已知条件和重要部分，需要由形到数，首先依据所给的图像的开口方向确定A 1与A异号，再由A 1>0的数量关系，判定Y2经过B、C、D三点，还要利用抛物线的对称性确定Y1的对称轴为X=O Y2的对称经过C点，推出D点的坐标，这里充分运用数形结合的思想，最后还要运用方程思想，利用图像上的点坐标应满足函数非析式，构造关于A、C的方程组：
解：（Ⅰ）∵a 1＞A a 1 a异号
∴a 1＞O
∴Y2=（A 1）X2-2（B 2）X C 3开口向上
∴Y2经过B、C、D三点
（II）∵|BO|=|AO|
∴Y1=的对称轴X=-2b2a=0
∴b=0 B(1,0)C(3,y)
又∵|BC|=|DC|
∴Y2的对称轴经过C点
∴D(5,0)
将B(1,0)代入Y1得a c=0①
将D(5,0)代入Y2得25a c 8=0②
解①、②得a=-13 c=13
∵b=0
∴Y1=13-X2 13Y2=23X2-4X-313
三、由数至形，从形到数，数形结合。
A、“形”中有“数”，“数”中有“形”，“形”、“数”结合。
例5：若函数y=KX的图象在第一、三条限内，那函数y=KX2 bX-2的图数大致是 。
解: ∵函数y=KX的图函在一三函限
∴K>0
∴y=KX2 bX-2的图水和向上排除(C)(D)
又∵C=-2
∴抛物线与y轴交于负半轴排除A选B。
B、把抽象的数学符号和直观的几何图形结合起来，把条件和结论的数和形密切结合起来，互相转化，使解法变得更加简捷、明快。
例6：在△ABC中
解：由题意画草图如下图。
∵
设BO=X则AO=2X
∴X2 （2X）2=（25）2∴ X=2X=-2（舍去）
即A（4，0）B（0，2）B1（0，-2）C（-1，0）
设二次函数的解析为Y=aX2 bX C（a≠0）
将A、B、C及A、B’、C三点坐标分别代入
解得：a=12 b=- 32 C=-2
或a=-12 b=32 C=2
∴ 二次函数的解析为y=12 X2-32 X-2
或y=12 X2 32 X 2
数形结合法是一种重要的数学思想方法，不但解决有关二次函数问题应用较广，而且解决其他数学问题也常常使用。